大学物理静电场练习题及答案

1、练习题7-1两个点电荷所带电荷之和为Q,它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?解：这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电Qq，两点电荷之间的库仑力为F14Qqq20r由极值条件dFdq0，得q2又因为d2F1dq222<00这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大7-2两个相同的小球，质量都是m带等值同号的电荷q,各用长为I的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。(1)试证平衡时有下列的近似等式成立:q2|32°mg式中x为两球平衡时的距离。(2) 如果1=m，m=10g，x=cm，则每个小球上的电荷量q是多少？(3

2、) 如果每个球以1.0109CS-1的变化率失去电图7-43练习题7-2图荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少？解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有TsinFTcosmg由此二式可得tanFmg因为很小，可有tanx2l，再考虑到可解得(2)由上式解出(3)由于dxdt带入数据解得合力的大小为Fx令dFdx0,2q4°x2q2l2°mg3°mgxl2.38108Comg23q13dq2xdqdt3qdt1.40103ms-12F1cos2-41404x232e2x32d2即有8e214x2d232由此解得粒子受力最大的位置为dx2、27

3、-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及2e2x28x24x2d252*P图7-45练习题7-4用图土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q和I均为已知，对图7-44中的P点(0P平行于正方形的一边)，证明当x?I时匚3plEp其中，p=ql称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题设左边和右边两个电偶极子在P7-3可知方向向下方向向上其中，p=ql。P点处的合场强为2|3p3x2|2当4oX2丄23X2由于上式

4、可简化为3pl40X方向向上证毕。7-5如图7-46所示，长为l的细直线0A带电线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点0点为b的P点的电场强度：(1)为常量，且>0;(2)=kx，k为大于零的常量，(0<X<1)。OA图7-46练习题7-5用图dx解：(1)将带电直线分割成无数个长度元dx,dX的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为dE0因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为E'104odx111xb24obb14obb1方向沿x轴的负方向。(2)同样取电荷

5、微元dq=dx=kxdxdEkxdx同理11kxdx04oxb方向沿x轴的负方向7-6一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q求环心处的电场强度。解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线在弧线上取线元dl，其电荷dqdl，此电荷元可视为R点电荷，它在o点的电场强度为dE_dsrd4oR20因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有ExLdEx0习题7-6用图点0的合电场强度为EEyL-dEyl-dEsin冀sinR2其中，负号表示场强方向与y方向相反。将dq曙d|，dlRd，带入上式，积分得QoR222sin42oR2负号表示场强方向

6、与y方向相反7-7一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当RX时，P点的电场强度为多少？（3）当x?R时，P点的电场强度又为多少？练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为叶dr的细圆环,如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为dExdSx2rdr于是，整个圆盘上的电荷在ox2r232ox2P点产生的场强为xrdr（1）当R2ox2r232时，R?x。此时，上式可化为212R2即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面P点电场强度为（3）当x?R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时

7、4R2q4oX24°x27-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为R和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求：（1）I、II、山三个区域中的场强；图7-47练习题7-8用图（2）若Q1=Q2，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线（即Er关系曲线）。解：(1)在区域I，做半径为r<Ri的球形高斯面。因为高斯面内无电荷,根据高斯定理E14r20可得区域I中的电场强度为E=0在区域II，以RirR2为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q，由高斯定理得dS=E24r2Q10由此可解得区域II的电场强度为E2Q120在区域III,做半径r>R的

8、球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为由高斯定理可得Q+Q,sE3dS1qi0iE34rQ20=Q1=4Q22or(2)当Q1=Q2时，根据以上结果易知区域I的场强为E=0区域II的场强为E2Qi4or2区域III的场强为E3=0根据上述结果可画出如图所示Er关系曲线7-12水分子的电偶极矩为6.1310-30Cm，如果这个电偶极矩是由一对点电荷土e引起的（e为电子电量），那么，它们的距离是多少？如果电偶极矩的取向与强度为106NC-1的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量（用eV表示）？解：（1）由电偶极矩的定义PeqllR6.13103011丁3.831011(m)

9、q1.61019（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A,则AqElqEl2eEI21.610191063.8310111.610197.66105(eV)7-13计算练习题7-8中I、U、川区域中的电势。解：（1）根据题7-8所得I、U、川区域中的电场分布,U,E,0;可得区域Qi4or2I的电势为E2;E3ErRiEidrrdrR2RiE2drR2E3drR2Qi冃4由此解得2drorQiQ2&2dr4or2UiRi区域u的电势分布为U2E?drrR2E2drR2Esdr区域川的电势分布为U3E?drE3drQ,Q2or(2)若QiQ2，贝U区域I的电势为UiEdrrRiEidrrR2R

10、E2drR2EsdrR2QiR4or2drQi2Ri1R2区域u的电势为U2E?drr»E2dr4orR2区域川的电势为U3E?drrE3dror。试求7-i4“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R,单位长度上带电量为+其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为R的Po点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为E=E2or电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距带电直线为R的P0点为电势零点，如本题解图所示。当rvR时pEdrpoREdr0r这个结果可以一般地表示为PoRREdrEdrdrPrr2orTnr0InRRIn2or7-16同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7图7-49练习题7-16用图49所示。设内圆柱体的电势为Ui，半径为尺