第三章 杆系有限元

1、有限单元法基础有限单元法基础The basis and fundamentals of finite element methods 第三章第三章 杆系有限元基础杆系有限元基础3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 杆系结构有限元分析实例杆系结构有限元分析实例很多工程结构由很多工程结构由杆件组成，这类杆件组成，这类结构的设计往往结构的设计往往需要进行有限元需要进行有限元分析。分析。常见的杆系结构常见的杆系结构梁梁拱拱刚架刚

2、架桁架桁架弹簧弹簧3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统1一个弹簧单元一个弹簧单元的分析的分析2弹簧系统弹簧系统什么是单元特性？弹簧单元的刚度矩阵弹簧系统的总刚度矩阵如何求解系统的平衡方程弹簧单元的刚度方程弹簧单元刚度矩阵的特点弹簧单元分析弹簧单元分析l 弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度： ji

3、,jiuu ,jiff ,k已知弹簧力位移关系：fk ijuu f弹簧力，拉伸为正 弹簧伸长弹簧单元分析弹簧单元分析考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(写成矩阵形式：矩阵符号形式：弹簧单元刚度方程，单元特性jijiuukkkkff方法一：kdf 弹簧系统分析弹簧系统分析思考问题：1）k 有什么特点？jjjiijiikkkkkjijiuukkkkff上式中：fdk单元节点力向量单元节点位移向量弹簧单元的刚度矩阵2）k 中元素代表什么含义？3）上面方程可以求解吗？为什么？kkkkk弹簧系统分析弹簧系统分析求解一个弹簧系统：1）各单元的特

4、性分别为：单元1：单元2：22213222221211211111ffuukkkkffuukkkk弹簧系统分析弹簧系统分析2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：22321122111fFffFfF把单元特性代入，得到：322233222111221111)(ukukFukukkukFukukF弹簧系统分析弹簧系统分析上面方程写成矩阵形式：或 （系统的有限元平衡方程） FKDK 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）F 整体节点载荷列阵讨论：（1） 有哪些特点和性质？ （2）上面方程能求解吗？ KD 整体节点位移列阵系统平

5、衡方程节点载荷与节点总内力的平衡弹簧系统分析弹簧系统分析方法2：单元刚度方程扩大叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：元素按总体节点序号重新排列，对号入座。要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。 2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！弹簧系统分析弹簧系统分析b. 将上面的矩阵方程叠加，得到：系统总节点力（内力）与节点位移的关系系统特性。c. 代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：22321122111fFffFfF注意：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加！弹簧系统分析弹簧系统分析该方程展开后分为2个部分：未知量

6、为2个节点位移和一个支反力32,uu1F解上面方程得：弹簧系统分析弹簧系统分析 注意：注意：上述弹簧系统的分析求解原理和过程就上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。散后系统的分析求解原理和过程。弹簧系统分析弹簧系统分析例题1：弹簧系统已知条件：求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力弹簧系统分析弹簧系统分析解：（a）各单元的刚度矩阵为：弹簧系统分析弹簧系统分析应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：或总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状

7、、稀疏弹簧系统分析弹簧系统分析由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：（b）先施加位移边界条件 将 带入平衡方程后，第2，3方程为：041 uu弹簧系统分析弹簧系统分析求解得：222232()20032200()Fkk uuN （拉力）弹簧系统分析弹簧系统分析对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵弹簧系统分析弹簧系统分析要点回顾1、弹簧单元刚度方程的建立、弹簧单元刚度方程的建立jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(jijiuukkkkffkdf 弹簧变形平衡弹簧变形平衡322233222111221111)(ukukFukukkukFukukF弹簧系统的集成弹簧系统的集成

8、1 1）列节点平衡方程法）列节点平衡方程法22321122111fFffFfFFKD单元特性系统节点平衡条件相加22321122111fFffFfF系统节点平衡条件单元特性FKD系统节点平衡方程引入系统节点平衡条件2）单元方程扩大相加法第三章第三章 杆系有限元基础杆系有限元基础3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架一维等截面杆单元杆单元二维空间杆单元如何用直接法求杆单元特性？如何用公式法导

