最大值最小值求法一

1、最大值、最小值问题最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省，用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性的存在性 ；最值的求法。；最值的求法。 假定假定f ( x )在在 a , b 上连续，除去有限个点外上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有

2、限个点处导数为处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们。我们就在这样的条件下讨论就在这样的条件下讨论f ( x )在在 a , b 上的最值上的最值的求法。的求法。一、最值的求法一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质首先由闭区间上连续函数的性质f ( x )在在 a , b 上必存在最大值和最小值上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，则这个最值一定是则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续

3、函数在闭区间上最值的方法是处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是oxyoxybaoxyabab步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值; )(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm 注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)二、应用举例二、应用举例例例1 1解

4、解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f例例2上的最值上的最值在在求求2 , 2)1()(31232 xxxf解解xxxxf2)1(3132)(32231 3223134322)1()1(32 xxxx0)( xf令令得驻点得驻点21 x)1(22xx 不存在不存在处处易知，在易知，在)(1, 0 xfxx 这些点处的函数值为：这些点处的函数值为：31313134)2(1)1(4)21(

5、1)0( ffff比较以上各点处的函数值可知比较以上各点处的函数值可知31max4)21( ff3131min34)2( ff 在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况：在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况：f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且，并且 这个驻点这个驻点x0同时也是同时也是f(x)的极值点，则当的极值点，则当f(x0)是极大是极大（小）值时，（小）值时， f( x0 )是函数是函数 f( x ) 在该区间上的最大在该区间上的最大（小）值。（小）值。这是因为此时在这是因为此时在 x0 的左、右两侧的左、右两侧)(xf 的符号

6、的符号必定相反，亦即在必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧的左、右两侧f ( x )的单调性的单调性必定相反。必定相反。敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击速度为处向正东追击速度为2千米千米/分钟问我军摩托车分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？何时射击最好（相距最近射击最好）？例例3 3解解(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系公公里里5 . 0公公里里4B A ).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌

7、我相距函数敌我相距函数)(ts)(ts22)24()5 . 0()(ttts .)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好处处发发起起追追击击后后故故得得我我军军从从B实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(例例4 4 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金

8、定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一

9、驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 例例5 5大大所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最及及与与直直线线使使曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线上上求求一一点点，曲曲边边一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围成成及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PTTxyoPABC),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA),0, 8(C)16, 8(200 xxB )16)

10、(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为为极极大大值值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s例例6求使不等式求使不等式)0(24552 xAxx成立的最小正数成立的最小正数 A解解将不等式改写为将不等式改写为Axx )524(25则问题转化为：则问题转化为：求函数求函数)524()(25xxxf 的最大值的最大值)724(5)(24xxxf 0)( xf令令724 x)2148(10)(23xxxf 易见易见0)724( f)724(maxffA 277242 三、小结三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值