2017年上海嘉定区高考数学二模试卷有答案

1、2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷、填空题（本大题共有12题，才f分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1,函数y=2sin2（2x）-1的最小正周期是2.设i为虚数单位，复数工2若，则|z尸3.设f1（x）为fG）二乌的反函数，则f1（1）x+14.产+3同111rl；廿82n+3n5 .若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是CTSc6 .设等差数列an的前n项和为Sn,若=,则下-=.a33占37.直线，工：。为参数）与曲线，x=3+V2cos8y=5+V2sin0（0为参数）的公共点的个数是28,已知双曲线C1与双曲线

2、C2的焦点重合，C1的方程为若C2的一条渐近线的倾斜3角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为.21一一一一一一9 .若土、于下，则满足f（x）>0的x的取值范围是.=x-x9310 .某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为卷和卷.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为.11,设等差数列&的各项都是正数，前n项和为Sn,公差为d.若数列何?也是公差为d的等差数列，则an的通项公式为an=、一r_.，一、r一一.、一，,.一、*12.设xCR,用x表小不超过x的最大整数（如2.32=2,

3、-4.76=-5）,对于给定的nCN,定义C那陪唱瑞，其中XW，八则当虻砥，3）时，函数f（x）=C雷的值域是二、选择题（本大题共有4题，才f分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 .命题若x=1,则x2-3x+2=0”的逆否命题是（）A.若xw1,则x2-3x+2w0B.若x2-3x+2=0,则x=1C.若x23x+2=0,贝IJxw1D,若x23x+2w0,贝Uxwl14 .如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点,F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥Ai-EFGH的左视图

4、是()15 .已知ABC是边长为4的等边三角形，D、P是4ABC内部两点，且满足AD-(AB+AC),则4ADP的面积为(A.乎B.零C.零D.加9Q上116 .已知f(x)是偶函数，且f(x)在0,+00)上是增函数，若f(ax+i)&f(x-2)在在专，上恒成立，则实数a的取值范围是()A.-2,iB,-2,0C.-i,iD,-i,0三、解答题(本大题共有5题，才f分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 .在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-b=2,c=4,sinA=2sinB.(I)求ABC的面积；(H)求sin(2A-B).18

5、 .如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=8,BC=5,AAi=4,平面a截长方体得到一个矩形EFGH,且AiE=DiF=2,AH=DG=5.(i)求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；(2)求直线AF与平面a所成角的正弦值.19 .如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(1,专,两个焦点为Fi(T,0)和F2ab*2(1,0).圆O的方程为x2+y2=a2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过Fi且斜率为k(k>0)的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点(点A、P在x轴上方)，当|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列时，求弦PQ的长

6、.20 .如果函数y=f(x)的定义域为R,且存在实常数a,使得对于定义域内任意x,都有f(x+a)=f(-x)成立，则称此函数f(x)具有“P(a)性质”.(1)判断函数y=cosx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P(a)性质”，请说明理由；(2)已知函数y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x00时，f(x)=(x+m)2,求函数y=f(x)在区间0,1上的值域；(3)已知函数y=g(x)既具有“P(0)性质”，又具有“P(2)性质”，且当-1Wx01时，g(x)二|x|,若函数y=g(x)的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的

7、值.21 .给止数列an,右湎足a1=a(a>0且aw1),对于任息的n,mCN,都有an+m=an?am,则称数列an为指数数列.(1)已知数列an,bn的通项公式分别为、二3工，试判断an,bn是不是指数数列(需说明理由)；(2)若数列an满足：a1二2,%=4,an+2=3an+1-24,证明：an是指数数列；(3)若数列an是指数数列，4会(tCN*),证明：数列an中任意三项都不能构成等差数Tty：列.2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题，才f分54分，第16题每题4分，第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1

8、,函数y=2sin2(2x)-1的最小正周期是-y.【考点】H1：三角函数的周期性及其求法.【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos(奸小)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2(2x)-1,化简可得：y=1cos4x-1=-cos4x；97TJT最小正周期t二t.故答案为.1一处2 .设i为虚数单位，复数,则|z|=1.【考点】A8:复数求模.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解：复数z音虹露就缙=工一，则|z|=1.故答案为：1.3 .设f1(x)为F(x)=号的反函数，则f1(1)=1.x+i'【考点】4R：反

9、函数.【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：fG)二多的反函数，x+1其反函数f1(x),反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即系二1.可得：x=1,f1(x)=1.故答案为1.nn+1,oll+l4 .一；U【考点】8J:数列的极限.【分析】通过分子分母同除3n+1,利用数列极限的运算法则求解即可.5 .若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°.【考点】MI：直线与平面所成的角.【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R,进而解母线与底面所成角,然后求解母线与轴所成角即可.【解答】解：设圆锥的底面