9、出杆单元特性？什么是虚功原理？杆单元刚度矩阵的特点？什么叫坐标变换？如何对节点位移向量进行坐标变换？如何对刚度矩阵进行坐标变换？应用举例二维桁架等截面杆单元等截面杆单元jiuud单元节点位移：L 杆长A 截面积E 弹性模量jifff单元节点力：等截面杆单元等截面杆单元应力应力应变关系：应变关系：dxduE)()()(xxxuu杆单元位移杆单元位移杆单元应变杆单元应变杆单元应力杆单元应力应变应变位移关系：位移关系：等截面杆单元等截面杆单元杆应变：L杆应力：LEE杆内力：kLEALEAAF杆的轴向刚度：LEAk （一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：ijuu 等截面杆单元等截面杆单元轴向拉压变形

10、模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk 等截面杆单元等截面杆单元轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk 等截面杆单元等截面杆单元（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）单元上假设近似位移函数单元上假设近似位移函数位移模

11、式位移模式单元上位移假设为线性多项式函数：单元上位移假设为线性多项式函数：xaau10用插值法把多项式中的待定系数用插值法把多项式中的待定系数 转化为待定节点位转化为待定节点位移移u ui i,u,uj j, ,从而得到从而得到插值形式插值形式的假设位移函数的假设位移函数单元位移模单元位移模式如下：式如下：01,aa( )( )( )iijju xN x uNx u( )1,( )ijxxNxNxLL上式中：形函数。中称为形状函数，简称是插值基函数，有限元jiNN ,等截面杆单元等截面杆单元 单元位移模式写成矩阵形式：NdjijiuuNNu( )( )( )iijju xN x uNx u注意

12、：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量， 只能对应2个多项式系数。称为单元形函数矩阵。称为单元形函数矩阵。,jiNNN式中等截面杆单元等截面杆单元单元应变：BddNdxddxdu单元应变矩阵 B单元应力：BdEE下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。NdjijiuuNNu( )( )1/1/ijdN xNxLLdx B等截面杆单元等截面杆单元 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。平衡条件对于杆单元，定义虚位移如下：jiuud节点虚位移：单元虚位移：dNu节点力（外力）虚功：fdT则单元虚应变：dB)( udxdq虚位移原理等截面杆单元等截面杆单元

13、单元虚应变能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT对杆单元应用虚功原理，得：ddBBdfdTdVEVTT考虑到 的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。杆单元刚度矩阵等截面杆单元等截面杆单元对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！VdVEBBkT等截面杆单元等截面杆单元（三）关于杆单元的讨论1 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2 2个自由度。个自由度。2 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：刚度

14、方程中令：01jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211单元刚度方程等截面杆单元等截面杆单元 所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的所有节点力分量。）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。2111kkffji等截面杆单元等截面杆单元（四）举例例1：求图示段杆中的应力。解：系统分为个杆单元，单元之间在节点连接。 单元刚度矩阵分别为：等截面杆单元等截面杆单元（四）举例例：求图示段杆中的应力。解：系统分为个杆单元，单元之间在节点连接。 单元刚度矩阵分别为：等截面杆单元等截面杆单元参考弹簧系统的方法

15、，装配系统的有限元方程（平衡方程）：321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：系统平衡方程化为：31200110132022FPFuLEA等截面杆单元等截面杆单元上述方程组中删除第，个方程，得到：位移解：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA解得：等截面杆单元等截面杆单元单元2应力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式 的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出

16、节点位移有限元位移法。BdEE二维杆单元二维杆单元（一）2-D空间中杆单元（平面桁架）1-D空间杆单元 2- D空间杆单元 坐标变换二维杆单元二维杆单元原来原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系空间中的杆坐标系作为局部坐标系局部局部总体总体每节点一个每节点一个dof每节点每节点2个个dofiiuv（ ， ）iivu ,( , )x yYX,二维杆单元二维杆单元1. 节点位移向量的坐标变换：iidTd二维杆单元二维杆单元向量的坐标变换矩阵为向量的坐标变换矩阵为：lmmlTTTT1显然是正交阵，即：显然是正交阵，即：2. 单元节点位移向量的变换式或Tdd T00TT3. 单元节点力向量的变换式：

