参数假设检验学习教案

1、会计学1参数参数(cnsh)假设检验假设检验第一页，共87页。引例 某厂要在生产线上加工一种直径为100mm的轴，加工出来一批后，检验人员从生产出来的轴中随机抽取了一个由16根轴构成的样本，测量出平均(pngjn)直径为110mm，样本方差为100。问生产线是否出了问题。实际(shj)管理问题中的判断是否准确?统计学上的假设检验问题(wnt)抽样调查获得观察数据进行假设检验获得管理问题的正确判断第1页/共86页第二页，共87页。假设(jish)“生产线没问题”加工出来(ch li)的轴平均直径为100mm抽取样本计算出样本的平均直径110mmH0: =100H1: 100是不是可能性很小的结果

2、计算检验统计量拒绝H0Y不拒绝H0N与事先定义的小概率进行比较第2页/共86页第三页，共87页。参数检验：已知总体分布，猜出总体的某个(mu )参数（假设H0），用一组样本来检验这个假设，是否正确（是是否拒绝H0）。非参数检验：猜出总体分布（假设H0），用一组样本(yngbn)来检验这个假设，是否正确（是否拒绝H0）。应用应用(yngyng)中对于一个包含参数的总体，经常会遇到这样的问题：我们已经猜到了参数值或知道了参数的理论值，要利用样本来检验总体的参数值是否确实等于所猜到的值或理论值。这就是参数假设检验的问题。中对于一个包含参数的总体，经常会遇到这样的问题：我们已经猜到了参数值或知道了参数

3、的理论值，要利用样本来检验总体的参数值是否确实等于所猜到的值或理论值。这就是参数假设检验的问题。第3页/共86页第四页，共87页。第4页/共86页第五页，共87页。两类错误(cuw)：在假设检验时有可能犯如下两类错误(cuw)：第1类错误（“弃真”错误）：拒绝了真实(zhnsh)的假设H0 。通常称犯第1类错误的概率为显著性水平。第2类错误（“存伪”错误）：接受(jishu)了错误的假设H0 。这种判断不是绝对意义上的判断，而是“统计意义”上的判断，因而可能出错。小概率事件在一次随机试验中发生的可能性是很小的。第5页/共86页第六页，共87页。例如，有一个厂商声称，他的产品的合格品率很高，可以

4、达到99%，那么从一批产品（譬如100件）中随机抽取一件，这一件恰恰好是次品的概率就非常小，只有1%。如果厂商的宣传是真的，随机抽取一件是次品的情况就几乎是不可能发生的。但如果这种情况确实发生了，就有理由怀疑原来的假设，即产品中只有1%的次品的假设是否成立(chngl)，这时就有理由推翻原来的假设，可以做出厂商的宣传是假的这样一个推断。第6页/共86页第七页，共87页。依据小概率原理推断可能会犯错误！依据小概率原理推断可能会犯错误！假设假设(jish)(jish)上例中上例中100100件产品中确实只有件产品中确实只有1 1件是次品，但恰好在一次抽取中被抽到了，按件是次品，但恰好在一次抽取中被

5、抽到了，按前面的方式将得到一个错误的判断，但犯错误前面的方式将得到一个错误的判断，但犯错误的概率很小，本例是的概率很小，本例是1%1%，也就是说我们在冒，也就是说我们在冒1%1%的风险做出厂商宣传是假的这样一个推断。的风险做出厂商宣传是假的这样一个推断。相关的问题: 抽到多少件次品, 可判断厂商(chngshng)的宣传是假的? 第7页/共86页第八页，共87页。显著性水平(shupng)的值通常取或。第8页/共86页第九页，共87页。在这一节中总是在这一节中总是(zn sh)假设假设),(2NX原假设 H0： = 0备择假设 H1： 0注意备择假设H1相当于两个事件( 0)中有一个出现，因此

6、这样的参数检验称为双尾检验（双侧检验）。第9页/共86页第十页，共87页。因此(ync),(20nNX) 1, 0(0NnXZ统计量Z具有特征：一旦给定了样本数据(shj)的值，我们就可以计算出该统计量的值z； 其分布是完全确定的。于是对于一个充分小的（显著性水平），我们可以找到一个临界值 使得2z|2zZP/2的面的面积积z/2即 是小概率事件。|2zZ 第10页/共86页第十一页，共87页。2|zz 则上述小概率事件发生了。但小概率事件在一次实验（或观察）中出现的可能性是非常(fichng)小的。它居然发生了，因此有理由怀疑H0的真实性。也就是我们拒绝原假设。反之，若z满足2|zz 我们就

