第二章 激光工作物质及基本原理

1、1激光原理激光原理第二章第二章 激光工作物质及基本原理激光工作物质及基本原理22.1 黑体辐射与普朗克公式黑体辐射与普朗克公式普朗克能量子假说普朗克能量子假说黑体辐射黑体辐射3热辐射现象热辐射现象o 热辐射现象是是物体由于自身温度高于环境温度（分子、热辐射现象是是物体由于自身温度高于环境温度（分子、原子受到热激发）而产生的向外辐射电磁波的现象。原子受到热激发）而产生的向外辐射电磁波的现象。 物体在任何温度下都会辐射能量。并且其辐射能量的大小物体在任何温度下都会辐射能量。并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。及辐射能量按波长的分布都与温度有关。 物体既会辐射能量，也会吸收能量。

2、物体在某个频率范围物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。力也越大。 辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。变。4黑体与黑体辐射o 绝对黑体绝对黑体是指在任何温度下，是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的全部吸收任何波长的辐射的物体。绝对黑体是一种理想物体。绝对黑体是一种理想的模型，开有小孔的不透光的模型，开有小孔的不透光空腔可视成黑体。空腔可视成黑体。o 绝对黑体既是完全的吸收体，绝对黑体既是完全的吸收体

3、，也是理想的发射体。也是理想的发射体。小孔的不透光空腔小孔的不透光空腔5黑体热辐射能谱黑体热辐射能谱实验曲线实验曲线 每一条曲线都有一每一条曲线都有一个极大值。个极大值。 随着温度的升高，随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。值逐渐向短波方向移动。0.02.0 x1034.0 x1036.0 x1038.0 x103 T=5000KT=4000KT=3000K T=6000Knm6o 维恩（维恩（Wien）位移定律在短波位移定律在短波部分与实验结果吻合与实验结部分与实验结果吻合与实验结果吻合得很好，但长波却不行。果

4、吻合得很好，但长波却不行。o 瑞利瑞利金斯（金斯（Rayleigh-Jeans）定律在长波部分与实验结果比定律在长波部分与实验结果比较吻合。但在紫外区竟算得单较吻合。但在紫外区竟算得单色辐出度为无穷大色辐出度为无穷大所谓的所谓的“紫外灾难紫外灾难”。o 利用经典理论无法解释黑体辐利用经典理论无法解释黑体辐射现象。正如射现象。正如1900年开耳文指年开耳文指出的晴朗的物理学理论大厦上出的晴朗的物理学理论大厦上空，飞来空，飞来“两朵乌云两朵乌云”之一，之一，它动摇了经典物理的基础。它动摇了经典物理的基础。),(TT=1646K实验曲线实验曲线Wien理论理论Rayleigh-Jeans7 1900

5、 1900年，德国物理学家年，德国物理学家普朗克普朗克（PlankPlank）提出量子假说）提出量子假说19181918年获年获NobelNobel奖）奖） ：118/33kThech式中：式中：k为玻尔兹曼常数，为玻尔兹曼常数，h称为普朗克常数。称为普朗克常数。普朗克能量子假说),(TT=1646K普朗克普朗克理论值理论值实验曲线实验曲线空腔辐射体的单色辐出度与空腔辐射体的单色辐出度与波长的能谱曲线波长的能谱曲线8Plank量子假说对黑体辐射的解释绝对黑体空腔内的光以驻波的形式存在，并且空腔中的驻波是一系列的绝对黑体空腔内的光以驻波的形式存在，并且空腔中的驻波是一系列的谐振子，只能取一些分立

6、的能量，即谐振子，只能取一些分立的能量，即.4,3 ,2,00000h0，Plank常数h6.62610-34JS其中，其中，dcdn338单位体积内频率在单位体积内频率在到到 + +d d 之间的驻波数为之间的驻波数为空腔内每一个驻波，即每一个谐振子的平均能量为空腔内每一个驻波，即每一个谐振子的平均能量为1/kThehE因此黑体辐射的单色辐照度即单位体积单位频段内辐射的能量为：因此黑体辐射的单色辐照度即单位体积单位频段内辐射的能量为：(2.2) 118/33kThech92.2 光和物质的三种相互作用及爱因斯光和物质的三种相互作用及爱因斯坦关系式坦关系式受激辐射受激辐射受激吸收受激吸收自发辐