17、Tff 二维杆单元二维杆单元4.刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：扩充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：Tdd Tff 二维杆单元二维杆单元TfTdkfTdkTT总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：TkTkTTfTdkfkd 用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。二维杆单元二维杆单元5. 单元应力计算：即：二维杆单元二维杆单元（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：1. 求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：二维杆

18、单元二维杆单元单元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu二维杆单元二维杆单元单元2：2-32222135ml，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu二维杆单元二维杆单元2. 将单元1，2的刚度矩阵扩大到系统规模（6阶）叠加得到总刚度矩阵，再列出系统平衡方程：二维杆单元二维杆单元3

19、. 引入边界约束和载荷：则上面6阶有限元方程凝聚为：212220022PPvuLEA4. 解出未知位移：2122PPEALvu二维杆单元二维杆单元5. 按公式计算杆应力：得到：)(220011112221211PPAPPEALLE)(220011112221212PPAPPEALLE第三章第三章 杆系有限元基础杆系有限元基础3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架平面内一般梁单元简单梁单元（

20、弯曲变形）三维空间梁单元简介.23.4.3结构总刚度矩阵及其性结构总刚度矩阵及其性质质梁单元的单元特性梁单元的单元特性梁单元的单元刚度矩阵梁单元的单元刚度矩阵离散结构的整体分析离散结构的整体分析平面刚架的整体分析平面刚架的整体分析单元与节点单元与节点局部坐标系下的平面梁局部坐标系下的平面梁单元单元单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换三维空间梁单元刚度矩三维空间梁单元刚度矩阵阵 梁上任一节点梁上任一节点i i处有处有2 2个位移分量：个位移分量： 挠度挠度 及转角及转角 。简单梁单元简单梁单元一、离散化，节点位移与节点载荷对图对图(a)(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为

21、直梁，根据结构和载荷情况，分为3 3段，每段段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是物理模型是“焊接焊接”。ifi简单梁单元简单梁单元 一个节点位移用列阵表示为：一个节点位移用列阵表示为： Tiiiiiff i称为节点称为节点i i的的节点位移节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点对应节点位移分量，梁上任一节点i i的载荷也有的载荷也有2 2项：项： 横向力横向力 和弯矩和弯矩 ，称为，称为广义力广义力。iZiM简单梁单元简单梁单元二、单元特性分析建立简单梁单元的单元刚度方程v 单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节

22、点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；v 分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度L，弹性模量E，截面惯性矩为I。简单梁单元简单梁单元 Tjjiieff称为单元称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。的单元节点位移列阵（向量）。 ev 单元节点位移：v 结构中一个单元一般在结构中一个单元一般在节点处节点处的截面上要受到结构其它部分的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为对该单元的作用力，称为单元节点力单元节点力。该单元每节点。该单元每节点2 2个节个节点力分量：剪力点力分量：剪力q q，弯矩，弯矩m m（分别与节点的（分别与节点的2 2个位移分量对个位移分量对

23、应）。应）。简单梁单元简单梁单元 2、单元特性的建立v与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。这个关系就是单元的特性（刚度特性）。v 下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：节点位

24、移之间有线性关系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211v简记为：简记为： eeekp简单梁单元简单梁单元上式就是梁单元的刚度方程。上式就是梁单元的刚度方程。 称为单元刚度矩阵，其中每称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。个元素都是常数。 ek为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：程为：4321444342