7、不拒绝(接受(jishu)原假设H0。假设检验方法的另一种理解第11页/共86页第十二页，共87页。对引例中的问题，如果按某种生产规范，轴直径的标准差为8。并且一般来说，轴的直径服从(fcng)正态分布。于是问题转化为，已知正态总体的方差，要检验其均值是否等于100mm的问题。原假设(jish)H0： = 0 (= 100)备择假设(jish)H1： 0检验统计量51681001102znXZ于是对于给定的显著性水平，查表可以到临界值96. 12z而2|zz 所以拒绝H0，因此生产线可能出了问题。(是否解决了引例中的问题?)第12页/共86页第十三页，共87页。上面的讨论表明(biomng)参

8、数的假设检验中的检验统计量应该满足：1）其值通过样本观察值计算出来；2）其概率分布应该是完全确定的。如果(rgu)X的方差2未知，则统计量) 1, 0(0NnXZ不再符合要求。处理的方法是将Z的表达式中的2用其样本方差S2代替。于是得到新的统计量) 1(0ntnSXT第13页/共86页第十四页，共87页。对于(duy)一个充分小的（显著性水平），我们可以找到一个临界值 使得2t|2tTP/2的的拒绝域拒绝域t/2记将样本数据代入T统计量的表达式中计算(j sun)的结果为t，则若2|tt 则表示出现了小概率(gil)事件 。这可能性非常小，但竟然发生了。因此我们怀疑H0的真实性，因此拒绝H0。

9、|2tT 反之，若2|tt 不拒绝H0。第14页/共86页第十五页，共87页。这实际上指考虑如下(rxi)假设的检验原假设(jish) H0： = 0备择假设 H1： 0这一检验称为单尾（单侧）检验，其实际背景见p149，例。仍取T为检验统计量，即面积的的拒绝域拒绝域) 1(0ntnSXT但拒绝原假设的事件为 其中 满足tT tTP第15页/共86页第十六页，共87页。例例 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值为设正品镍合金线的抗拉强度服从均值为10620 (kg/mm2)10620 (kg/mm2)的正态分布的正态分布, , 今从某厂生产今从某厂生产(shngchn)(shngchn)的镍合金线

10、中抽取的镍合金线中抽取1010根根, ,测得平均抗拉强度测得平均抗拉强度10600 (kg/mm2) ,10600 (kg/mm2) ,样本标准差为样本标准差为80.,80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格? (? (=0.1) =0.1) 解:H0： 10620；H1： 10620)9(1010620:10620tSXT时查表得临界值为 - t(9) = -1.383, 但这里(zhl)8331. 179. 010801062010600t不拒绝(jju)H0第16页/共86页第十七页，共87页。显著性水平的意义可以用如下(rxi)的表达式描述|00

11、为真拒绝HHP因此(ync)是犯第1类错误的概率水平。注意：所谓双尾检验是备择假设具有形式 H1： 0的检验，单尾检验为备择假设具有形式 H1： 0的检验第17页/共86页第十八页，共87页。我们(w men)是通过由样本观察值计算得到的统计量值与临界值进行比较来判断是拒绝还是不拒绝原假设的。以未知方差(fn ch)时的双尾检验为例。就是当2|tt 时拒绝原假设H0，否则不拒绝H0。/2的拒的拒绝域绝域t/2第18页/共86页第十九页，共87页。而临界值 的意义就是(jish)：t/2使得2tk |2tTP设由样本数据(shj)计算得到t (t 0)值，则随机变量T位于t外侧的概率为PT t

12、= 1 PT tt/2t-t概率密度函数曲线下方去掉阴影部分后，剩下部分的面积就是p=2(1 PT t)（如图），称这剩下部分的面积为“t统计值的p值”。很明显，如果 p ，则t位于临界值t/2的外侧，因此拒绝H0。t0时可以(ky)得到同样的结论（只需对-t进行讨论即可）。第19页/共86页第二十页，共87页。上述讨论表明p值是否定原假设H0的“最低显著性水平（实际显著性水平）”。利用p值进行假设检验的实际意义在于(ziy)几乎所有的统计软件都自动地计算p值，因此现在利用p值来判断是否拒绝原假设比前面介绍的方法更为方便。对于单尾检验的情形(qng xing)，检验统计值的p值的定义为p =

