随机变量序列的极限

1、第五章第五章 随机变量序列的极限随机变量序列的极限本章要点本章要点 本章讨论两类重要的极限分布本章讨论两类重要的极限分布.一、大数定律一、大数定律定义定义 设设 是一个随机变量序列是一个随机变量序列, 如果存在常如果存在常12,XX 数数 使得对于任意常数使得对于任意常数, c0,总有总有 lim1,nnP Xc则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 记作记作12,XX , c.nXcP 若随机变量序列若随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 则则12,XX , clim0.nnP Xc定理定理 如果如果,nnXa YbPP且函数且函数 在点在点,g x y处连续处连续,

2、则则, a b,.nng XYa bP定理定理 设设 是两两不相关的随机变量序列是两两不相关的随机变量序列, 如如12,XX 果存在常数果存在常数 , c使得使得 ,1,2,iD Xc i则则 特别地特别地, 若若,1,2,iE Xi则上式表明则上式表明注意注意 该定理的条件为该定理的条件为方差有界方差有界.11110.nniiiiXE XnnP11.niiXXnP定理定理 （独立同分布情形下的大数定律）（独立同分布情形下的大数定律） 设设 12,XX 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列, 且且,iE X2,1,2,iD Xi则则 .XP 用独立同分布情形下的大数定律可以证明

3、频率的稳用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳定性。定性。设进行设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果次独立重复的试验，每次试验只有两个结果,A A10iiAXiA第 次试验 发生第 次试验 发生引进随机变引进随机变量量1,1,2., ,iiXBp E Xp in12,nXXX相互独立，则在相互独立，则在n次试验中次试验中A发生的发生的频率频率 11npniifAXXP Apn例例1 设设 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列, 且且12,XX 2,1,2,iiE XD Xi则则 22211.niiXnP有些情况下有些情况下, 可以得到其分布可以得到其分布. 例如

4、例如二、中心极限定理二、中心极限定理 在数理统计中经常要用到在数理统计中经常要用到 个独立同分布的随机变量个独立同分布的随机变量n1,niiXB n p进一步地有进一步地有12n,XXX的和的和 的分布的分布, 但要给出其精确分布有但要给出其精确分布有1niiX1,iXBp时很困难时很困难.则则,XB m pYB n p则则,.XYB mn p 但很多情况下这样的分布并不能得到但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定有时也不一定有这个必要有这个必要. 人们在长期实践中发现人们在长期实践中发现, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 只要只要 充分大充分大, 总认为总认为 近似服从正态

5、分布近似服从正态分布.n1niiX 下面这个例子说明了这个情况下面这个例子说明了这个情况.例例 （高尔顿钉板实验）（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验高尔顿设计了一个钉板实验,图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的它们彼此间的距离相等距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下一层的两个钉子的正中间一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小从入口处放进一个直径略小于两个钉子之间的距离的小球于两个钉子之间的距离的小球. 在小在小球向下降落的过程中球向下降落的过程中, 碰到钉子后均碰到钉子后均

6、以以 的概率向左或向右滚下的概率向左或向右滚下, 于是于是0.5又碰到下一层钉子又碰到下一层钉子. 如此进行下去如此进行下去, 直直到滚到底板的一个格子里为止到滚到底板的一个格子里为止. 把许把许多同样大小的小球不断从入口处放下多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相只要球的数目相当大当大, 它们在底板将堆成近似正态分布它们在底板将堆成近似正态分布 的密的密20,N度函数图形度函数图形.Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 81, 1,kX(1,2,16)k kk程序如下程序如下 输出图形输出图形 定理定理 （独立同分布的中心极限定理）（独立

7、同分布的中心极限定理）2,0 1,2,iiE XD Xi则对任意的则对任意的 有有,xx 1lim.niinXnPxxn 独立同分布的随机变量序列独立同分布的随机变量序列, 且且设设 是是12,XX 其中其中 为标准正态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数. x 该定理的实际意义是该定理的实际意义是, 若随机变量序列若随机变量序列12,XX 满足定理条件满足定理条件, 记记1,nniiYX则当则当n充分大时充分大时nnnYE YD Y近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.即即.1,.nninniYXN E YD Y例例2 某人要测量甲、乙两地的距离某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工

8、具限于测量工具, 他他解解 设第设第 段的测量误差为段的测量误差为 所以累计误差为所以累计误差为i,iX12001,iiX又又 为独立同分布的随机变量为独立同分布的随机变量, 由由121200,XXX0.5,0.5iXR 得得分成分成1200段进行测量段进行测量, 每段测量误差（单位每段测量误差（单位: 厘米）服从厘米）服从0.5,0.5区间区间 上的均匀分布上的均匀分布, 试求总距离测量误差的试求总距离测量误差的20绝对值超过绝对值超过 厘米的概率厘米的概率. 10, 1,2,1200 .12iiE XD Xi由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理:12001200112012

9、020iiiiPXPX 120012001111200 00,1200=100 12iiiiEXDX.10,100niiXN20020011010 122 2 120.0456.例例3 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为 的指的指100h数分布数分布, 随机抽取随机抽取 只只, 试求这试求这 只晶体管的寿命总和只晶体管的寿命总和6464超过超过 的概率的概率.7000解解 以以 表示第表示第 只晶体管的寿命只晶体管的寿命, 则则iXi0.01 .iXE此时此时100,10000,1,2,64.iiE XD Xi所求概率为所求概率为6417000iiPX64