25、413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（这里（这里1，2，3，4是单是单元自由度序号）元自由度序号）第第1 1列刚度元数就是第列刚度元数就是第1 1个节点位移分量为个节点位移分量为1 1，其他位移分量皆，其他位移分量皆为为0 0时所有节点力分量。时所有节点力分量。刚度方程刚度方程简单梁单元简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：按上述物理意义求刚度矩阵元素： 0001e413121114321aaaassss按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：挠度：转角：转角：联立解出：联立解出

26、：再由梁单元的静力平衡条再由梁单元的静力平衡条件得：件得：梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第至此已求出刚度矩阵的第1 1列列元素。元素。32121132sls luEIEI 212202sls luEIEI 11132212126E IsalE Isal31313412412126EIssalEIsslsal 简单梁单元简单梁单元再设：再设： 0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二同理，由梁的变形公式和平衡条

27、件可求得刚度矩阵的第二列元素：列元素：1222264EIalEIal3224262EIalEIal 梁单元变形梁单元变形由刚度方程可得：由刚度方程可得：简单梁单元简单梁单元同样的方法可以求出其余同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：列元素，从而求出单元刚度矩阵： 2232212612664621261266264ellllllEIklllllll显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；）对称性；2）奇异性；）奇异性；3）主对角元素恒正）主对角元素恒正。 eeekpv 刚度矩阵求得后，单元特性

28、就完全确定：刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：简单梁单元简单梁单元v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点力列阵分块： ejieppp ejie单元节点位移列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：分块形式的单元刚度矩阵： ejjjiijiiekkkkk上面每一子块均为上面每一子块均为21子列阵。子列阵。 每一子块均为每一子块均为22子矩阵子矩阵 3、单元刚度方程的分块 eeekp简单梁单元简单梁单元v 将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共将上式按分块矩阵乘

29、法展开，得两个矢量方程（共4个代个代数方程）：数方程）：ejeijeieiieikkpejejjeiejiejkkp因此，单元刚度方程分块形式表示为：因此，单元刚度方程分块形式表示为：ejiejjjiijiiejikkkkpp eeekpv 从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。义：相关节点位移对对应节点力的贡献。简单梁单元简单梁单元v 上面按分块形式表示的单元刚度方程上面按分块形式表示的单元刚度方程节点力节点力节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限

30、元分析中广泛采用。洁，在有限元分析中广泛采用。简单梁单元简单梁单元 以离散结构的各节点作为隔离体，以节点以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，建立其为例，建立其平衡方程。平衡方程。单元节点力单元节点力的反作用力的反作用力外载荷外载荷单元节点力单元节点力单元节点力单元节点力v 节点节点2的受力分为两类：的受力分为两类： 1）外载荷：）外载荷： 2）单元（）单元（1）、（）、（2）上节点力的反作用力：）上节点力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq简单梁单元简单梁单元v 由节点由节点2的静力平衡条件得的静力平衡条件得： 221222221212222ppmqmqMZQ单元节点力单元

31、节点力的反作用力的反作用力外载荷外载荷单元节单元节点力点力单元节点力单元节点力节点节点2 2的外载荷的外载荷= =节点节点2 2对其所有相连单元的节点力之和（节对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力点总内力）也就是节点也就是节点2 2所受外载荷所受外载荷 要分配到相连的单要分配到相连的单元上。元上。2Q简单梁单元简单梁单元v 由前面给出的单元（由前面给出的单元（1 1）、（）、（2 2）分）分块形式单元刚度方程代入节点块形式单元刚度方程代入节点2 2的的平衡方程：平衡方程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122

32、122)(kkkkppQ 121221112112kkp 232232222222kkp简单梁单元简单梁单元v同理，由节点3的平衡可得： 43343333233223233233)(kkkkppQv由节点1、4的平衡得： 21121111111kkpQ 43443343344kkpQ 将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk简单梁单元简单梁单元 QK上式简写为：上式简写为： QK 结构（系统）有限元平衡方程结构（系统）有限元平衡方程 344343334333

33、233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK简单梁单元简单梁单元l 结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。l 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。这些性质。l 总刚度矩阵中有大量元素为总刚度矩阵中有大量元素为0 0，因此矩