13、1 P相应(xingyng)的统计量 该统计值 若p , 则不拒绝原假设H0。第20页/共86页第二十一页，共87页。上述假设检验的方法(fngf)有时也称为显著性方法(fngf)。此外进行假设检验还有另一种方法(fngf)置信区间法。假设总体X服从正态分布，但总体方差2未知。设X1, X2, , Xn是X的一组样本。则要检验总体的均值是否为0, 可以通过t检验进行。即对于给定的显著性水平，可以查t临界值表，得到临界值 。当检验统计量T的值满足2t2|tT 拒绝原假设(jish)，否则不拒绝原假设(jish)。第21页/共86页第二十二页，共87页。若拒绝(jju)原假设，意味着有)|(|2t

14、TP反之若不拒绝(jju)原假设，则意味着1)|(|2tTP也就是下面表达式成立(chngl)的概率为120tnSX这不等式等价于nStXnStX202将样本数据代入后，这就是置信水平为1 的总体均值的置信区间。换言之，如果要检验的参数假设值落在总体均值的置信区间内，我们应该不拒绝原假设。第22页/共86页第二十三页，共87页。例 （p168）1. 按教材(jioci)介绍方法：第23页/共86页第二十四页，共87页。总体均值总体均值(jn zh)的的假设值假设值第24页/共86页第二十五页，共87页。样本均值T统计(tngj)值p值样本均值(jn zh)与总体均值(jn zh)差的置信区间下

15、界第25页/共86页第二十六页，共87页。对于显著性水平 =，由于(yuy)从SPSS的计算结果得到 p ，故不拒绝原假设。2. 利用(lyng)置信区间进行检验。第26页/共86页第二十七页，共87页。第27页/共86页第二十八页，共87页。由于待检验的总体(zngt)参数假设值落在置信区间，故应该不拒绝原假设。第28页/共86页第二十九页，共87页。第29页/共86页第三十页，共87页。引例引例 某厂要在生产线上加工某厂要在生产线上加工(ji gng)(ji gng)一种直径为一种直径为100mm100mm的轴，加工的轴，加工(ji gng)(ji gng)出来一批后，检验人员从生出来一批

16、后，检验人员从生产出来的轴中随机抽取了一个由产出来的轴中随机抽取了一个由1616根轴（？）构成的一个根轴（？）构成的一个样本，测量出平均直径为样本，测量出平均直径为110mm110mm，样本方差为，样本方差为100100。问生产。问生产线是否出了问题。线是否出了问题。回顾引例，利用前面介绍的假设检验方法(fngf)，我们拒绝了总体均值为100mm的原假设。但是也可能有疑问：是不是由于样本数量太少，导致的这一结果？自然地，我们希望知道，多大的样本容量是合适的？直观地考虑，不难想到：希望犯错误的风险越低，样本容量就应该越大。第30页/共86页第三十一页，共87页。某厂要接受供货商提供的一批电池，按

17、设计(shj)要求，电池寿命的均值应不低于120小时，现在检验人员从货物中随机抽取了由36个电池构成的一个样本进行检验，以确定是否应该接受这批电池。假设电池的寿命服从正态分布，且已经知道正态分布的标准差为=12。为便于说明问题，考虑一个类似于引例(yn l)的例子：记0=120，并且(bngqi)。考虑原假设 H0：0备择假设 H1：0则检验统计量为nXZ0第31页/共86页第三十二页，共87页。对给定的显著性水平，若由样本数据(shj)计算的统计值zZ则拒绝(jju)原假设H0，而接受备择假设H1。当显著性水平(shupng)为时，645. 1z因此，当645. 136121200zxnx即

18、71.1163612645. 1120 x时，拒绝H0，否则，若71.116x则不拒绝H0。第32页/共86页第三十三页，共87页。按照这一方法来拒绝按照这一方法来拒绝H0，犯第一类错误，犯第一类错误(cuw)的概率为的概率为 。但接受。但接受H0时，也可能因为时，也可能因为H0其实并不真，而犯第二类错误其实并不真，而犯第二类错误(cuw)。现在考察犯第二类错误。现在考察犯第二类错误(cuw)的概率。假设我们得到的概率。假设我们得到71.116x则我们将不拒绝(jju)H0，但实际上电池的平均寿命为115a此时(c sh)86. 0361211571.116nxza查正态分布表可知，当时，位于

