知识讲解指数与指数幂的运算含答案及练习

1、2.1指数与指数塞的运算（A版）【要点梳理】要点一、整数指数哥的概念及运算性质1 .整数指数哥的概念an=aaan三Zn个aa0=1a=0n1a=(a=0,nZ*)a2 .运算法则mmnm：；nmnmnam_nmm.m(1)aa=a;(a)=a;(3)=a(m>n,a#0)；(4)(ab)=ab.a要点二、根式的概念和运算法则1. n次方根的定义：若xn=y（nN,n>1,yR）,则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为。；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为田；零的奇次方根为零，记为U0=0；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为±y；负

2、数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为70=0.2,两个等式,一、一一一*（1）当n>1且nWN时,(2)n：na；a,（n为奇数）：|a|（n为偶数）要点诠释：尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值,写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数哥的概念和运算法则m-一为避免讨论，我们约定a>0,n,mN,且m为既约分数，分数指数哥可如下定义:n1anman二(man='nm_nma)a1ma%要点四、有理数指数哥的运算1.有理数指数哥的运算性质a0,b0,二，：Q(1)a:a一二

3、a：;(2)(a:)一=a；(3)(ab)：=a：b：;当a>0,p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数哥的运算性质仍适用要点诠释：(1)根式问题常利用指数哥的意义与运算性质，将根式转化为分数指数哥运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如ZHT,(户)2；21(3)哥指数不能随便约分.如(乂)4丰(4产.2.指数哥的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数哥化为正指数塞的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用哥的形式表示，便于用指数运算性质.在化简

4、运算中，也要注意公式：a2-b2=(ab)(a+b),(a土b)2=a2±2ab+b2,(a土b)3=a3±3a2b+3ab2土b3,a3-b3=(ab)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：(1)5/()5;(2)(-10)2；(3)(3-h)4;(4)V(a-b)2.ja-b(a>b)【答案】-3；闻；兀3;10(a=b)b-a(a<b)J【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号(1)5/(-3)5=-3;(2)4/(10)2=屈;(3)§(3

5、=)4=|3-:|二(-3;1a-b(a>b)(4)J(ab)2=|ab|=0(a=b)、ba(a<b)【总结升华】(1)求偶次方根应注意,正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是土2，但不是"=±2.(2)根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：(1)3/(_2)3；(2)©(-9)2；(3)0(7T-4)6；(4)0(a-2)8.a-2(a-2)2-a(a:二2)例2.计算:(1)15+2病77-4/3-d6-4&(2)11212-1【答案】(1)-2;

6、(2)3;(3)4-兀；(4)【答案】2;2万.【解析】对于(1)需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于(2),则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1) .52,6,7-4.3-,6-4.2=，(3)22.32(.2)2+22-223(.3)2-22-222(.2)2=1(3.2)2,(2-.3)2-.(2-2)2=|.3.2|+|2一、3卜|2-,2|=斤4+2乔-(2")=2在(2) 1=-2-1.21=2-121=2.2.21.2-1(.21)(.2-1)(.2-1)(.21)【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再

7、解答，或者用整体思1想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例(2)中，,21的分子、分母中同乘以(、.2-1).举一反三:【变式1】化简：(1)也2夜+/1-向3+4/(1-扬4;(2)Jx2-2x+1-Jx2+6x+9(|x|<3)2x-2(-3二x二1),【答案】(1)"1;(2)'八-4(1<x:二3).类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数哥形式表示下列各式(式中a>0)：(1)a2Va；(2)a3s/a2；(3),aG；(4)J-y-51135【答案】a2；ay；a4；y4【解析】先将根式写成分数指数

8、哥的形式，再利用哥的运算性质化简即可._12.1_5-23-211(1)a24a=a2,a2=a2=a2;(2)a3'a2=a3a3=a3=a3；11313(3)aa=(aa2)2=(a2)2=a4；(4)解法一：从里向外化为分数指数哥解法二：从外向里化为分数指数塞.21=上好x=y42=上x(匕y1611236111(干=卢白(5川xxyx【总结升华】此类问题应熟练应用好(a>0,m,nwN*,且n>1).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里,用分数指数骞写出，然后再用性质进行化简.举一反三:高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把下列根式用指数形