7、射自发辐射10一.自发辐射E1E2能级E1E2能级h处于高能级的激发态原子处于高能级的激发态原子激发态原子激发态原子自发的自发的从高能级从高能级跃迁到低能级释放光子跃迁到低能级释放光子自发辐射具有偶然性，是一种只与原子本身特性有关的随机过程。自发辐射具有偶然性，是一种只与原子本身特性有关的随机过程。11o 自发辐射跃迁几率A21 定义：单位时间内高能态上的原子（设为单位时间内高能态上的原子（设为n2个个 ）中）中发生自发辐射的原子数发生自发辐射的原子数(dn21/dt)sp与与n2的比值，也称的比值，也称为自发辐射爱因斯坦系数为自发辐射爱因斯坦系数。(2.3) 122121ndtdnAsp可以

8、证明，可以证明，A21为原子在为原子在E2能级上平均寿命（自发辐射寿命）能级上平均寿命（自发辐射寿命）s的倒数，的倒数，即即(2.6) 121sA12二.受激吸收E1E2能级h外来光子通过处于低能级外来光子通过处于低能级的原子系统的原子系统原子原子吸收光子吸收光子h从低能级跃从低能级跃迁到高能级迁到高能级受激吸收不仅与原子本身特性有关，同时还受来自辐射光场的影响。受激吸收不仅与原子本身特性有关，同时还受来自辐射光场的影响。E1E2能级原子吸收光子跃迁13 o 受激吸收跃迁几率W12 定义：单位时间从低能级向高能级跃迁的原子数与低能级原子数n1的比值，即(2.7) 111212ndtdnWstW

9、12另一表示公式：(2.8) 1212BWB12为受激吸收爱因斯坦系数， 为辐射光场的能量密度14三.受激辐射E1E2能级h外来光子经过处于高能级外来光子经过处于高能级的激发态原子系统的激发态原子系统高能级原子高能级原子受激发跃迁到低能级受激发跃迁到低能级辐射出光子辐射出光子h，产生，产生光放大光放大E1E2能级hh15 o 受激辐射跃迁几率W12 定义：单位时间从高能级向低能级发生受激辐射跃迁的原子数与高能级原子数的比值，即(2.9) 122121ndtdnWstW21另一表示公式：(2.8) 2121BWB21为受激辐射爱因斯坦系数， 为辐射光场的能量密度16四.爱因斯坦关系式o 根据粒子

10、数守恒与plank黑体辐射能量密度公式导出爱因斯坦关系式(2.16) 8(2.15) 332121221112hnchBAgBgBg1和g2为原子处于能级E1和E2的几率172.3 谱线加宽及谱线宽度谱线加宽及谱线宽度综合加宽综合加宽均匀加宽均匀加宽线型函数线型函数非均匀加宽非均匀加宽18l自发辐射功率是频率的函数自发辐射功率是频率的函数l自发辐射的中心频率为自发辐射的中心频率为0，在，在 + d 范范围内的自发辐射围内的自发辐射功率为功率为P() d ，于是自发，于是自发辐射总功率辐射总功率P为为线型函数P()00 (2.19) dPP (2.21) ,0PPg图图2.3 自发辐射的频率分布

11、自发辐射的频率分布l线型函数的定义：线型函数的定义： (2.20) 1 ,0PdPdg19谱线半宽即谱线加宽的线宽为：半极大值对应的频率差值（参见右图）000,g00,g2,00g212,20000gg线宽20一.均匀加宽(2.22) )(020titeeEtE2)(2)(00iEE1.自然加宽自然加宽o根据经典电子理论，原子可以视为电偶级子当正负电子中心做频率根据经典电子理论，原子可以视为电偶级子当正负电子中心做频率为为 0的相对谐振运动时候，电偶级子就会发射频率为的相对谐振运动时候，电偶级子就会发射频率为 0的电子波，由的电子波，由于电偶级子发射电磁波的同时，本身的能量随时间于电偶级子发射

12、电磁波的同时，本身的能量随时间t指数衰减，因此电指数衰减，因此电磁波在空间的电矢量为磁波在空间的电矢量为：o做傅立叶变换，得到频域内的振幅做傅立叶变换，得到频域内的振幅21dEdP2)()(2.23) 42,20220Ng电偶级子发出的光强与其振幅平方成正比。因此频率在电偶级子发出的光强与其振幅平方成正比。因此频率在 +d 之间自发辐射功率为之间自发辐射功率为根据式（根据式（2.23）及线宽的定义，可得自然加宽的线宽）及线宽的定义，可得自然加宽的线宽根据线型函数的定义，可得自然加宽的线型函数根据线型函数的定义，可得自然加宽的线型函数2NddEEPPgdEdP202220222202421421

