大学概率论与数理统计公式全集

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBAABBA结合律(AB)CA(BC)ABC(AB)CA(BC)ABC分配律A(BC)ABACA(BC)(AB)(AC)德摩根律ABABABAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A)1P(A)加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)条件概率公式P(B|A)P(AB)1P(A)乘法公式P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Aj)P(BAj)i1贝叶斯公式（逆概率公式）P(Aj)P(BAj)P(Aj|B)P(Aj)P(BAi)i1伯努利概型公式

2、Pn(k)c；pk(1p)nk,k0,1,n两件事件相互独立相应公式P(AB)P(A)P(B)；P(BA)P(B)；P(BA)P(BA)；P(BA)P(BA)1；P(BA)P(BA)1、随机变量及其分布1、分布函数性质P(Xb)F(b)P(aXb)F(b)F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0-1分布B(1,p)P(Xk)pk(1p)"k0,1二项分布B(n,p)P(Xk)C；kpk(1p)nk,k0,1,n泊松分布P()kP(Xk)e,k0,1,2,k!几何分布G(p)P(Xk)(1p)k1p,k0,1,2,超几何分布H(N,M,n)CkCnkP(Xk)M补M,k丨，|1,mi

3、n(n,M)Cn3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布u(a,b)1,axbf(x)ba0,其他0,xa匚/xxa.F(x),axbba1,xb指数分布E()ex,x0f(x)0,其他0,x0F(x)4xn1e,x0正态分布N(,2)(x)2122f(x)exV2(t)21xF(x)e2dtV2标准正态分布N(0,1)x2/1T(X)7|ex(t)21X22F(xedt1、Pi2、pijPji3、4、5、三、多维随机变量及其分布离散型二维随机变量边缘分布P(XXi)P(XXi,Yyj)Pijjj离散型二维随机变量条件分布P(XxiYyj)P(X心yj)巴,ijP(Yyj)PjP(Y

4、yjXxi)x菩PjP(Yyj)1,21,2连续型二维随机变量(X，丫)的联合分布函数P(XiF(x,y)连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数:xFx(x)yFY(y)二维随机变量的条件分布fYx(yx)f(x,y)fx(x)f(u,v)dvdu边缘密度函数:f(u,v)dudvfxY(xy)f(x,y)fy(y)Xi,丫yj)Pijiyf(u,v)dvdufx(X)fv(y)f(x,v)dvf(u,y)du四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)XkPkk1连续型随机变量：E(X)xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C)C,C为常数EE(X)E(X

5、)E(CX)CE(X)(2)E(XY)E(X)E(Y)E(aXb)aE(X)bE(CiXiCnXn)ClE(Xi)CnE(Xn)若XY相互独立则：E(XY)E(X)E(Y)(4)e(xy)2e2(x)e2(y)3、方差:D(X)E(X2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0DD(X)0D(aXb)a2D(X)D(X)E(XC)2(2)D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)若XY相互独立则:D(XY)D(X)D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)E(X,Y)E(X)E(Y)若XY相互独立则：Cov(X,Y)06、相关系数：XY(X,Y)Cov(X,Y)若XY相互独立则：XY0即XY不相关

6、JD(X)D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)(2)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1分布B(1,p)Pp(1p)二行分布B(n,p)npnp(1p)泊松分布P()几何分布G(p)1p1p2p超几何分布H(N,M,n)MnNMMNmnN(1N)N1均匀分布U(a,b)ab2(ba)212正态分布N(,2)2指数分布E()11五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若E(X),D(X)2,对于任意0有PXE(X

7、)或PXE(X)1巴学2、大数定律：若XiXn相互独立且n时,Xi1-E(Xi)ni1(1)若X1dnnXn相互独立，E(Xi)i,D(Xi)2且i2M贝卩：-XiP-E(Xi),(n)ni1ni1若X11nXn相互独立同分布，且E(Xi)i则当n时：XiPni1ni13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20的独立同分布时，当n充分大时有：XknYnk1，nN(0,1)(2)拉普拉斯定理：随机变量t2limpnnpxx_e'dtnp(1p)、2(n1,2(X)B(n,p)则对任意X有:n近似计算：P(aXkb)P(ank1nXknk1bn)(bn、严n)nn)

8、(,n)In，六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(X)样本(Xi，X2Xn)的联合分布为F(X1,X2Xn)'F(Xk)k12、统计量nnn(1)样本平均值：X1Xi(2)样本方差：S2丄(XiX)2丄(Xi2nX2)n.”n1.”n1.”nn样本标准差：S丄(XiX)2(4)样本k阶原点距：Ak丄Xik,k1,2¥n1i1ni1n_(5)样本k阶中心距：BkMk-(XiX)k,k2,3ni1(6)次序统计量：设样本(X1,X2Xn)的观察值(X1,X2Xn)，将为Xn按照由小到大的次序重新排列，得到X(1)X(2)X(n)，记取值为X(i)的样本分量为X(i)，则

9、称X(1)X(2)X(n)为样本(X1,X2Xn)的次序统计量。X(1)min(X1XXn)为最小次序统计量；X(n)max(X"X2X.)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量X1,X2Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量2X12X2X2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为22(n)性质：E2(n)n,D2(n)2n设X2(m),丫2(n)且相互独立，则XY2(mn)爲所服从t分布：设随机变量XN(0,1),Y2(n)，且X与丫独立，则随机变量:的分布称为自由度的n的t分布，记为Tt(n)(x)2性质：Et(n)0,Dt(n)n,(n2

10、)limt(n)N(0,1)1e22n2nJ2F分布：设随机变量U2(nJ,V2短)，且U与V独立，则随机变量Fg,n?)所Vn2服从的分布称为自由度(mri2)的F分布，记为FF(mm)性质：设XF(m,n)，贝S丄F(n,m)X七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用(Xi，X2，Xn)估计总体参数，称(Xi,X2,Xn)为的估计量，相应的(Xi,X2,Xn)为总体的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：(总体矩二样本矩)离散型样本均值：nXE(X)-Xi连续型样本均值：XE(X)Xf(X,)dXni1dn离散型参数：E(X2)丄Xi2ni13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X1,X2,Xn取自X的样本，设X