34、阵具有稀疏性，因此矩阵具有稀疏性l 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。 结构总刚度矩阵的讨论：简单梁单元简单梁单元 总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：性质如下： 1 1）对称性；）对称性； 2 2）奇异性；）奇异性； 3 3）稀疏性；）稀疏性； 4 4）非零元素带状分布）非零元素带状分布简单梁单元简单梁单元 结构有限元平衡方程的讨论：432143213443433343332332322

35、23222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献总总刚子块的物理意义。刚子块的物理意义。简单梁单元简单梁单元43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程右端是各节

36、点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。总节点力）之间的平衡。结构有限元平衡方程可以叙述为：结构有限元平衡方程可以叙述为： 总节点力（内力）总节点力（内力） = = 节点外载荷。节点外载荷。简单梁单元简单梁单元43214321344343334333233232223222122121112111000000Q

37、QQQkkkkkkkkkkkk 对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。移，通过剩余方程求出支反力。平面一般梁单元平面一般梁单元 iiiivu iiiiMYXQ Q平面刚架平面刚架模拟平面一般梁单元平面一般梁单元 单元有单元有2个节点：个节点：i，j 局部坐标系下节点位移分量：局部坐标系下节点位移分量： 轴向位

38、移：轴向位移： 横向挠度：横向挠度： 转角：转角： 局部坐标系下节点力分量：局部坐标系下节点力分量： 轴向力：轴向力： 横向剪力：横向剪力： 弯矩弯矩：fTqm平面一般梁单元平面一般梁单元 单元有单元有6个位移分量个位移分量 6个自由度个自由度 单元节点位移列阵：单元节点位移列阵： 单元节点力列阵：单元节点力列阵：平面一般梁单元平面一般梁单元v在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不耦合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。iiijjjffv因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：2222

39、22222222000012612600646200000012612600626400iiiiiijjjjjjEAEAllEIEIEIEITllllqfEIEIEIEImllllTEAEAllqfEIEIEIEImllllEIEIEIEIllll1111iijjTEATL2232212612664621261266264iiiijjjjqfllmllllEIqflllllllm平面一般梁单元平面一般梁单元222001260620EAlEIEIllEIEIll平面一般梁单元平面一般梁单元i cossin0sincos0001 平面一般梁单元平面一般梁单元 Tjjjiiievuvu Tjyjxj

40、iyixiemPPmPPp节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。平面一般梁单元平面一般梁单元 eeeTeeTkTp eeekp eeTeeTkTk平面一般梁单元平面一般梁单元平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到： emekK1 QK三维空间梁单元三维空间梁单元 ziyixiiiiiwvu zjyjxjjjjjwvu jie三维空间梁单元三维空间梁单元 局部坐标系下单元刚度矩阵v三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转

41、变形的组合。v前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：v 由于在小变形条件下上述变形互不耦合，分别建立这三种变形的 刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。1111xixipxjxjmGIml三维空间梁单元三维空间梁单元33223233232222120120000064000640000000001261200000126120000000000000062640000000626400000000zyPyyzzzzzy

42、yyPPyyyyzzzzEAlEIlEIlGIlEIEIllEIEIllEAEAllEIEIEIlllEIEIEIlllGIGIllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll（对称）三维空间梁单元三维空间梁单元三维空间梁单元三维空间梁单元 总体坐标系下三维梁单元刚度矩阵 iiiiiiwvuwvu ziyixiziyixi )cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos(zzyzxzzyyyxyzxyxxx eeeTeT eeTeeTkTk第三章第三章 杆系有限元基础杆系有限元基础3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3

43、 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 刚架分析实例刚架分析实例设两杆的杆长和截面尺寸相同，设两杆的杆长和截面尺寸相同， 27kN/m101 . 2 E杆件长 m。 10l刚架受力简图刚架受力简图刚架分析实例刚架分析实例(1)结构离散化后结构离散化后 将结构划分为将结构划分为4个结点、个结点、3个单元个单元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面积截面积 ，惯性矩，惯性矩 (2) 求结点载荷求结点载荷 首先须求局部坐标系中固定端支座反力首先须求局部坐标系中固定端支座反力 eF0