13、)()()(),()()(2.23) 42,20220Ng由归一化条件可得积分A=-1 23o 从量子理论出发，推导阻尼系数从量子理论出发，推导阻尼系数 与自发辐射寿命与自发辐射寿命 s之间的关系，并得到线宽之间的关系，并得到线宽设设t=0为初始时刻，为初始时刻，E2能级上的原子数密度能级上的原子数密度n2=n20， t0时，时，n2将减少，假将减少，假设设n2的减少仅仅由自发辐射引起，则的减少仅仅由自发辐射引起，则dttnAtdn)()(2212对比对比(2.24)和和(2.25)，得，得 因此自然加宽线宽又可写为因此自然加宽线宽又可写为121sA(2.27) 212sNtAenAtn212

14、0212)(积分得到，积分得到，(2.24) )()(2121202tAeAhnhdttdntP每跃迁一个原子即可发射一个光子，因此自发辐射功率为每跃迁一个原子即可发射一个光子，因此自发辐射功率为(2.25) )(0tePtP根据经典谐振子模型，多个谐振子辐射功率功率随时间变化为根据经典谐振子模型，多个谐振子辐射功率功率随时间变化为24o 自然加宽线型函数为洛仑兹自然加宽线型函数为洛仑兹线型：线型：000,Ng00,Ng2,00Ng(2.28) 22,2200 NNNg图图2.4 自然加宽洛仑兹线型函数自然加宽洛仑兹线型函数当当 0时，线型函数值为：时，线型函数值为：NsNg24,00252.

15、碰撞加宽o 大量原子或分子的无规则碰撞使粒子振荡偏离了谐振子振荡，进而导致粒子发射的电磁波中断产生不完全波列，引起光谱线的进一步加宽，这种加宽即为碰撞加宽。o 碰撞加宽的线型函数与线宽pL在气压不太高时，碰撞加宽线宽与气压成正比LLLLLg1 , 22,2200 263.均匀加宽线型函数与线宽o 气体介质中均匀加宽包括自然加宽和碰撞加宽，其线型函数为洛仑兹线型。o 晶体介质中均匀加宽除了自然加宽外，还存在晶格热振动加宽。 22,2200 HHHg 2121LsH（2.32）27二.非均匀加宽o 非均匀加宽机制指的是介质中每个发光的原子只是对光非均匀加宽机制指的是介质中每个发光的原子只是对光谱线

16、内的某一特定的频率有贡献，即非均匀加宽谱线上谱线内的某一特定的频率有贡献，即非均匀加宽谱线上某一频率范围的某一频率范围的 光只与某些特定的原子有关。光只与某些特定的原子有关。o 气体介质中非均匀加宽主要是多普勒加宽。气体介质中非均匀加宽主要是多普勒加宽。o 固体介质中的非均匀加宽主要是晶格缺陷加宽。固体介质中的非均匀加宽主要是晶格缺陷加宽。28式中规定：当原子朝着接收器运动（或沿光传播方向运动）时，式中规定：当原子朝着接收器运动（或沿光传播方向运动）时， z0；反之，当原子离开接收器运动（或沿光传播方向运动）时，反之，当原子离开接收器运动（或沿光传播方向运动）时， z01.多普勒(Dopple

17、r)加宽(2.34) 10cz假定接收器固定在实验室坐标系中，设一发光原子（光源）静止时的中假定接收器固定在实验室坐标系中，设一发光原子（光源）静止时的中心频率为心频率为 0，当发光原子相对于接收器以，当发光原子相对于接收器以 z速冻运动时，由于多普勒效速冻运动时，由于多普勒效应，接收器接收到的光波的频率为应，接收器接收到的光波的频率为固定接收器运动的发光原子（0）频率vz0vz0，反向时，反向时vz0（2.42）34受激辐射多普勒加宽的线型函数也为高斯型，用受激辐射多普勒加宽的线型函数也为高斯型，用替代替代公式（公式（2.40）中）中 即可得到其线型函数即可得到其线型函数：2002)(2ln