10、半径为R,母线长为I,则：其底面积：S底面积=冗?,其侧面积：S侧面积="2冗Rl=兀RI;圆锥的侧面积是其底面积的2倍，.I=2R,故该圆锥的母线与底面所成的角0有，AR1cos0=-=,12'9=60；母线与轴所成角的大小是：30。.故答案为：30°.6,设等差数列&的前n项和为Sn,若二=|,则誓=_1_.a3J【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】=i，可得3(a1+4d)=5(a1+2d),化为：a1=d.再利用等差数列的求和公式即可得a33出.【解答!¥：'=g,3(ai+4d)=5(ai+2d),化为：a1=d.35X42

11、3d+3X2,1故答案为：f7.直线-2+ty=4-t（t为参数）与曲线1k=3+V2cos日7=5+（8为参数）的公共点的个数是1【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程.【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，冉将曲线的参数方程变形为普通方程,分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3,5）,半径=我，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案.【解答】解：根据题意，直线的参数方程为k2+ty=4-t,则其普通方程为x+y-6=0,曲线的参数方程为，工二3+V2cos61y+如式口日,则其普通方程为x-3)2+(y-5)2=2,该曲线为

12、圆，且圆心坐标为（3,5）,半径二避，圆心到直线x+y6=0的距离d3：§=加=,寸1+1贝U圆（x-3）2+（y-5）2=2与直线x+y-6=0相切，有1个公共点;故答案为：1.8,已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的万程为3一寸2=,若C2的一条渐近线的倾斜2角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为/4口.【考点】KC：双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可.2门【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为*-y2=i,焦点坐标（土2,0）.一，一V3，。双曲线C1的一条渐近线为：y=（&#

13、165;,倾斜角为30,C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=土相孔可得与c=2,解得a=1,b=Vs,a2所求双曲线方程为：/工二i.3故答案为：，-.'3T21一，、一一一，9 .若q,、T7、则潴足f(X)>0的x的取值范围是(1,+8).士二算-X【考点】7E:其他不等式的解法.【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之.【解答】解：由f(x)>0得到)工+即,所以尸>1，解得x>1;故x的取值范围为(1,+00);故答案为：(1,+8)；10 .某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新

14、产品成功的概率分别为聋和现安排甲组研发35新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的13概率为=.ru【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式.【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和4S5232则P(B)=(1-m(1-i)二急olb13再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B)=兼，J.13故至少有一种新产品研发成功的概率差.15故答案为圣.11,设等差数列&的各项都是正数，前n

15、项和为Sn,公差为d,若数列Q£也是公差为d的on-i等差数列，则an的通项公式为an=.【考点】84：等差数列的通项公式.【分析】由题意可得：Sn=nai+"6；1)d.an>0.J3=%+(n-1)d,化简nw1时可得：ai=(n-1)d2+2何d-5d.分别令n=2,3,解出即可得出.【解答】解：由题意可得：Sn=nai+n1-)d.an>0.S=/a7+(n-1)d,可得：Sn=ai+(n-1)2d2+2(n1)d,.nai+式不'd=ai+(n-1)2d2+2%屈(n-1)d.nwi时可得：ai=(n1)d2+2T|d-d.分别令n=2,3,可

16、得：ai=d2+21d-d,ai=2d2+2ad-d.u-解得ai=,d=7j-.2nTT故答案为:、一r_.，一、r一一.、一，,.一、*12.设xCR,用x表小不超过x的最大整数(如2.32=2,-4.76=-5),对于给定的nCN,定义Cx=n(n-l)-(n-x+l)nX(X-1)"*(z-x+l)其中xC1,3)时，函数f(x)=C"的伯域是(5,图LJ115,45.3【考点】57:函数与方程的综合运用.【分析】分类讨论，根据定义化简Cxn,求出Cxi0的表达式，再利用函数的单调性求出Cxi0的值X-10一,，里).3)'域.解：当xC之2)时，x=1,；

17、f(x)=C3当xC玄2)时，f(x)是减函数，f(x)6(5,当xC2,3)时，x=2,.f(x)=C条=诉亍,当xC2,3)时，f(x)是减函数，f(x)C(15,45;.当工琼，3)时,函数f(x)=C点的值域是(5，冬IUQ：5,45,故答案为：(5，学U(15，45.0、选择题(本大题共有4题，才f分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 .命题若x=1,则x2-3x+2=0”的逆否命题是（）A.若xwl,则x2-3x+2w0B,若x2-3x+2=0,则x=1C.若x23x+2=0,贝Uxw1D,若x23x+2w0,贝U

18、xwl【考点】25：四种命题间的逆否关系.【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2-3x+2w0,则xw1故选：DG、N是CD的三等分点,14 .如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点,F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1-EFGH的左视图是（【考点】L7:简单空间图形的三视图.【分析】确定5个顶点在面DCC1D1上的投影，即可得出结论.【解答】解：A1在面DCC1D1上的投影为点D1,E在面DCC1D1的投影为点G,F在面DCC1D1上的投影为点C,H在面DCC1D1上的投影为点N,