44、(a) 单元单元1作为两端固定梁反力示意图作为两端固定梁反力示意图 (b) 单元单元2作为两端固定梁反力示意图作为两端固定梁反力示意图刚架分析实例刚架分析实例单元单元1 11010222110129.6 1048kN229.6 1080KN m1212oqlVVqlMM单元单元2 11020311030116080KN22160 10200KN m88PVVPlMM在局部坐标系下单元载荷列向量在局部坐标系下单元载荷列向量 单元单元1 804808048010F单元单元2 20080020080020F单元单元3 00000030F刚架分析实例刚架分析实例 为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求

45、单元得坐标转换矩阵为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵 T单元单元1、2 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T00单元单元3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T刚架分析实例刚架分析实例 求各单元在整体坐标下的求各单元在整体坐标下的等效结点载荷等效结点载荷 eP0 10201101

46、01108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT刚架分析实例刚架分析实例 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求刚架的等效结点载荷求刚架的等效结点载荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P刚架分析实例刚架分析实例因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。 T0

47、000200800120128080480 PP(3) 求单元刚度矩阵求单元刚度矩阵由于单元由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故的尺寸相同，材料弹性模量相同，故 ek 321kkk梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260460612061200000222323222323刚架分析实例刚架分析实例 232110350052501750525052510505251050001050000

48、1050017505250350052505251050525105000105000010500kkk则（4）求整体坐标系中的 ek单元1 111111T122211211kkkkkIkIk单元2 222222233322322kkkkkkk单元3 33T33TkTk刚架分析实例刚架分析实例 33343323222444103500052517500525010500001050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求结构整体刚度矩阵）求结构整体刚度矩阵 K利用刚度集成法利用刚度集成法 3443

49、42223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立原始平衡方程式）建立原始平衡方程式43214321344342223242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk刚架分析实例刚架分析实例（7）引入约束条件解方程组）引入约束条件解方程组 由于由于1、3、4为固定端，为固定端， 修改整体刚度矩阵中的修改整体刚度矩阵中的13，612行与列，行与列， 以及载荷列以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。向量中的相应的行，既约束处理。 0444333111vuvuvu建立基本平衡方程建立基本

50、平衡方程 22222222Pkkk即即622210428.1145145.1198465. 2vu得到得到 （8）求各杆的杆端力）求各杆的杆端力 eF 单元单元3结点位移列向量结点位移列向量 3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T刚架分析实例刚架分析实例单元单元1杆端内力计算杆端内力计算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2单元单元2杆端内力计算杆端内力计算 20

51、222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2单元单元3杆端力计算杆端力计算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125刚架分析实例刚架分析实例（9）作内力图）作内力图 （a） 刚架轴力图刚架轴力图（b） 刚架剪力图刚架剪力图（c） 刚架轴弯矩图刚架轴弯矩图刚架内力图刚架内力图 第三章第三章 杆系有限元基础杆系有限元基础3.1 引言引言3.2 弹簧单元和弹簧系统弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架杆单元和平面桁架3.4 梁单元和平面刚架梁单元和平面刚架 3.5 刚架刚架分

52、析实例分析实例 3.6 ANSYS分析实例分析实例 ANSYS分析实例分析实例1101L=1m; 910L=1m; 材料材料为Q235;（1）选择单元类型选择单元类型 运行运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete 在结点在结点8上施加竖直向下的集中载荷上施加竖直向下的集中载荷F60000N， 约束为结点约束为结点1处约束处约束X,Y方向自方向自由度，结点由度，结点5处约束处约束Y方向自由度。方向自由度。 桁架结构示意图桁架结构示意图 桁架各单元横截面图桁架各单元横截面图 单元类型对话框单元类型对话框 ANSYS分析实例分析实例1单元类型库对话框单元类型