18、421002ln2),(DegDDF不同速率的原子表观中心频率不同。原子体系中每个原子只对多普勒不同速率的原子表观中心频率不同。原子体系中每个原子只对多普勒加宽谱线内与原子表观中心频率相同的部分有贡献。即多普勒加宽中不加宽谱线内与原子表观中心频率相同的部分有贡献。即多普勒加宽中不同谱线对于不同表观中心频率的原子。同谱线对于不同表观中心频率的原子。F气体工作物质中的多普勒加宽属于非均匀加宽。气体工作物质中的多普勒加宽属于非均匀加宽。2. 晶格缺陷加宽：线型函数一般由实验测出晶格缺陷加宽：线型函数一般由实验测出35三.综合加宽o 实际谱线的加宽是均匀加宽和非均匀加宽的综合结果。当两者作用可以比拟的

19、时候，就必须同时考虑两中加宽因素来确定综合加宽线型函数。00000,DHDgdggg00,Hgg当D H时，综合加宽表现均匀加宽极限情况下，当H A A3030, ,所以，在稳态情况下速率方程组式（所以，在稳态情况下速率方程组式（2.662.66）中的第一个方程）中的第一个方程可改写为可改写为o因为一般四能级系统中因为一般四能级系统中S S3232 W W0303，故有，故有n n3 3=0=0。由速率方程组（。由速率方程组（2.652.65）中第）中第三个方程可得三个方程可得0320dtdndtdndtdn（2.70）030323WnSn0100301SWnn（2.72）（2.71）53反转

20、粒子数密度反转粒子数密度o方程组（方程组（2.65）中）中E2能级粒子数密度变化的速率方程可改写为反转粒子数能级粒子数密度变化的速率方程可改写为反转粒子数密度的速率方程。式中密度的速率方程。式中2为为E2的能级寿命。的能级寿命。 o在稳态时，应有在稳态时，应有dn/dt=0，并考虑到四能级系统中大量粒子聚集在基态，并考虑到四能级系统中大量粒子聚集在基态，n0=n ,则则0302021),(WnnvNndtnd212121SA NvnWn2021203),(1（2.74）（2.73）54o将线型函数（将线型函数（2.34）、发射截面（）、发射截面（2.57）及）及N=I/hv代入上式，整理后代入

21、上式，整理后可得可得o四能级系统的饱和光强表达式为四能级系统的饱和光强表达式为0220220)1 ()2()()2()(nIInsHH（2.75）2210hIs（2.76）55小信号情况小信号情况o所谓小信号情况，是指当入射光强所谓小信号情况，是指当入射光强I1 IS ，此时，此时nn0工作物质工作物质内受激辐射很微弱，因此可忽略受激辐射项，于是由式内受激辐射很微弱，因此可忽略受激辐射项，于是由式(2.74)可得四可得四能级系统小信号情况下的反转粒子数密度能级系统小信号情况下的反转粒子数密度:o可见，小信号反转粒子数密度可见，小信号反转粒子数密度n0与入射光强无关，其大小取决于激与入射光强无关

22、，其大小取决于激发几率和受激辐射上能级寿命。发几率和受激辐射上能级寿命。2030nWn （2.77）56大信号情况o当当I1足够强时（即大信号情况），由式（足够强时（即大信号情况），由式（2.75）可知，将会出现）可知，将会出现nn0 。这是由于，随着。这是由于，随着I1的增大，受激辐射作用增强，导致上的增大，受激辐射作用增强，导致上能级粒子数急剧减少，能级粒子数急剧减少， I1越强，反转粒子数减少得越多。这种现越强，反转粒子数减少得越多。这种现象称为象称为反转粒子数饱和反转粒子数饱和。o式（式（2.75）还表明，不同频率的入射光对反转粒子数饱和的影响不）还表明，不同频率的入射光对反转粒子数饱

23、和的影响不同。在入射光强相同情况下，当入射光频率等于中心频率时，反转同。在入射光强相同情况下，当入射光频率等于中心频率时，反转粒子数饱和最强，这是由于在中心频率处受激辐射几率最大，入射粒子数饱和最强，这是由于在中心频率处受激辐射几率最大，入射光造成的反转粒子数的减少越严重。光造成的反转粒子数的减少越严重。(2.75) )1 ()2()()2()(0220220nIInsHH57o 当入射光频率等于中心频率时，式（当入射光频率等于中心频率时，式（2.75）可简化为）可简化为o 当入射光强等于饱和光强时当入射光强等于饱和光强时, ,反转粒子数减少了一半。反转粒子数减少了一半。通常认为，入射光频率在

