(完整)巧解深究提高素养二次曲线系视野下对2017年高考新课标全国卷Ⅰ理数20题的反思

1、巧解深究提高素养二次曲线系视野下对2017年全国I卷理数20题的反思南昌市第三中学 张金摘 要】核心素养的教育教学是今后相当长时间段内的热点。本文从二次曲线 系角度去探索试题的多种解法，挖掘试题的本质属性，在提高数学学科核心素 养方面作出一点探索。【关键词】二次曲线系、学科核心素养、定点定值、椭圆的伴随矩形、椭圆的 大小伴随圆。2017年高考新课标全国I卷理数的设计遵循普通高中数学课程标准和 高考说明的要求和阐述，紧密联系高中数学教学现状，关注数学本质，渗 透学科核心素养。本文从二次曲线系的角度去研究该卷 20题，请看题：20. （ 12 分）已知椭圆a，。），四点用

2、 |.|）, 6（0），3 . ? , . 2中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线/不经过4点且与C相交于A, B两点.若直线代工与直线 电 的斜率的和为-1 ,证明：,过定点.常规解法略，为巧解该题，我们先看关于二次曲线系的相关概念：二次方程4，+日丁 + （：产+ 即 +5+尸=。表示的曲线叫做二次曲线，它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以及两条直线（退化的二次曲线） 。二次方程与p+G）= 表示两条直线，但这个方程展开后，是一个二次式，因此我们说这是退化的二次曲线。已知两条二次曲线 1 ：“”）一 （）与 口 或2）=0相交，且有四个交点，则方程4/*）+闺但p）= （九/为

3、参数）表示经过其四个交点的二次曲线系方程。若能确定所求的曲线不是1：/） 二 或心；第-*h二 ,我们可以只设 一个参数。当我们已知曲线（*J）= o ,要求某些未知数时，我们可以利用+阉,刃=贻.历,两边对比系数即可。下面利用该知识解决笔者原创的南昌市 2017年一模试题20题：b2的左、右顶点分别为1例1. (2017年南昌一模20)已知椭圆左、右焦点分别为离心率为2，点94,0),的中点.(I )求椭圆C的方程;(n)若过点S且斜率不为的直线,与椭圆C的交于，X两点，已知直线4M与月冰.相交于点g ,试判断点|G是否在定直线上? 方程；若不是，请说明理由.若是，请求出定直线的x y卜-解

4、：(1) 43(2)常规方法计算量较大，此处略。A/；V:j = A(x-4)易知因为椭圆过二次曲线4A7 4*与二次曲线44 7川的四个交点儿人M盘Y y.T + 2 jy)(n 2 v) + fR&kxy -4左)二 2( TI)则有43比较两边工丁项的系数，得比较两边y项的系数，得2fi - 2i2 - 4刈t = 0,两式联立,J A +h=或 p1-/2 = 2/JlV + 2 = -3gv工一2 二 t2y= = ,即点G在定直线x = l若一条直线与一条二次曲线交于两点，那么对于这两条直线OP - OQ么来刻划呢?Q设直线Q的方程为:y - kx+僧曲线方程为：4+*守+行+丫+

5、* = 0i = i我们将变形为 加 ，利用它将中的所有项配成二次，得Ax1 + BxyCyl +Zhc -Ey*生与，=0 wm用注意到点忆。满足式，又为二次齐次式，所以它一定能分解出：(歹一人/)(】*/)= ,这就是过原点的两直线。尸.。，也可以将两边同除一y视其为关于工的二次方程，解出两根，即为 餐，与，这即为0尸，的斜率.由上可得2017年高考解析几何20题巧解：且 + /=1(1)根据椭圆的对称性，可知6匕月在椭圆c上，所以椭圆方程为1,(2)将坐标系向上平移一个单位，将原点移至 5点。/ 1Cf:F (/ + I)2 = 1 xf + yr2 + 2/ = 0椭圆方程化为4 r即

6、1 设直线/对应的直线为M+/ = 1,则化齐次联立，得:xt2 + yr2 + 7tyf) = 01整理得（2/t + l）g += 04，即（2；t + 1）（当）+ 2fll +=0结合两直线斜率之和为-1 ,得2n + 1L 2m 2 n + 1即所以直线：, + I）/ + 2才以=N K恒过点Ql”2）,在原坐标系中，直线/过定点Q（2D|我们再来深挖该题背景性质：性质1:已知点用g-办国向，。（一向，风乜M ,我们称矩形为椭圆x2 /“/+后=八八的伴随矩形，设直线/不经过点“（力）且与椭圆C相交k +A =_2h于，耳两点,若出十呼一丁，则直线过定点IH。F v:tt 一 ,

7、tC：-7 + K = 1（口 力 0）, , , fCL , . , Ai Al ,性质2：从椭圆 / /的伴随矩形|/应比|的顶点/g，f）引一, ,二生条直线与椭圆C交于；v两点，若R0向则鹏+ 工。这两条性质读者不妨用前面二次曲线系的方法去简洁证明。关于椭圆类似性质的探究，笔者在对一次试卷讲评课的一点感悟（中学数学研究2016年第4期）一文中有以下两个结论：22性质3:从已知椭圆。一护的大伴随圆Cu十了 =十”上一点尸作椭圆C的两条切线，则两条切线相互垂直。性质4:已知椭圆c：=+=ig 0/ o) ar b-的小伴随圆a: -b一条切线与椭圆C包有两个交点P, Q,则L2017高考全国I卷解析几何解答题考查了数学抽象、逻辑推理、数学运 算、数据分析等核心素养，重点考查思维品质，减少计算量。数学离不开计算， 核心素养下的数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学 问题。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方 法，设计运算程序，求得运算结果。重在运算法则的掌握、运算方