19、因此侧视图为选项C的图形.故选C15 .已知ABC是边长为4的等边三角形，D、P是4ABC内部两点，且满足AD（AB+AC）,AP=AD+BC,则4ADP的面积为（）A.孚B.浮C.乎D.屈4J已【考点】9V：向量在几何中的应用.【分析】以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.由于等边三角形的边长为4,可得B,C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得期，瑟,利用APD的面积公式即可得出.【解答】解：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴,二.等边三角形的边长为4,.B(-2,-2g)，C(2,-2/)，建立直角坐标系.二(0,正),由足AD(AB+AC)=-(2,2加)+(2,

20、2脏)AP=AD-p1k=(0,-无)+|(4,0)=(1,-蓝),aDpADP的面积为S=1|n|?证忌X播X氏学,若f(ax+1)wf(x-2)在,116 .已知f(x)是偶函数，且f(x)在0,+OO)上是增函数，上恒成立，则实数a的取值范围是()A.-2,1B,-2,0C,-1,1D,-1,0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合.【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f(x)是偶函数，且f(x)在(0,+8)上是增函数，易得f(x)在(-8,0)上为减函数，又由若在碍，1时，不等式f(ax+1)<f(x-2)恒成立，结合函数包成立的条件，求出其6成，1时f(x-2)的

21、最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围.【解答】解：:f(x)是偶函数，且f(x)在(0,+8)上是增函数，f(x)在(-OO,0)上为减函数，当虔,1时，x-2-1,故f(x-2)>f(-1)=f(1),若箕E碎，1时，不等式f(ax+1)wf(x-2)包成立，1时，|ax+1|01包成立,-1<ax+1<1,<a<0,-2<a<0,故选B.三、解答题（本大题共有5题，才f分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-b=2,c=4,si

22、nA=2sinB.(I)求ABC的面积；(H)求sin(2A-B).【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用.【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a,b的值，由余弦定理可求cosB,从而可求sinB,即可由三角形面积公式求解.（II）由余弦定理可得cosA,从而可求sinA,sin2A,cos2A,由两角差的正弦公式即可求sin（2A-B）的化解法二：（I）由已知及正弦定理可求a,b的值，又c=4,可知4ABC为等腰三角形，作BD±AC于D,可求BD=Jj/）工二庄，即可求三角形面积.（II）由余弦定理可得cosB,即可求sinB,由（I）知A=C?2A-B=l2B.从而sin（

23、2A-B）=sin（兀2B）=sin2B,代入即可求值.【解答】解:解法一：(I)由sinA=2sinB?a=2b.又=a-b=2,a=4,b=2.oR_a2+c2-b2_42+42-2£_TcosB=2ac-2X4X4-B-sinB=、：二，二.:二=，1-7-_.Saabc-焉csinB=乂4乂4xP-V15.上do22+42-42±-.2X2X44b?+c2_a2(II)cosA-2bcsinA-笃.、：二二，f-1-.sin2A=2sinAcosA=2x又不448cos2A=coJa-sin2A=一Dsin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB8又，)

24、*832-解法二：(I)由sinA=2sinB?a=2b.又=a-b=2,a=4,b=2.又c=4,可知ABC为等腰三角形.作BD±AC于D,则BD=A-'W42T'=V15-SaAbc=-XACx即4x2xVir=V15.(II)cosB=2ac2X4X4XsinB=>/i-C0s2g=i-(-)2=p.由(I)知A=C?2A-B=Tt-2B.sin(2AB)=sin(九一2B)=sin2B=2sinBcosB,2XV157,Wlf"2><8Xg=32-18.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=8,BC=5,AAi=4,平面

25、a截长方体得到一个矩形EFGH,且AiE=DiF=2,AH=DG=5.(i)求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；(2)求直线AF与平面a所成角的正弦值.【考点】MI:直线与平面所成的角；LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)由题意，平面a把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可.(2)解法一：作AM±EH,垂足为M,证明HGXAM,推出AM，平面EFGH.通过计算求出AM=4.AF,设直线AF与平面a所成角为9,求解即可.解法二：以DA、DC、DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面a一个法向量，利用直线AF与平面a所成角为9

26、,通过空间向量的数量积求解即可.【解答】(本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分)解：(1)由题意，平面a把长方体分成两个高为5的直四棱柱，九所叫舟曲(2+5)&5平，%俄比ygfj寺(BH锄吩烟=、(3+6)二5二,所以，尸vbeebl<gfc1y(2)解法一：作AM±EH,垂足为M,由题意，HGL平面ABBiAi,故HGLAM,所以AM,平面EFGH.因为S梯形必】EH=14,SAAA1E=4,所以Saaeh=10,)因为EH=5,所以AM=4.又研斗承二班,设直线AF与平面a所成角为9,则En8二瞿华亘ArId所以，直线AF与平面a所成角的正弦值为笔.15解法二

