2015年海南高考理科数学试题及参考答案

1、2015年海南省高考理科数学试题及参考答案.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设复数z满足生=i,则|z|=1-z(A)1(B)2(C),3(D)2(2)sin20°cos10°-con1600sin10°=3.3_11(A)至(C)-2(D)2(3)设命题P:3n=N,n2>2n,则P为(A)-nN,n2>2n(B)3nN,n2<2n(C)VnN,n202n(D)3n=N,n2=2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投

2、篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312x2(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:土-y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦2点，若MF1MF2<0,则y0的取值范围是333.32、22,22.32.3、(A)(。'-T)(C)(一丁T)(一丁，丁(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米

3、的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛设D为AABC所在平面内一点TTBC=3CD,则T1一4F14土(A)AD=-ABAC(B)ADABAC333354?1rTT411-(C)AD=ABAC(D)AD=AB-AC3333(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)(-),k(B)(-),k(C)(-),k(D)(-),k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n=(A)5(B)6(C)7(D)8(10)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为(A)10(B)20(C)30

4、(D)60(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所本.若该几何体的表面积为16+20n，则r=(A)1(B)2(C)4(D)8(12)设函数f(x)=ex(2x1)ax+a,其中a41,若存在唯一的整数xo,使得f(x0)<0,则a的取值范围是()2r俯视图333-33、A.一一,1)B.-,-)C.一，一)2e2e42e4D.,1)2e第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(

5、13)若函数f(x)=xln(x+Ja+x2)为偶函数,则a=(14)一个圆经过椭圆上+的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.x-1.0(15)若x,y满足约束条件Jx-y<0,则工的最大值为xxy-4<0(16)在平面四边形ABCD中，/A=/B=/C=75°,BC=2,则AB的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)Sn为数列an的前n项和.已知an>0,a;+2fin=4SB+3(I)求an的通项公式：(n)设二二一,求数歹I4的前n项和(18)如图，四边形ABCD为菱形，/ABC=120°

6、,E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE，平面ABCD,DF，平面ABCD,BE=2DF,AEXEC.(1)证明：平面AECL平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,一，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.4XD年制销5：隹口县里年宣传费（千元）1x-tyw8*Z(xi-x)2i=18H2(WLW)i=18*(xi-X)(xi=1-ty)8工(Wi-i=1W)(yi-y)46.65

7、6.36.8289.81.61469108.8表中w=jx；,W=11wi8i=i（I）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dJX哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（R）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（田）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为2=0.2y-x.根据（H）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（uivi）,（U2V2）（UnVn）,其回归线V=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:n_X(Ui-

8、u)(Vi-v)_=,1=V%(Ui-U)2i1(20)(本小题满分12分)x2在直角坐标系xoy中，曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)父于M,N两点,4(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/OPM=/OPN?说明理由.(21)(本小题满分12分)1已知函数f(x)=x+ax+,g(x)=-lnx4(I)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(H)用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)=minf(x),g(x)x>0),讨论h(x)零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答

9、.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选彳41:几何证明选讲如图，AB是。的直径，AC是。O的切线，BC交。O于点E(I) 若D为AC的中点，证明：DE是。的切线;(II) 若OA=T3CE,求/ACB的大小.A1、O(23)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线C1:x=2,圆C2：(x1)2+(y2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I) 求C1，C2的极坐标方程；(II) 若直线C3的极坐标方程为8='(PWR)，设

10、C2与C3的交点为M,N,求4C2MN的面积(24)(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲已知函数用。=W+1|-2-a|,a>0.(I)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(H)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围-、选择题(1)A(2)D(3)C(7)A(8)D(9)C二、填空题(13)1(14)(x±-)2+y2=2524(4)A(5)A(6)B(10)C(11)B(12)D(16)二(15)3二、解答题(17)解：(I)由a；+2an=4Sn+3,可知a2+2an+=4&4+3.可得an+an+2(an平-a)=4an书即2

11、22(an1an)-an1-an-(an1a)(an1-a)由于an。可得an+an=2.又a；+2a=4a+3,解得a1=1(舍去)，a1=3所以Qn是首相为3,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.(II)由an=2n+1bnana1(2n1)(2n3)22n12n3).设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1b2IMbn1（3-5）（5-，川（12n1）一（2n3n3(2n3)(I)连结BD,设BDfAC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由NABC=120°,可得AG=GC=邪.由BE1平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AE_LEC,所

