第三章力系的合成与平衡

1、3 3 力系的基本类型力系的基本类型31 31 平面力系合成与平衡平面力系合成与平衡32 32 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 33 33 平面一般力系合成与平衡平面一般力系合成与平衡34 34 物体系统的平衡物体系统的平衡36 36 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡第第三三章章 力力系系的的合合成成与与平平衡衡35 35 考虑摩擦时物体的平衡考虑摩擦时物体的平衡共点力系共点力系力偶系力偶系 力系的基本类型力系的基本类型共点力系共点力系各力均作用于同一点的力系。各力均作用于同一点的力系。平行力系平行力系力的作用线平行的力系。力的作用线平行的力系。平面力系平面力系各力的作用线都在同

2、一平面内的力系。各力的作用线都在同一平面内的力系。力力 偶偶 系系若干个力偶组成的力系。若干个力偶组成的力系。空间力系空间力系各力的作用线不在同一平面内的力系。各力的作用线不在同一平面内的力系。力系力系空间力系空间力系平面力系平面力系平面汇交力系平面汇交力系平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面力偶系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间一般力系空间一般力系 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。为力多边形。2 2、力的多边形规则：、力的多边形

3、规则：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。间图形。给实际作图带来困难。给实际作图带来困难。R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、平面汇交力系的合成结果、平面汇交力系的合成结果 0F 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。 共点力系可以合成为一个力，合

4、力作用在力系共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。力系的力多边形的封闭边表示。nii1F矢量的表达式矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、平面汇交力系平衡的充要几何条件：、平面汇交力系平衡的充要几何条件：31 31 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A

5、60603030H HK K(c)(c)解：解：(1) (1) 取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4) (4) 解出：解出：N NA A=P=Pcos30cos30 = =17.3kN17.3kN，N NB B=P=Psin30sin30 = =10kN10kN(2) (2) 画出受力图。画出受力图。(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、N NA A 和和N NB B 的闭合力三角形。的闭合力三角形。 例题例题 3-1 3-1 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方，方向与梁的轴线成向与梁的轴

6、线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链所示，试求固定铰链支座支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。 31 31 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2) (2) 画出受力图。画出受力图。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3

7、) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和N ND D 的闭和的闭和力力三角形。三角形。例题例题3-2 3-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，ADAD铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅在铅直线直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不计自重不计。3

8、1 31 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5） 代入数据求得：代入数据求得： S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得： 由力三角形可得：由力三角形可得：31 31 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a) 反之，

9、当投影反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出已知时，则可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐标轴上的投影：力在坐标轴上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间该轴正向间夹角的余弦。夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力

10、在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和同一轴上的投影的代数和。证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力投影定理：合力投影定理：31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个推广到任意多个力力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在

11、各力在x 轴上投影：轴上投影：31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析平面汇交力系合成与平衡的解析法法abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小222222zyxzyxFFFRRRR合力合力R R 的方向余弦的方向余弦RFRRRFRRRFRRzzyyxxcos , cos , cos根据合力投影定理得根据合力投影定理得31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析平面汇交力系合成与平衡的解析法法znzzzzFFFFR21共点力系平衡的充要解析条件：共点力系平衡的充要

12、解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。投影的代数和分别等于零。 0 xF 0yF空间共点力系的平衡方程空间共点力系的平衡方程: :31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程: : 0zF 0 xF 0yF31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析平面汇交力系合成与平衡的解析法法解：解：(1) (1) 取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。例题例题 3-3 3-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动图所示是汽车制动机构的一

13、部分。司机踩到制动蹬上的力蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成 =45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水水平，平，AD AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上 ，又，又B B、C C、D D 都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不自重不计计。O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 列出平衡方程：列出平衡方程：00y

14、xFF 045sinsin 0cos45cosDBPFFPFD联立求解，得联立求解，得N750BFO O4545P PF FB BF FD DD D (b)(b)x xy y 969. 0cos , 243. 0sin 214又又31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1. 1. 取滑轮取滑轮B B 轴销作为研究对象。轴销作为研究对象。2. 2. 画出受力图（画出受力图（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例题例题 3-4 3-4 利用铰车绕过定滑

