2016高考理科数学全国1卷-含答案

1、2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设集合Axx24x30,Bx2x(2)(3)(4)(5)(6)(7)(A)(3,设(1i)x1(A)1已知等差数列(A)100某公司的班车在一)(B)(3,一)22yi,其中x,y是实数，则(B)2an前9项的和为27,的时刻是随机的,1(A)3已知方程(B)997:30,8:00,8:30发车,则他等车时间不超过2x-2mn1,3)ao(C)(1,3)2(D)/3c(一,3)2yi(C),3(D)8,则a10098(D)97小明在7:50至8:30之间到

2、达发车站乘坐班车,10分钟的概率是且到达发车站1（B）万(D)2一y一1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为3mn(B)(1,43)(C)(0,3)(D)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28,则它的表面积是34,(A)17兀(B)18兀(C)2071(D)(0,28兀则m的取值范围是2,2的图象大致为yy11O(A)(B)X4e在函数y2x2-2O(8)(B)abcbac(9)(10)(11)(12)(C)alogbCblogaC(D)logaC10gbe执行右图的程序框图，如果输入的x0,y1,n1,则输出x,y的值满足(A)y以抛物

3、线点.已知(A)2平面2x(B)y3x(C)y4x(D)yC的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于AB4<2,过正方体面ABB1An,3(A)已知函数f(x)DE2/5,则C的焦点到准线的距离为结束(B)4(C)6(D)8ABCDAB1C1D1的顶点A,/平面CB1D1则m,n所成角的正弦值为(B)3(C)3(D)n平面ABCDm,sin(x)(0,f(x)的零点，x为yf(x)图象45的对称轴，且f(x)在(一，)单调,1836的最大值为(A)11(B)9(C)7(D)5第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题

4、为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。(13)设向量a(m,1),b(1,2)，且ab2b：则m(14)(2x6)5的展开式中，x3的系数是(用数字填写答案)(15)设等比数列an满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品

5、B的利润之和的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(acosBbcosA)c.(i)求C;(n)若cJ7,ABC的面积为打3.求AABC的周长.2(18)(本小题满分12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD,AFD90,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60。(I)证明：平面ABEF，平面EFDC;(n)求二面角EBCA的余弦值.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰以额外购买这种零件为备件，每

6、个200元.在机器使用期间,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X的分布列；(n)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值；(出)以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？(20)(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交

7、AD于点E.(I)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(n)设点E的轨迹为曲线Ci,直线l交Ci于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(n)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：xx22.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。1-OA为半径作圆(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，4OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心,(I)证明：直线AB与OO相切；(n)点

8、C,D在。O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/CD.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程xacost,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点y1asint,为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(I)说明Ci是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；(n)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan02,若曲线Ci与C2的公共点都在C3上，求a.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)x12x3.(I)在答题卡第(24)题图中画出yf(x)的图像；(n)求不等式f(x)1的解集.-11

9、7-Ir-一;r-:rTITM-nIn-rIT-Irn-IIT一Iru+ILITJ-1-+1a4一+-TI-一+一IIIIIIII_L_1il-111-11rI-=-"IT-:IT11-一TI+1-i-_1(HIu_-TI+I-_11TIHI-7FI1nIHIJ_TI+I1-_11rIHIL2016年全国卷I局考数学（理科）答案与解析-、选择题【答案】(I) DB(3)C(4)B(II) A(12)B【解析】(1) Axx24x30x1xac3。ABxx3.2(2) (1i)x1yi即xxi1yi，、x-c9(a1a9)92a5n(3) S9-59a522a100a1090d98.(

10、4)如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:00-AC小明到达的时间会随机的落在图中线段能保证他等车的时间不超过10分钟，1010根据几何概型，所求概率p4022(5)T一y-1表示双曲线，则mn3mn2c4,2222c(mn)(3mn)4m解得m21,1n3.(6)原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1/8后的三视A(6)AD(8)C(9)C(10)B3Bx2x30xx-21,解得：x1,xyi、ix2y2J2.yy1a53,-a108，d-a-a51,二1058:108:208:30DBAB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才1一.2(m2n)(3m2n)0,m2n3