53、库对话框 （2）设置材料属性设置材料属性 运行运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models 选择材料属性对话框选择材料属性对话框 设置材料设置材料1属性对话属性对话（3）设置单元截面形式设置单元截面形式 选择菜单选择菜单PreprocessorSectionsBeamCommon Sections 梁截面设置对话框梁截面设置对话框ANSYS分析实例分析实例1 （4）定义实常数定义实常数运行运行Real ConstantsAdd/Edit/Delete 设置设置LINK1单元的实常数单元的实常数 （5）建立模型建立模型 首先生成结点，运行主首先生成结点，

54、运行主菜单菜单PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成单元，运行主菜再生成单元，运行主菜单单 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedThru Nodes穿越穿越结点结点命令。 创建结点对话框创建结点对话框 ANSYS分析实例分析实例1通过结点建立单元通过结点建立单元 桁架的有限元模型桁架的有限元模型 （6）施加约束施加约束 运行主菜单运行主菜单SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes 结点施加约束对话框结点

55、施加约束对话框 ANSYS分析实例分析实例1 （7）施加载荷施加载荷 运行主菜单SolutionDefine LoadsApplyStructuralForce/MomentOn Nodes。 结点施加载荷对话框结点施加载荷对话框 （8）求解求解 运行主菜单 SolutionSolveCurrent LS，分析当前的负载步骤命令， 弹出如图3-28所示对话框，单击OK，开始运行分析。分析完毕后， 在信息窗口中提示计算完成， 单 击 C l o s e 将 其 关 闭 。 （9）后处理后处理 运行主菜单 Ge ne r a l PostprocPlot ResultsContour PlotNo

56、dal Solu命令，运 行 D O F S o l u t i o n Displacement vector sum，出现 桁 架 轴 向 应 力 云 图 。云图显示对话框 求解对话框求解对话框 ANSYS分析实例分析实例1位移云图位移云图 选择选择Stressvon Mises stress，则出现桁架位移云图则出现桁架位移云图 云图显示对话框云图显示对话框 轴向应力云图轴向应力云图 桁架的位移云图可桁架的位移云图可知，知，最大位移发生在桁最大位移发生在桁架的中部架的中部，最大位移为，最大位移为 m。 桁架的轴向应力云桁架的轴向应力云图可知，图可知，最大应力发生最大应力发生在在2单元单元

57、。最大应力。最大应力45.9MPa。 3103 . 1ANSYS分析实例分析实例2 约束形式为：约束形式为：A、D点施加全点施加全约束。在约束。在BC梁中点处受到竖直向梁中点处受到竖直向下集中载荷的作用下集中载荷的作用F1=20000N， AB柱的中点处受水平向右的集中柱的中点处受水平向右的集中载荷载荷 F2=10000N；AB2m， BC2m，材料为钢材，弹性模，材料为钢材，弹性模量量E=2.11011Pa，泊松比，泊松比=0.3。 （1）选择分析范畴选择分析范畴在主菜单中单击在主菜单中单击Preferences菜菜单，单， 弹出弹出Preferences for GUI Filtering

58、窗口，窗口， 选择选择Structural， 然后单击然后单击OK按钮。按钮。ANSYS分析实例分析实例2 （2）选择单元类型选择单元类型 运行运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，弹出弹出Element Types对话框，选择对话框，选择BEAM188单元单元。单元类型对话框单元类型对话框单元类型库对话框单元类型库对话框 （3）设置单元截面形式设置单元截面形式 运行运行PreprocessorSectionBeamCommon Sections，弹出，弹出 Beam Tool 对话框，对话框，W1选项栏中填写选项栏中填写0.1，W2选选项栏中填写项栏中填写0.2，t1t4中填写中填写0.008。 设置完毕单击设置完毕单击OK按钮。按钮。 梁截面设置对话框 ANSYS分析实例分析实例2 （4）设置材料属性设置材料属性 运行运行PreprocessorMaterial Props Material Models，弹出，弹出Define Material Model Behavior对话框。