24、以下范围内才会引起显著的饱通常认为，入射光频率在以下范围内才会引起显著的饱和作用：和作用：210HsII（2.79）sIInn01058增益系数与增益饱和效应o由式（由式（2.69）已知增益系数）已知增益系数G与反转粒子数与反转粒子数n成正比关系。若入射成正比关系。若入射频率为频率为1，强为，强为I1的光入射到均匀加宽工作物质，其增益系数的光入射到均匀加宽工作物质，其增益系数G为为o将将(2.75)及线型函数代入上式，整理后可得及线型函数代入上式，整理后可得),(8),(),(021202012111HHgAnnIG（2.80）)1 ()2()()2()(),(1122012001sHHHHI

25、IGIG（2.81）其中，其中，GH0(0)为中心频率处的小信号增益系数为中心频率处的小信号增益系数59小信号情况o 在I1 IS的小信号情况下，均匀加宽工作物质的小信号增益为o 中心频率处的小信号增益系数可表示为220120010)2()()2()()(HHHHGGHHAvnnG2022120210004)(2.82)(2.83)60结论o当I1 H ，于是式（2.86）可简化为)1 ()2()(4),(),(1122012000002121sHHDiIIdgnAdGIvG（2.86）（2.87）69o 在I1 IS时，由上式求得小信号情况下非均匀加宽介质的增益系数可表示为o 其中，G0i(

26、0)为小信号增益系数，o 由上可知，小信号增益系数G0i(0)与光强无关，而小信号增益系数与频率的关系（即增益曲线）取决于非均匀加宽线型函数。20)(2ln4(001)()(DeGGii（2.88）2120212021000)2ln(4)(DiAnnG（2.89）70o 将式（2.89）及线型函数代入，式（2.87）可改写为o 在小信号情况下，o 可见，非均匀加宽介质的小信号增益曲线为高斯线型，同时由式（2.90）可以看到，非均匀加宽情况下，增益饱和的强弱只与光强I1有关，与频率无关。siviIIGIG111)(),(101201)(2ln4(00101)()(),(DeGGIGiii（2.9

27、0）（2.91）71烧孔效应o 当入射光频率为1 ，且光强 I1有足够强时，该入射光造成表观中心频率11对应的那部分粒子饱和，由于饱和效应，表观中心频率为1的反转粒子数密度将由原来的A点下降到A1点，见图2.19。 图图2.19 非均匀加宽工作物质中非均匀加宽工作物质中反转粒子数和频率的关系反转粒子数和频率的关系实线表示小信号情况72o 若此入射光频率1相当于均匀加宽中的中心频率，此时引起的反转粒子数饱和可表示为o 对于表观中心频率为2的粒子，由于入射光频率1偏离粒子的表观中心频率2 ，引起的饱和效应较小，所以在图2.19中可见，反转粒子数密度由B点下降到B B1 1点。sIInn11)()(

28、10173o 对于表观中心频率为3的粒子，由于入射光频率1与3偏离太远，所以饱和效应可以忽略。o 由以上分析可知，频率为1的强光，只与表观中心频率1附近，宽度约为 范围内的粒子数相互作用，引起反转粒子数饱和，形成一个孔；而对表观中心频率在 范围以外的反转粒子数没有影响，仍然保持小信号反转粒子数。通常我们把上述现象称之为反转粒子数的“烧孔”效应。sHII11sHII1174o烧孔深度为o孔的宽度为o若此时同时存在一频率为的弱光，且频率落在强光造成的烧孔范围之内，分析可知由于强光饱和造成的反转粒子数减少，导致弱光的增益系数只能小于其小信号增益系数。然而，如果弱光频率落在烧孔范围之外，弱光的增益系数将不受强光饱和的影响，仍为小信号增益系数。可以推想在增益系数Gi(, I1)的曲线上，在（强光）频率 附近会产生一个凹陷，如图2.20。这一现象称为增益曲线的烧孔效应，也称光谱烧孔效应。烧孔的宽度与上述反转粒子数饱和时的宽度一致，烧孔的深度决定于激光稳定振荡时的阈值增益（将在第四章提及）。)()()(101101