概率论与数理统计必考大题解题索引

1、概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用【相关公式】全概率公式：设实验E的样本空间为S,A为E的事件，B,Bn为S的划分，且P(Bi)>0,则有：P(A产(AH)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+?+P(A|Bn)P(BJ其中有：P(B|A)=KhP(A)特别地：当n=2时，有：P(A)=P(A|B)P(B)P(A|B)PB.贝叶斯公式：设实验E的样本空间为$A为E的事件,Bi,B2,P(B户0(i=1,2,n),则有：P(B.|A)，坐二P(A|B)P(B)P(A)'J(A|Bi)P(Bi)特别地：当n=2时，有：P(B

2、|A):迺二P(A|B)P(B).一P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B),Bn为S的一个划分，且P(A)>0,【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：(1)恰好取到不合格品的概率；(2)若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：取到的产品是不合格品"；事件Ai表示：取到的产品是第i家工厂生产的"(i=1,2,3)。3则UAi=建，且P(A)>0,A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得i13

3、(1)P(A)=£P(Ai)P(A|Ai)i1401001001001001001002=37/1000(2)由贝叶斯公式得P(A2|A)=3P(A2)P(A|A2)'、P(Aj)P(A|Aj)0.250.0437/1000=10/372.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件表示：此人来迟了"；事件A分别表示：此人乘火车、轮船、汽车、飞4机来”(i=1,2,3,4

4、)。则UA=Q,且P(A)>0,AA2、A3、A4两两互不相容i1(1)由全概率公式得4P(A)='、P(A)P(A|Ai)i1311111211=X+X一+x：-=104531012585(2)由贝叶斯公式得P(A1|A)=P(A)P(A|A1)1/54'P(Aj)P(A|Aj)j1题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公x2式：f(x)dx=1,且对于任意实数，有：Px1<X<x2=F(x2)F(k)=Jf(x)dx。x1【相关例题】(1)设随机变量X的

5、分布函数为:r0,x<1FX(X)=lnx,1Wx<eI1,x之e解:一.、5求P(X<2)、P(0<XW3)、P(2<X<-)求概率密度fx(x).(1)P(X<2)=P(X<2)=ln2P(0:二X<3)=Fx(3)-Fx(0)-1-0-1_5_5_5P(2；X<-)=Fx(-)-Fx(2)=ln;2241Fx(X)=一dxx1r-,1<x<ex，fx(x)=4I0,其他A(2)f(x)=(应<x<)，是确7E吊数Ao1x+二A解：由相关性质得：一2dx1-二1+x解得：A(arctanx0.arctanx

6、0:=1A兀x_f-,0Ex<36(3)设随机变量一_x-.X具有概率密度Sf(x)=2-,3<x<4,求X的分布函数。2、0淇他解:0,x<0xxF(x)=xx._x_dx,0_x：3,0_x：3061236.0xx22-,3三x<4=-32x3xx2,3Mx：二441,x-42、正态分布【相关公式】1 R5（1）公式丫）一一"一21（一5二X7*）其中2 二色。为常数，则称刈艮从参数为匕。的正态分布。x-J若XN（巴仃2）,则2=N（0,1）.（3）相关概率运算公式：X -1x-1x-1PX<x=P=力（）；CTffCTXI -1X-1X2-1

7、X2-JXi-Pxi_X:X2=P-:二-''（）-,J（）；CTtJCTCTCT中（x）=1-：，（-x）.【相关例题】1、某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从N（110,122）,在该地任选名18岁女青年，测量她的血压X,求：（1）PX<105,P100<X<120；(2)确定最小的X,使PX>x<0.05解：(1)7XN(110,122)PX：二105=PX二1052110=：，(-5L1-中(0.42)=1一0.6628=0.3372;0.5934100-110X-110120-110101010P100：二X<120

8、=P:二一-=：J()-：J(-)=21()-1X_110x_110x_110PXX=1-PX三x=1-P2=1-,，(2)三0.05即有：力(X；10).0.9514(1.65)x-110=x110_1.65=x-129.812Xmin=129.82、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数卜=10.05,。=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。解：设人=一螺栓合格,本题求P（又）0.95449.93-10.05X-10.0510.17-10.05X-10.05,P(A)=P=P(-22)=2，'(2)-10.060.0

9、60.060.06P(A)=1-P(A)=1-0.9544=0.0456【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设G为由抛物线y=x2和y=x所围成区域,(X,Y)在区域G上服从均匀分布,试求:解：如图所示，G的面积为因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为6f(x,y)=i。,(x,y)G其他(1)X、Y的联合概率密度及边缘概率密度;(2)判定随机变量X与Y是否相互独立。1 21A=(xx)dx=062、x),0<x<1fY(y)=6(ry)，0,0<y<1其他fX(x)=：if(x,y)dy=6dy=6(x-OJxyfy(y)=if(x,y)d