10、117000 .iiPX 6464116400,640000iiiiEXDX6417000iiPX70006400640000 30.7734,4 所以原概率近似为所以原概率近似为64170000.2266.iiPX由中心极限定理得由中心极限定理得 作为上面定理的特例作为上面定理的特例, 如果如果1,1,2,iXBpi则则 ,0,iiE Xp D Xpq即随机变量序列即随机变量序列 满足上面定理的条件满足上面定理的条件. 从而有下面的定理从而有下面的定理. 定理定理 （中心极限定理（中心极限定理 ）1,nniiYX则对任意的则对任意的 有有,xx lim,1nnYnpPxxnpp 即当即当 充

11、分大时充分大时, 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.n1nYnpnpp布的随机变量序列布的随机变量序列, 且且 令令1,iXBp设设 是一个独立同分是一个独立同分12,XX 该定理的实际意义是该定理的实际意义是:1Xnpnpp若若,XB n p则则当当近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.即即.,1.XN np npp充分大时充分大时n例例4 一本一本 万字的长篇小说进行排版万字的长篇小说进行排版, 假定每个字被假定每个字被20排错的概率为排错的概率为 试求这本小说出版后发现有试求这本小说出版后发现有6个字以个字以510 ,解解 设错字总数为设错字总数为 则则,X1200000,1

12、00000XB则有则有2,120.999991.414,npnpp上错字的概率上错字的概率, 假定各个字是否被排错是相互独立的假定各个字是否被排错是相互独立的.所求概率为所求概率为:615P XP X 5211.414 12.120.017, 即求概率为即求概率为0.017.例例3 设一个车间有设一个车间有400台同类型的机床台同类型的机床, 每台机床需用每台机床需用解解 令令 表示在时刻表示在时刻 时正在开动的机器数时正在开动的机器数, 则则XtQ电电 瓦瓦, 由于工艺关系由于工艺关系, 每台机器并不连续开动每台机器并不连续开动, 开动的开动的3/4,时候只占工作总时间的时候只占工作总时间的

13、 问应该供应多少瓦电力能问应该供应多少瓦电力能99%的概率保证该车间的车床能正常工作的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作（假定在工作期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.400,0.75 .XB1400 0.75300,30075.4E XD X设应供应设应供应N瓦电，由中心极限定理知瓦电，由中心极限定理知:3000.99,75NNQP XQP XQN 由条件所设由条件所设, 所求的概率为所求的概率为 0.99.x而而 为标准正态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数, 查表得查表得 x2.326.x 即即:3002.326.5 3NQ

14、从而从而33002.326 204NQ30020320 .QQ即即: 只要供应只要供应 瓦的电力瓦的电力, 就能以就能以99%的把握保证该的把握保证该320Q车间的机器能正常工作车间的机器能正常工作.例例5 为了测定一台机床的质量为了测定一台机床的质量, 将其分解成将其分解成75个部件个部件1,1 .iXR 解解 以以 表示第表示第 个部件的称量误差个部件的称量误差 由由iXi1,2,75 ,i 从而从而10, 1,2,753iiE XD Xikg来称量来称量. 假定每个部件的称量误差（单位假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区）服从区1,1间间 上的均匀分布上的均匀分布, 且每个部件的称量

15、是独立的且每个部件的称量是独立的, 试试kg求机床的称量总误差的绝对值不超过求机床的称量总误差的绝对值不超过10 的概率的概率.iX条件所设条件所设, 知知 为独立同分布序列为独立同分布序列, 且且由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理, 可以近似认为可以近似认为751175 0,750,25 .3iiXNN于是所求的概率为于是所求的概率为10010055 757511101010iiiiPXPX 2210.9544, 因此机床质量总误差不超过因此机床质量总误差不超过 的概率近似为的概率近似为 10kg0.9544.例例6 某单位有某单位有200台分机台分机, 每台使用外线通话的

16、概率为每台使用外线通话的概率为15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该单问该单位至少需要装多少多少条外线位至少需要装多少多少条外线, 才能以才能以95%的概率保证的概率保证每台分机能随时接通外线电话每台分机能随时接通外线电话.解解 以以 表示在时刻表示在时刻 使用的外线数使用的外线数, 则则Xt200,0.15 .XB此时有此时有30,25.5.E XD X若以若以 表示安装的外表示安装的外N线数线数, 则分机能使用外线意味着此时有则分机能使用外线意味着此时有 .P XN由由 中心极限定理得中心极限定理得:30300.95,25.525.5XNP

17、XNP查表得查表得:301.645,25.5N 即即: 38.3068,N 所以可取所以可取39N 方能以方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外的把握保证在该时刻分机可以使用外线线. 三、部分作业解答三、部分作业解答试问试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以才能以5.6 为了测定一台机床的质量为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件将其分解成若干个部件来称量来称量. 假定每个部件的称量误差（单位假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区）服从区kg间间 上的均匀分布上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的且每个部件的称量是独立的, 2,

18、2不低于不低于 的概率保证总重量的误差的绝对值不超过的概率保证总重量的误差的绝对值不超过99%10kg.解解 设将机床分解成设将机床分解成 个部件个部件, 而而 表示第表示第 个部件的个部件的NiXi重量重量, 则则2,2 ,1,2,.iXRiN所以所以40,.3iiE XD X由已知条件由已知条件1100.99.NiiPX又又11101010NNiiiiPXPX110104/34/34/3NiiXPNNN1021,4/3N 即有即有105 32121.994/3NN 5 30.995.N 5 32.57611.3024.NN所以取所以取 11.N 5.7 已知生男婴的概率为已知生男婴的概率为 求在求在 个婴儿中个婴儿中0.515,10000男孩个数多于女孩的概率男孩个数多于女孩的概率.10000解解 设设 个婴儿中男婴的个数为个婴儿中男婴的个数为 由条件知由条件知,X10000,0.515 ,XB此时此时5150,np 12497.75,npp由中心极限定理得由中心极限定理得5000515050002497.751XnpP XPnpp30.0013. 所以所求概率为所以所求