9、式表示出来，并化简(1)5aa；6xa%x-3【变式2】把下列根式化成分数指数塞:(1)6.8,2；(2)Ja石(a>0)；(3)52.2'x)【答案】233a411b3;22x5111万2377笔22=212;(2)JaVa=aa：aaa2=(a2)23=a4(3) bMVb2=b3b3=b(4)Vx(5/x2)23x.(x5)2x5(x5)33x5例4.计算:(1)(0.0081)41:皿534F.|8严+(3后)3;(2)733-3324-63143339【解析】(1)原式=(0.3(1+2)3332-J210-=3；(2)原式=73r36可32干3+寺3=0；(3)原式=

10、-5+6+4-n-(3-n)=2;(2)指数为负先化正;(3)根式化为分数指数哥注意：(1)运算顺序(能否应用公式)；【变式1】计算下列各式:1(8)3X(一7)0+80.25XV2+(V2乂J3)6;6a3-8a3ba3-(1-23b)3a.a，八，1、(4)(一)原式二8=2+244+2隈33=112;111a333(a-8b)11(a3)3-(2b3)3111a3(a-8b)a33(2)原式二一1111x-rxa3(a3)22a3b3(2b3)2a3-2b3【变式2】计算下列式子：3+芸-。3）0（李【答案】21+15立4例5.化简下列各式.15.6=21+4【解析】原式=16+、,6+

11、5+2、6+3、64325xy2丫5J36一示xy人6;(2)m2m21227-3(0.027)3-：.1250.527：9；11124y6；m2m2；0.09【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.5x飞y251-x3y666(二)4)-=5(-4)x3I5J111111()c3y226=24xy6=24y6(2)1-mm212m2m211m2m211m2m21-l227一370.5(0.027)3-2125.911二m2m2=(30.027

12、)227十12592555=0.09一一一=0.09举一反三：【变式1化简:3xy2（,.xy）3.3x257=x6y6.57【答案】x6y6【解析】原式=xy2（x2-y2）33=（xy2注意：当n为偶数时,口9鼠0)0)22x-y22x3-y32.2【变式2】化简与一七x3y3【答案】-2加【解析】xy2应注意到x3与x”之间的关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,22(x二)3(尸)32222(x)3-卬-3)322x3-y322222222TO-Z-HO-O-I,-Z'-ZO=(x3)-x3y3(y3)-(x3)x3y3(y3)2二_2(xy)飞二-23xyxy【总结升华】根式

13、的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1,且不含非正整数指数哥；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(2)4226(3)x22x13x3-3x23x-1【答案】2"+历；4/18+4/2；2x(x-1)-2(x:二-1)2(3J3)、2(3.3).2(3-3)【用牛析】(1)原式=-2-/4-2.32-(.3-1)23-；3=、2(3向2=2(126万;2、26(3-.3)(3.3)6(2)7(418-42)2-(418)2-241842(42)2"诃24182.2=3224622=4.22.60，由平

14、方根的定义得：4一22.6-41842；3x3-3x23x-1=3(x-1)3=x-1x1(x-1)x2x1=|x1|三-x-1(x：-1)2"3-3222x(x二1)一x2x1x-3x3x-1-2(x-1)11例6.已知x2x233x2y_3=3,求x2x3的值.x2x-23【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果11与条件x2+x2=3的联系，进而整体代入求值.11；x2+x2=3,二x+2+x=9,二x+x=7x22x=49,x2x2=4533_1Jx2x2-3(x2x2)(x-1x')-3=x2x-247-2_3X(7-1)-3_15=145453【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简33后代换”方法求值.本题的关键是先求x2+x2及x2+x'的值，然后整体代入.举一反三：【变式1求值：112.K二X11,(1)已知x2+x