19、z上侧的面积是。面积为，不拒绝H0即P(x116.71| )=0.1949 115a第33页/共86页第三十四页，共87页。面积(min j)为，不拒绝H0因此，当真实的均值为115时，只要我们计算(j sun)的z值对应的x落入图中阴影部分，我们就会不拒绝H0，所以概率)|H(1949. 00aP接受就是(jish)我们在 时犯第二类错误的概率。115aa0面积为，拒绝H0对于同样的z值，它对应的x将落在相对于以0为中心的正态分布的H0的不拒绝域中（如图）。x 由此可见，在给定的样本容量下降低犯第一类错误的概率，将增加犯第二类错误的概率。反之亦然第34页/共86页第三十五页，共87页。因此，

20、一般不会将显著性水平取得任意小。这时为了将犯第二类错误的概率下降(xijing)到一个可接受的水平，通常的做法是，增大样本容量。a0c记c为正态分布 下拒绝H0的临界值，则它与标准(biozhn)正态分布下的临界值 的关系是),(20nNznzc0但与正态分布 比较(bjio)，可知),(2nNanzca在标准正态分布下对应c的临界值第35页/共86页第三十六页，共87页。于是(ysh)，可得nznza0解之得azzn0)(两边平方就得到给定犯第二类错误临界水平(shupng) 的总体均值假设检验的样本容量公式2022)()(azzn注：对双尾检验，只要(zhyo)将式中的单尾检验的临界值换成

21、相应的双尾检验的临界值即可。z 标准正态分布一侧面积为标准正态分布一侧面积为 时对应的时对应的z值；值； z 标准正态分布一侧面积为标准正态分布一侧面积为 时对应的时对应的z值；值； 0原假设中总体均值的值；原假设中总体均值的值； a出现第二类错误时总体均值的实际值。出现第二类错误时总体均值的实际值。第36页/共86页第三十七页，共87页。某厂要接受供货商提供的一批电池，按设计要求，电池寿命的均值应不低于某厂要接受供货商提供的一批电池，按设计要求，电池寿命的均值应不低于120120小时，现在检验人员从货物中随机抽取了一个小时，现在检验人员从货物中随机抽取了一个(y )(y )由由3636个电池

22、构成的一个个电池构成的一个(y )(y )样本进行检验，以确定是否应该接受这批电池。样本进行检验，以确定是否应该接受这批电池。考虑(kol)例子关于第一类错误的说明：如果电池(dinch)的平均寿命为120小时，我们愿冒的风险概率拒绝这批货物。关于第二类错误的说明：如果电池的平均寿命比规格要求少5小时，我们愿冒的风险概率接受这批货物。第37页/共86页第三十八页，共87页。在本例中10. 0,05. 0查正态分布表，得28. 1,645. 110. 005. 0zz而已知115,120,120a于是(ysh)3 .49)115120(12)28. 1645. 1 (222n因而(yn r)建议

23、选择的样本容量为不低于50。第38页/共86页第三十九页，共87页。202202第39页/共86页第四十页，共87页。202问题(wnt)的实际背景见p152例。原假设(jish)H0：202备择假设H1：202检验统计量 设已经得到样本观察值x1, x2, , xn。则可以计算样本方差S 2。根据上一章讨论的结果有统计量) 1() 1(2222nSn若原假设H0成立，则上面的统计量是一个合乎要求的检验统计量。第40页/共86页第四十一页，共87页。对给定的显著性水平，可以(ky)确定临界值22122,使得(sh de)2,22212222PP因此如果我们通过样本观察值计算(j sun)得到的

24、2统计量的值2满足2212222或这表明在一次抽样的结果中出现了概率仅为的事件。这不太可能，因此我们拒绝原假设H0；否则若表达式（*）不成立，则我们不拒绝原假设H0 。（*）22122第41页/共86页第四十二页，共87页。202问题(wnt)的实际背景见p153例。原假设(jish)H0：202备择假设H1：202检验统计量 仍采用检验统计量) 1() 1(22022nSn这是一个单尾检验问题。对给定的显著性水平，可以确定单侧临界值21使得212P第42页/共86页第四十三页，共87页。如果我们(w men)通过样本观察值计算得到的2统计量的值2满足212则我们拒绝(jju)原假设H0；否则

