量子力学第3章2

1、32 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数 力学量的可能取值与取值的几率分布力学量的可能取值与取值的几率分布FfF的本征值方程： 简并度d非简并F的属于f 的本征函数Ff的本征值分立谱 连续谱 混合谱nndnnnnnnnnnnffdfdfdFdFnn*0*)(、厄米算符的本征值与本征函数、厄米算符的本征值与本征函数1、本征值为实数、本征值为实数 设FnnnfF的本征值为分立谱：由厄米算符的定义，。,0),(*d2、不同本征值的本征函数正交性、不同本征值的本征函数正交性函数正交的定义： 正交。即在无简并情形下本征函数正交。考虑到归一化，有 正交归一性正交归一性： )(, 00)(

2、*lkddfflkfflklklk ，两式相减，由厄米性知 FdfdFfFklkklkkk*dfdFfFlkllklll*厄米： ， ，kllkd*)(*ffdff （连续谱）。，difFninni,.,2 , 13、有简并的本征函数的正交性、有简并的本征函数的正交性1n2nnfF nd若d重简并； ， 2dijanj上述正交性的证明不成立。一般地，这些函数并不一定相互正交。但总可以用个常数把这d个函数线性组合成d个新的函数：使这些新函数相互正交。我们不作一般讨论。dinijinjdja1,.,2 , 1,，4、完备性、完备性 含义含义：有一函数集,.,.,:21nnnnnnCnn。如果任一函

3、数可按展开成 ， Cn 与n的自变量无关，的这种性质为完备性，或则称组成完备集。nFnnnnndfrCr(),()(力学量的完备集：力学量的完备集：如果是厄米算符的正交归一本征函数集，展开（定义域和边条件相同）： 对连续谱）。则任一波函数可按结论结论：厄米算符的本征函数组成正交归一完备集。：厄米算符的本征函数组成正交归一完备集。nnnnmmnnnmnmdCCCdCd*dfCdfrfCrff*)(,)()()(nFnCCn的计算：的计算：给定，已知 5、封闭性、封闭性nffnnrrdfrrrrrr)()()(),()()(3*3*。（有关证明请自学教材）对连续谱 nffnnrrdfrrrr)()

4、()()()(3*。涨落涨落的定义为 dFFFFF2*22)()()(FF二、力学量的可能取值及取值的几率分布二、力学量的可能取值及取值的几率分布问题：问题：力学量与算符的关系可能值？可能值的几率？1、力学量的可能值、力学量的可能值设体系处于量子态，力学量F的取值一般有各种不同结果，f1, f2,，其平 均值为，各种可能值围绕涨落。0)()(22dFFFF)(FF 厄米厄米。一种特殊的状态：nnnfFFFFFF0)(0)(2 本征值方程。FFnnnfFf量子力学基本假设之一：量子力学基本假设之一：力学量力学量F的所有可能值都是相应厄米算符的所有可能值都是相应厄米算符的本征值。当体系处于的本征值。当体系处于的本征态的本征态时，所有可能值都是时，所有可能值都是。FnnnnC2、可能值的分布、可能值的分布 按的正交归一完备本征函数集展开：。2nCnn2nC由叠加原理知，是体系出现在态的几率，而态中F有确定值 fn是F取fn的几率，即取fn的2nnCw Cn几率幅。，knknCwnknnk01:22nnnnnnnnCfCfwF1,