12、以EG=,且EG_LAC.在RtAEBG中，可得BE=T2故DF=，.在RtAFDG中，可得FG=y.2在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=应，DF=,2可得FE=W2.从而EG2+FG2=EF2,所以EG_LFG2又ACpFG=G,可得EG_L平面AFC.因为EGu平面AEC所以平面AEC_L平面AFC(III)，如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向,GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由(I)可得A(0,-73,0),E(1,0,历,F(-1,0,),C(0,73,0)所以2AE=(1,7372),CF=(-1,73,走).故cos(AE,CF)=E_

13、CF=更.2-AECF3所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为巫.3(19)解：(I)由散点图可以判断，y=c+dJX适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。2分(II)令w=JX,先建立y关于w的线性回归方程。由于x(wi-w)(yi-y)668d?i1108.8一J/-、2-1.6'(Wi-w)i1?=ydw=563-686.8=100.6o所以y关于w的线性回归方程为?=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为夕=100.6+68xo6分(III)由(II)知，当x=49时，年销售量y的预报值?=100.668、49=576.6年利润z的预报值2=576.6父0.2

14、-49=66.32。9分(ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值?=0.2(100.668.X)-x=-x13.6.x20.12所以当jx=6.8,即x=46,24时，2取得最大值212分故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。(20)解：(I)有题设可得M(2Q,a),N(2,a),或M(-2百,a).又2x-xy=,故丫=在x=2,a24处的导数值为百，C在点(2/aa出的切线方程为y-a=(x-2fa),即axya=02y=在x=-2返，即y+a=0.4股所求切线方程为Tax-y-a=0和四*十丫+a=0(III) 存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点

15、，M(x,y),N(x,y)直线PM,PN的斜率分别为k1,k2y=kxa代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故Xx2=4k,x1x2-4a.从而kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1x2=4k,x1x2=-4a.从而k1k2=、二b幺二bx1x22kxix2(a-b)(x,x2)xix2_k(ab)a当b=-a时，有ki+k2=0,则直线PM的倾角与直线PN勺倾角互补，故/OPMt/OPN所以点P(0,-a)符合题意(%,0)则“)=0,“)=0即31,.,xaxn=0(I)设曲线y=f(x)与x轴相切于点广x04>人2人3x0+a=0解得x°La=Y243因

16、此，当2=时，x轴为曲线y=f(x)的切线4(II)当x亡(1,收)时，g(x)=1nx父0,从而h(x)=minf(x),g(x)<g(x)<0,故h(x)在(1,收)无零点55当x=1时，右a之一一则f(1)=a十一之0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=4 4是5 一h(x)的苓点；右a一一，则f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,故x=1不是h(x4的零点当xw(0,1)时，g(x)=-1nxA0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数(i)若aW-3或a之0,则f'(x)=3x2+a在(1,0)无零点

17、，故f(x)在(0,1)单调15一f(0)=1,f(1)a+5,所以当aE-3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当2之0时可刈在(1,0)没二44(ii)若-3<a<0,则f(x)在(0,，1)单调递减，在(Ja,1)单调递增,故在(0,1)中当x=WT时，f(x)取得最小值，最小值为若f(J*>0.即-3<a<0,f(x)在(0,1)无零点;若f(J1)=0,即a=-则f(x)在(0,1)有唯一零点若f(Ja)<0,即_3<a<_3,由于f(0)=1,f(1)=a+5<a<_g,344445.时，f(x)在(0,1)有两个零点；当

18、-3<aE时，f(x)在(0,1)有一个零点43 5,.一，35.，一.一，2>-或2<-时，h(x)有一个苓点；当2=-或2=-一时，h(x)有两个苓点4 444,53一，.一.当-一<a一时，h(x)有二个苓点.44(22)解：(I)链接AE,由已知得，AE_LBCAC_LAB在RtMEC中，由已知得，DE=DC故NDEC=NDCE链接OE,则/OBE=/OEB又/ACB+/ABC=90°所以/DEC+/OEB=90故/OED=90°,DE是L。得切线(II)设CE=1,AE=X,由已知得AB=2，3,BE=Jl2-x2由摄影定理可得，AE=CE.BE,所以x2=V'12x2即x4+x212=0可彳导x=J3,所以NACB=60°(23)解：(I)因为x=Pcos8,y=Psin日,所以C1的极坐标方程为PcosB=-2,C2的极坐标方程为P2-2Pcos-4Psin日+4=0。5分(II)将日=二代入P22Pcos-4sin+4=0,得P23&P+4=0,解得4P1=20P2=五。故耳一P2=衣，即MN=五。.一.1由于C2的半径为1,所以AC2MN的面积为一。(I)当a=1时，f(x)>1化为x+1-2x-1-1>0,当xM1时，不等式化为x-4>