15、轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=P=20kN20kN的货物，的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆滑轮由两端铰链的水平刚杆AB AB 和斜刚杆和斜刚杆BC BC 支持于点支持于点B B ( (图图( (a a) ) )。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB AB 和和BC BC 所受的力。所受的力。31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF4. 4. 联立求解，得联立求解，得 反力反力S SAB AB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆

16、定指向相反。即杆AB AB 实际上受拉力。实际上受拉力。 030sin30con QSSABBC030 cos60 cosQPSBC31 31 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B BkN5 .54ABSkN5 .74BCS投影法的符号法则：投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤: :1.

17、1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条件。2.2.建立坐标系。建立坐标系。3.3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程F Fx x= =0 0，F Fy y= =0 0，求解求解。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法 平面力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩等于平面力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩等于各分力偶矩的代数和。各分力偶矩的代数和。llllLn21一、力偶系的合成一、力偶系的合成3-2 3-2 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 合力矩等于零

18、，即力偶系中各力偶矩的代数合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零。和等于零。0l二、平面力偶系平衡的充要条件二、平面力偶系平衡的充要条件平衡方程平衡方程3-2 3-2 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡例题例题 3-6 3-6 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABDOABD，在杆，在杆OA OA 和和BD BD 上分别作用着矩为上分别作用着矩为 l1 1 和和 l2 2 的力偶，而使机构在的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知图示位置处于平衡。已知OA OA = = r r，DB DB = 2= 2r r，= = 3030，不计杆重，试求，不计杆重，试求 l1 1

19、 和和 l2 2 间的关系。间的关系。D Dl2B BN ND DS SBABAO Ol1N NO OS SABABA AO OB BD Dl1l2A A3-2 3-2 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡解：解： 杆杆ABAB为二力杆。为二力杆。分别写出杆分别写出杆AO AO 和和BD BD 的平衡方程：的平衡方程：3-2 3-2 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡D Dl2B BN ND DS SBABAO Ol1N NO OS SABABA A0cos1rSlAB0cos22rSlBA, 0l122llSSBAAB小结小结1 1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法、

20、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法3 3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题4 4、理解力偶和力偶矩的概念，、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件并运用平衡条件 求解力偶系的平衡问题求解力偶系的平衡问题2 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。正确理解合力投影定理上的投影。正确理解合力投影定理作业作业2 21 1、 2 2、 8 8、 1212、 1313、 1515、 181823 23 力的投影力的投影. .力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解cosxFF cosFFy22y2xzFFFF

21、FFFFFFzcoscos cosyxcosFFz例题例题 2-5 2-5 如图所示，用起如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的重机吊起重物。起重杆的A A端端用球铰链固定在地面上，而用球铰链固定在地面上，而B B端则用绳端则用绳CBCB和和DBDB拉住，两绳拉住，两绳分别系在墙上的分别系在墙上的C C点和点和D D点，点，连线连线CDCD平行于平行于x x轴。已知轴。已知CE=EB=DECE=EB=DE, ,角角=30=30o o ，CDBCDB平平面与水平面间的夹角面与水平面间的夹角EBFEBF= = 3030o o , ,重物重物G=G=10 kN10 kN。如不计。如不计起重杆的重量起重

22、杆的重量, ,试求起重杆所试求起重杆所受的力和绳子的拉力。受的力和绳子的拉力。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法1. 1. 取杆取杆ABAB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究对象，受力分析如图。解：解：GF1F2FAGF1FA其侧视图为其侧视图为24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法3. .联立求解。联立求解。045 sin45 sin, 021FFFxkN 66. 8kN 3.5421AFFF2. . 列平衡方程。列平衡方程。24 24 共点力系合成与平衡的解析法共点力系合成与平衡的解析法G030cos45 cos30 cos45 cos30 sin, 0 21FFFFAy