六节多元函数的极值学习教案

1、会计学1六节六节(li ji)多元函数的极值多元函数的极值第一页，共24页。一、多元函数(hnsh)的极值定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果(rgu)在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有f(x,y)f(x0,y0) (或f(x,y)f(x0,y0)，则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).f(x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.第1页/共23页第二页，共24页。例1 函数(hnsh) ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)(0,0)，都有2221),(yxyx

2、ff(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值.该函数的图形(txng)是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标.第2页/共23页第三页，共24页。例2 函数 ，在原点(0,0)处取得(qd)极大值1.因为对于任何(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标(zubio)大于曲面上其他点的z坐标(zubio).2221),(yxyxf第3页/共23页第四页，共24页。定理(dngl)10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则

3、必有. 0),( , 0),(0000yxfyxfyx证 由于z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，所以当y保持常量y0时，对一元函数z=f(x,y0)在点x0点也必有极值，根据一元函数极值存在的必要条件，得. 0),(00yxfx同理可证. 0),(00yxfy使 同时成立的点(x0,y0),称为函数f(x,y)的驻点.0),(, 0),(0000yxfyxfyx第4页/共23页第五页，共24页。容易(rngy)看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 注意：驻点不一定是函数的极值点.例如(lr)，函数z=x2y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即. 0)0 , 0( , 0)0

4、, 0(yxzz 还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面 的顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.221yxz第5页/共23页第六页，共24页。定理10.7(极值的充分条件(chn fn tio jin) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，则0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx(1) 当B2AC0，且A0时,(x0,y0)为极大值点，f(x0,y0)为极大值；当B2AC0时，(x0,y

5、0)为极小值点，f(x0,y0)为极小值.(2) 当B2AC0时，f(x0,y0)不是(b shi)极值.(3) 当B2AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是(b shi)极值，此法失效.第6页/共23页第七页，共24页。0),(, 0),(yxfyxfyx 综合定理(dngl)10.6，定理(dngl)10.7，对于具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下：2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C.),(),(),(yxfyxfyxfyyxyxx1.求方程组的一切实数(shsh)解，得到所有驻点.3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2AC

6、的符号，按照定理(dngl)10.7的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.第7页/共23页第八页，共24页。例3 求函数 的极值(j zh).的一切实数(shsh)解，得驻点(1,0).在(1,0)点处，有A=2，B= 1，C=2.B2AC= 30，由极值(j zh)的充分条件，得f(1,0)= 1为极小值.yxyxyxz222解 求方程组012, 022yxzyxzyx求函数的二阶偏导数. 2 , 1 , 2yyxyxxzzz第8页/共23页第九页，共24页。例4 求函数 的极值(j zh).)2(e),(22yxyxfyx的一切(yqi)实数解，得驻点(0,0)，(4,

7、2).解 求方程组0e4)2(e),(, 0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf求函数f的二阶偏导数，),242(e),(22xyxyxfyxxx),422(e),(22yxxyyxfyxxy).482(e),(22yyxyxfyxyy第9页/共23页第十页，共24页。由极值(j zh)的充分条件知，知(0,0)不是极值(j zh)点，f(0,0)=0不是函数的极值(j zh).在(4,2)点处，有而A0第10页/共23页第十一页，共24页。如何求函数(hnsh)z=f(x,y)在区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数(hnsh)

8、在该区域内的一切驻点处的函数(hnsh)值及函数(hnsh)在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数(hnsh)值中的最大的就是函数(hnsh)在D上的最大值，最小的就是函数(hnsh)在D上的最小值.二、多元(du yun)函数的最大值与最小值第11页/共23页第十二页，共24页。例5 要用铁板做一个体积(tj)为常数a的有盖的长方体水箱，问水箱各边的尺寸多大时，用材料最省. 解 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，于是(ysh)体积a=xyz，表面积A为 A=2(xy+xz+yz).将 代入A的表达式中，得xyaz .2),(yaxaxyyxA第12页/共23页第十三页，共24页。由第一个