11、m2,7/8的球面面积和三个扇形面积之和,7212S-421.1310g22log32,C正确；log3_log2-,排除D；选C2231221784f(2)8e282.820,排除a；f(2)8e282,721,排除B；x0时，f(x)2x2ex,f(x)4xex,当x(0)时，f(x)-4e0044，1、，、f(x)在(0,)单调递减，排除C;4故选Dcc(8)对A：由于0c1,.函数yxc在R上单调递增，因此ab1ab,A错误；对B：由于1c10,.函数yxc1在1,上单调递减，c1c1cc.ab1abbaab,b错误对C：要比较alogbC和blogac,只需比较和alnaalncbl

12、nc和,只需比较lnblnalnclnc和,只需blnbblnbalna(9)如下表:循环节运行次数n1xxx2yyny判断22“xy36是否输出nnn1运行前01/1A次101否否2第二次122否否3第三次326是是构造函数fxxlnxx1,则f'xlnx110,fx在1,上单调递增，因此11fafb0alnablnb0alnablnb又由0c1得1nc0,lnc-!n-c-blogacalogbc,C正确alnablnb对D：要比较lOgaC和闻。，只需比较见c和Jn_clnalnb而函数ylnx在1,上单调递增，故ab1lnalnb0lnalnb又由0c1得1nc0,ln-cin

13、-clogaclogbc,D错误lnalnb故选C.【2。用特殊值法，令a3,b2,c1得3222,排除A；322232,排除B；2，3输出x-,y6,满足y4x故选C-2，(10)以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理2222设抛物线为y2Pxp0,设圆的方程为xyr,题目条件翻译如图:A七,22仁pc设，D上,<52点A",2、2在抛物线y22Px上，82px02D旦,55Pr2点2在圆x2y2r2上，2-Ax,2222222点在圆xyr上，xo8r联立解得：p4,焦点到准线的距离为p422【如图，设抛物线方程为y2px,圆的半径为r,AB,DE交x轴于C,F点，则AC

14、2a即A点纵坐标为2，2,则A点横坐标为4,即OC4,由勾股定pp理知DF2OF2DO2r2,AC2OC2AO2r2,即(V5)2(-)2(2匹2(-)2,解得p4,即C的2p焦点到准线的距离为4】(11)如图所示:/平面CBiDi,.若设平面CBiDG平面ABCD则m"/m又.平面ABCD/平面ABC1D1,结合平面BD1cH平面A1B1c1D1BD.BQ/,故BQ/m同理可得：CD1nn故m、n的所成角的大小与BD1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1CB1D1CD1(均为面对交线),因此CD1B1,即sinCD1B1吏.32试题分析:如图,谩平面力In平面相(?

15、力=才，平面叫rn平面4尾4=4因为盒“平面小马,所以相修力川心则脱产所成的笔等于用利斫成的角一过4作马初用c交功的延长线于点£连接CEf则CX为附，连接送/过3作耳后匕破,交巧的延长我于点石，则用耳为才.连接孙则BDilCE.BgAfi,则阳;网所成的用第为4民5。所成的角？为60°故加内所成串的止弦值为当，(12)由题意知:一+k17t4兀.兀+k2+42则2k1,其中kZ=f(x)在工勺单调，5三T1218363618122，接下来用排除法若11,4,此时f(x)sin11x-,f(x)在，口递增，在4,且递减，不满418444436足f(x)在工，2单调;18369

16、,.tt”51r若4,此时f(x)sin9x-,满足f(x)在,单调递减41836试题分析二因为工=为/(r)的零点，*=为二/附醐啦I揶轴，所以gT即44414£=4A+lr=4fc-l1£,所以刃二斗上十出醇,又因“6在fl*里调所以244由1B36/维一2二”玉(二手，即。W12,则3的最大值为9故选B361S1222a?、填空题(13)-2(14)10(15)64(16)216000(13)由已知得a(m1,3),a(14)(15)(16)(m1)232m2121222，解2.20,解得m2.(2x>/x)5的展开式的通项为C5(2x)5r(.x)r25rC5