27、：以DA、DC、DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,2A则A(5,0,0),H(5,5,0),E(5,2,4),F(0,2,4),4),5x=0-3y+4z=0n'FE=0故而二(5,0,0，HE=(0，力则设平面a一个法向量为所以可取口二(0,4,3)设直线AF与平面a所成角为9,InI|AF|一所以，直线AF与平面a所成角的正弦值为弊.152219.如图，已知椭圆C:+工5二1(a>b>0)过点(1，慨)，两个焦点为Fi(T,0)和F2ab上(1,0).圆O的方程为x2+y2=a2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过Fi且斜率为k(k>0)的动

28、直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点(点A、P在x轴上方)，当|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列时，求弦PQ的长.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题；K3:椭圆的标准方程；KL:直线与椭圆的位置关系.2 2【分析】(1)求出c=1,设椭圆C的方程为号+-二1,将点(1，不代入，解得a2=4,然后aa-1工求解椭圆C的方程.(2)由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BFz|=4,通过|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列，'t2,264(的-1)+y0r-，推出|BF21W.设B(X0,y。)，通过，22解得B,然后求解直线方程，推3 打F

29、口It11出弦PQ的长即可.【解答】(本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分)解：(1)由题意，c=1,一、一，二了,飞19设椭圆c的方程为三+Yn,将点a,力代入戏+二a2a2-l2an口解得a2=4(双舍去),一.一.、一一.N2所以，椭圆C的方程为三_+匚=1.43(2)由椭圆定义，|AFi|+|AF2|=4,|BFi|+|BF2|=4,两式相加，得|AB|+|AF2I+IBF2I=8,因为IAF2I,|BF2|,|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF2|二2|BF2|,于是3|BF2|=8,即JBF,|=J.（叼7）+V口十，设B（X0,y0）,由，22解得B（=I",学

30、），XnyD33h-1I431（或设B（2ccim8,贝（2/口后eT）2+3式n2日解得ssB=sin,所以Big，.O-j所以，k=VlE,直线l的方程为尸寸记6+1）,WV15K-+V15-C,圆O的方程为x2+y2=4,圆心O到直线l的距离d=华，此时，弦PQ的长|PQ|=244-d2y.20.如果函数y=f(x)的定义域为R,且存在实常数a,使得对于定义域内任意x,都有f(x+a)=f(-x)成立，则称此函数f(x)具有“P(a)性质”.(1)判断函数y=cosx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P(a)性质”，请说明理由；(2)已知函

31、数y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x00时，f(x)=(x+m)2,求函数y=f(x)在区间0,1上的值域；(3)已知函数y=g(x)既具有“P(0)性质”，又具有“P(2)性质”，且当-1&x01时，g(x)二|x|,若函数y=g(x)的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值.【考点】57：函数与方程的综合运用.【分析】(1)根据题意可知cos(x+a)=cos(-x)=cosx,故而a=2k阳kCZ；(2)由新定义可推出f(x)为偶函数，从而求出f(x)在0,1上的解析式，讨论m与0,1的关系判断f(x)的单调性得出f(x)的最值；(3)根据新定义可知g(x)为周

32、期为2的偶函数，作出g(x)的函数图象，根据函数图象得出p的化【解答】解：(1)假设y=cosx具有“P(a)性质"，贝Ucos(x+a)=cos(-x)=cosx包成立，:cos(x+2ktt)=cosx,函数y=cosx具有“P(a)性质”，且所有a的值的集合为a|a=2k%kCZ.(2)因为函数y=f(x)具有“P(0)性质"，所以f(x)=f(-x)何成立，y=f(x)是偶函数.设0&x&1,则一xw0,f(x)=f(x)=(x+m)2=(xm)2.当m<0时，函数y=f(x)在0,1上递增，值域为m2,(1-m)2.当时，函数y=f(x)在0

33、,m上递减，在m,1上递增，ymin=f(m)=0,ymaK=f(l)-(l-in)2,值域为0,(1-m)2.当<欣工时，ymin=f(m)=0,(0)=m2,值域为0,m2.m>1时，函数y=f(x)在0,1上递减，值域为(1-m)2,m2.(3)y=g(x)既具有“P(0)性质”，即g(x)=g(-x),函数y=g(x)偶函数，又y=g(x)既具有“P(2)性质”，即g(x+2)=g(-x)=g(x),:函数y=g(x)是以2为周期的函数.作出函数y=g(x)的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g(x)与直线y=px交于点(2k,0)(kCZ),即有无数个交点，不合题意.当p>0时，在区间0,201