9、方程，得 ，将其代入第二个方程，得2xay 04 xax 0 x 3ax ，于是3 ay ).,(),(33aayxA的唯一驻点得函数求函数A(x,y)的驻点(zh din).02, 0222yaxyAxayxA第13页/共23页第十四页，共24页。根据实际问题可以断定，A(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只有唯一驻点 ，则该驻点就是A(x,y)的最小值点，即当 时，面积A取得(qd)最小值.此时高 ，即水箱为正立方体，每边长为 时，所用材料最省.),(33aa33 , ayax3a3axyaz第14页/共23页第十五页，共24页。三、条件极值从上述例5我们看到，求水箱用料最省这一实际问题

10、转化为数学(shxu)问题就是求二元函数(1) 2),(yaxaxyyxA在x0，y0时的最小值问题.但是，从函数A(x,y)的建立过程也可以看成是求三元函数 A=2(xy+xz+yz)在约束条件 xyz=a下的最小值，这就是条件极值问题，其一般(ybn)提法是：第15页/共23页第十六页，共24页。求函数z=f(x,y)，在约束条件 下的极值，称这种类型的极值问题为条件极值问题.相对(xingdu)于条件极值，我们把函数(1)的极值问题称为无条件极值问题.0),(yx第16页/共23页第十七页，共24页。拉格朗日乘数法 求函数z=f(x,y)在条件(tiojin) 下的极值，按以下方法进行：

11、0),(yx构造辅助函数 ，其中 称为拉格朗日乘数.),(),(),(yxyxfyxF求 的偏导数，并建立方程组),(yxF. 0),(),(, 0),(),(),(, 0),(),(),(yxyxFyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx解该方程组，得x，y及，则(x,y)是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为(chn wi)拉格朗日乘数法.第17页/共23页第十八页，共24页。例6 设周长(zhu chn)为2p的矩形，绕它的一边旋转构成圆柱体，求矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大.解 设矩形(jxng)的边长分别为x和y，且绕边长为y的边旋转，得到旋转圆柱体的体积为, 0

12、, 0 ,2yxyxV其中矩形(jxng)边长x，y满足的约束条件是2x+2y=2p，即x+y=p.现在求函数 在条件x+yp=0下的最大值.yxyxfV2),(第18页/共23页第十九页，共24页。构造辅助(fzh)函数：),(),(2pyxyxyxF求F(x,y)的偏导数，并建立方程组. 0),(, 0),(, 02),(2pyxyxFxyxFxyyxFyx由方程组中的第一(dy)、二两个方程消去，得2y=x，代入第三个方程，得.32 ,3pxpy第19页/共23页第二十页，共24页。根据实际(shj)问题，最大值一定存在，且只求得唯一的可能极值点，所以函数的最大点必在 处取到.即，当矩形

13、边长 时，绕y边旋转所得的圆柱体的体积最大， .pp31,32pypx31,323max274pV第20页/共23页第二十一页，共24页。例7 某公司的两个工厂生产同样的产品(chnpn),但所需成本不同,第一个工厂生产x个产品(chnpn)和第二个工厂生产y个产品(chnpn)时的总成本为z=x2+2y2+5xy+700,若公司生产任务是500个产品(chnpn),问每个工厂生产多少产品(chnpn)才能使总成本最小?解 由题意(t y)知成本函数为 z=x2+2y2+5xy+700 约束条件为 x+y=500构造辅助(fzh)函数 F(x,y,)=x2+2y2+5xy+700+(x+y500)可得( , , )250,( , , )450,( , , )5000.xyzF x yxyF x yyxF x yxy第21页/共23页第二十二页，共24页。得 x=125, y=375根据题意,最小值一定(ydng)存在,且只求得唯一可能的极值.所以函数的最小值必在x=125,y=375处取得,即当第一个工厂生产125个产品,第二个工厂生产375个产