10、x=6dx=6(.y-y),0<y<1y所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为0MxM1其他一、6(x-x2),fX(x)=0,(2)由于fX(x)fy(y)=f(x,y),故随机变量X与Y不相互独立。2 .设二维随机变量(X,Y)的概率分布为-yf(x,y)=«e,0；x:y0,其它求：(1)随机变量X的密度函数fX(x)；(2)概率PX+Y<1。解：(1)xE0时，fX(x)=0;x>0时,fX(x)=,_.f(x,y)dy=.x-boyxedy=e故随机变量X-xe,的密度函数fX(x)=«,0,0:xx-01(2)PXY<1=f(x,y

11、)dxdy=2XY：11 .xdxe)dyx1=eJ1-2e-23.设随机向量（X,Y）的概率密度为A0cx<1,0<y<xf(x,y)=0,其他试求：（1）常数A;（2）关于X、Y的边缘概率密度。解：（1）由归一性1xA-二一/(x,y)dxdy00Adydxa所以A=2。的联合概率密度为f(x,y)=(20<x<1,0<y<x0,其他（2）关于X、Y的边缘概率密度为fX(x)=二f(x,y)dy=0C2dy=2x(0<x<1)2x,0MxM10其它同理可求得关于Y的边缘分布密度为fY(y)=2(1y),0<y<130,其他4

12、.设随机变量（X,Y）具有概率密度f(x,y)=<Ce*"x>0,y>00,其它求（1）常数C;（2）边缘分布密度。解：（1）由于Uaf(x，y)dxdy=1,故-be-bo.1=00Cedxdy=C°e*dx°e%y=C所以C=1,即_0,y_0其他(2)fx(x)=jf(x,y)dye"x4y)dy=e"x>0,即fX(X)=«e-x0,x.0其他fy(y)=二f(x,y)dx=0e-(x+y)dx=e_yy>0,即fY(y)=，e-y,y之00,其他fe,f(x,y)=八10，【题型四】最大似然估计

13、的求解【相关公式】(1)当只有一个变量e的时候，有：dd.L(i)=0或lnL(u)=0;dud1(2户未知变量有i的时候(i至25有：三L=0三lnL=0(i=1,2,3,k)二日二【相关例题】1、设概率密度为：fex,0<x<1f(x)=<S,其他求人的最大似然估计.解:i=1L(九)=口ex=九nexp-九£xi=1nl1=InL(u)=nlnxdnqnl(')=一一xdi1令-l(')=0,即有：=工dxn2、设Xi,X2,X3,?,Xn是来自概率密度为:f0x6JL,0<x<1f(x；eA10,其他的总体的样本，。未知，求解：0

14、的最大似然估计。nnXiL(u)="ux=丁口i1i4nn)l(日)=lnL(e)=nln9+(日一1)ln口xg)n布1nl=£+”nXidb廿n令d-lnlC)=0,得:de=ln口xi2J【题型五】正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】1、正态总体均值的假设检验(1师准差。已知(水验法)：Z_X-0二/<n(2)标准差仃未知(t检验法)：t=X：1t(n.1)s/、n拒绝域为：t=X一口32(n-1)s/n2、正态总体方差的假设检验当H0为真时，有：n-1S拒绝域为:2s一iJ(n-1)二o22(n-1)【相关例题】1、某批矿砂的5个样品中的

15、馍含量，经测定()3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在a=0.01下能否接受假设，这批矿砂的馍含量的士值为3.25.解：在显著性水平a=0.01下检验问题：H0：x=3.25Hl:x=3.25检验统计量X=3.252,S=0.013,%=3.25,n=5代入数据，得观察值:X-。_3.2523.25S/；n-0.013/、,50.3442拒绝域为：t=t-.(n-1)=t0.005(4)=4.6061万即：td-4.6061一(4.6061,二)：0.3442：二4.6061二接受H0.在口=0.01的情况下可以接受假设，这批矿砂的镣含量均值为3

16、.25.2、某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.0050尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007Q设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平a=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？解：在显著水平a=0.05下检验问题：H0：二一-0.005Hl:00.005检验统计量：s=0.007,n=9,。=0.0052 2代入数据，得观察值：(n-?S=80.007=15.68:0.0052拒绝域为:t之1(n-1)=/20.05(8)=15.507V15.6815.507二拒绝H0二在显著性水平a=0.05下能认为这批导线的标准差显著性偏大。【证明题部分】3 .设事件A与事件B相互独立

17、，试证明：(1)事件A与事件B相互独立；(2)事件A与事件B相互独立；(3)事件A与事件B相互独立。证明：(1)欲证明A、B相互独立，只需证P(AB)=P(A)P(B)即可。而P(AB)=P(A-AB)=P(A)一P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。同理(2)由于P(AB)=P(B-AB)=P(B)一P(A)P(B)=P(B)(1一P(A)=P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。(3)由于P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)P(AB)=1-P(A)-P(B)P(A)P(B)<1-P(A)1-P(B)=P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。4 .若P(A|B)=P(A|B),证明事件A与事件B相互独立。证明：由于A=ABUaB,且ABAB=口所以P(A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)=P(B)P(B)P(A|B)=P(A|B)从而有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)故由独立性定义知，事件A与事件B相互独立。5 .xJ是来自正态整体X的简