25、上式不成立，则我们不拒绝(jju)原假设H0 。21面积(min j)为的拒绝域由于正态总体的方差检验是利用服从2分布的统计量进行的,因此也称为2检验第43页/共86页第四十四页，共87页。0.15220.028 (cm ).s (0.05)22221000:0.0225, :HH20H220(1)nS2(1)n20.05(9)16.919220(1)9 0.02811.216.9290.0225sn0H2(1)n第44页/共86页第四十五页，共87页。) 1, 0(0NnXZ) 1(0ntnSXT) 1() 1(22022nSn第45页/共86页第四十六页，共87页。00.050.10.15

26、0.20.250.30.350.40.45-3.5-1.50.52.5k=5k=20正态分布由于当自由度充分大时，由于当自由度充分大时，t分布非常分布非常接近标准正态分布。因此大样本情接近标准正态分布。因此大样本情况下，（）通常不使用况下，（）通常不使用 t 统统计量，而是使用计量，而是使用Z统计量。此外这统计量。此外这也意味着对于非正态总体，在大样也意味着对于非正态总体，在大样本情形，也可用该方法进行假设检本情形，也可用该方法进行假设检验。验。30n) 1, 0(0NnSXZ第46页/共86页第四十七页，共87页。从应用的普遍程度来看，关于方差的检验远不及关于均值的假设检验。关于均值是否(s

27、h fu)改变的假设检验常用于下列问题：改变了工艺或配方(pi fng)，是否提高了平均效率或产品质量？培训前后（或学习前后），是否提高了技术水平、效率等？某管理措施实施后，是否提高了平均效率或产品质量？采用某治疗方案，病人的某项指标是否明显改变？。第47页/共86页第四十八页，共87页。在实际中，常要考虑具有(jyu)一定特征的某类个体在总体中占的比例问题。设该类个体在总体中占的比例为p，记X为在总体中随机抽取一件恰好是这种个体的结果，则X服从0-1分布B(1, p)。实际中，可能并不知道该类个体的比例p。因此需要通过抽取随机样本来估计总体的参数p。第48页/共86页第四十九页，共87页。例

28、 招聘测试问题。某公司人力资源部要招聘若干名某专业领域的工程师。出了10道选择题，每题有4个备选答案，其中只有一个是正确(zhngqu)的。也就是说正确(zhngqu)的比率只有1/4。问至少应答对几道题，才能考虑录取？录取(lq)某应聘者他不是完全凭猜来答题他答题正确的概率大于1/4通过他的答题来检验参数p 1/4第49页/共86页第五十页，共87页。一般地，设XB(1, p)，设X1, X2, , Xn是X的n个随机样本。则可以(ky)得到均值函数的期望值和方差。但在小样本情况下，不知道均值函数的分布。可见均值函数不能作为合适的检验统计量。但是如下的统计量的分布是完全知道的：nXXXY21

29、实际上，Y服从(fcng)二项分布B(n, p)。检验(jinyn)方法：原假设：备择假设：00:ppH01:ppH注意这里的检验统计量并非样本的均值函数，因此检验方式有别于前面的假设检验。第50页/共86页第五十一页，共87页。注意Y = r，表示n次取样中，恰有r次取到所关注的个体。如果所关注的个体占的比例p=p0，则r不应该(ynggi)太大，否则就应有pp0。换言之，存在某个阈值k，若r k，则拒绝原假设(jish)H0，而接受备择假设(jish)H1。阈值k按如下的确定：由于只要Y k，就拒绝原假设。但拒绝原假设可能犯错误。自然希望犯错误的概率比较(bjio)小。对事先给定的 ，k是

30、满足下式的最小整数：krrYP)(即所有取值大于或等于k的事件Y概率之和不超过。确定k后，则只要n次抽样中所关注的个体出现的次数不小于k，则拒绝原假设H0，而接受备择假设H1.第51页/共86页第五十二页，共87页。下面(xi mian)考虑例的解原假设(jish)：备择假设(jish)：25. 0:0pH25. 0:1pH1021XXXY)25. 0,10( BY若原假设成立，则 rrrrYP10)25. 01 ()25. 0(10)(由此可得k=6。因此只有当答对的题数超过6道题时，才会受聘。第52页/共86页第五十三页，共87页。对于某类个体在总体中的比例问题，本质(bnzh)上都可使用0-1分布B(1, p)的分布样本X1, X2, , Xn，构造检验统计量 来检验该类个体在总体中的比例。但是当样本容量充分大时，Y的统计值的计算比较困难。而此时，按中心极限定理，近似地有统计量nXXXY21)1 (,(npppNX因而可以按照前面那样，利用上述(shngsh)分布来