17、xr2(r0,1,2,，令54,所以x3的系数是2C4设等比数列故an10.an的公比为q(q0)，a1a2，.二响ann3或4时，aa2设生产A产品x件,线性规则约束为1.5x0.5y<150x0.3y<905x3y<600x>0y>0*xN*yN目标函数z2100xa310a4a1aq2aq3aq10a1解得3)(2)(n4)1n(n7)249-4an取得最大值2664.B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造900y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)可行域为;建立如图所示的空间

18、直角坐标系G-xyz.(60J00)lX|DO120在(6°,10°)处取得最大值，z210060900100216000、解答题(17)解:(I)由已知及正弦定理的，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC,即2cosCsin(AB)sinC,故2sinCcosCsinC,1.可信cosCC,23133(II)由已知，一absinC,22又C一,ab6,3由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7,故a2b213,从而(ab)225,.ABC的周长为5<7(18)解:(I)由已知可得AFXDF,AFXFE,AFL平面EFDC.又AF平面ABEF,故平

19、面ABEJ平面EFDC.(II)过D作DG，EF,垂足为G,由(I)知DG，平面ABEF,以G为坐标原点，？?尚方向为x轴正方向，|?由单位长，由(I)知/DFE为二面角？?-?的平面角，故/?00°,则|?=2,|?|?=v3,可得？?(1,4,0),?(-3,4,0),?(-3,0,0),?(0,0,v3),由已知，AB/EF,，AB/平面EFDC,又平面ABCD?平面EFDC=CD,故AB/CD,CD/EF,由BE/AF,可得BE,平面EFDC,/CEF为二面角C-BE-F的平面角，/CEF=60°,从而可得C(-2,0,v3),?=(1,0,v3),?建(0,4,0

20、),?=(-3,-4,v3),?=(-4,0,0),设？?=(?是平面BCE的法向量，则?=0,即x+z=0,可取？?=(3,0,-闻，?隼0,4y=0?阳=0.设？?是平面ABCD的法向量，则'同理可取？=(0,v3,4),?=0(19)解:则cos?=焉=-鬻，故二面角E-BC-A的余弦值为-鬻台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率(I)由柱状图并以频率代替概率可得，分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X=16)=0.2X0.2=0.04,P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16,P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24,P(X

21、=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24,P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2,P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08,(III)记丫表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，当n=19时，EY=19X200X0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.04=4040.当n=20时，EY=20X200X0.88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选

22、n=19.(20)解:(I)|AD|=|AC|,EB/AC,故/EBD=/ACD=/ADC.|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|.又圆A的标准方程为(x224.1)y16,从而|AD|=4,|EA|+|EB|二由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:1(y0).(II)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(kN(x2,y2)yk(x1)由x2y21，得(4k23)x28k2x4k21243则x1x28k22，XiX24k34k2124k23MN,1k2Xix212(k21)4k23过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y

23、1,、(x1),A到m的距离为kPQ4k23k2故四边形MPNQ的面积S-|MPPQ1214k3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8<3).当l与x轴垂直时，其方程为x1,MN3,PQ8,四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8/3)(21)解:1)(ex2a).(I) f(x)(x1)ex2a(x1)(x设a0,则f(x)(x2)ex,f(x)只有一个零点.(ii)设a0,则当x(,1)时,f(x)0；当x(1,)时，f(x)0.f(x)在(，1)单调递减，在(1,)单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b2b)0,一a

24、_22f(b)2(b2)a(b1)a(b故f(x)存在两个零点.(iii)设a0,由f(x)0得x1或xln(2a).4e若a,则ln(2a)1,故当x(1,)时，f(x)0,因此f(x)在(1,)单调2递增.又当x1时，f(x)0,f(x)不存在两个零点;e右a,则ln(2a)1,故当x(1,ln(2a)时，f(x)0;当x(ln(2a),)2时，f(x)0.因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减，在(ln(2a),)单调递增.又当x1时，f(x)0,f(x)不存在两点零点.综上，a的取值范围为(0,).,1)(II)不妨设x1x2,由(I)知，x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(单调递减，x1x22f(x1)f(2