第7章 梁的强度问题

1、本本 章章 内内 容：容：7.1 7.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件7.2 7.2 截面图形的几何性质截面图形的几何性质7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲7.7 7.7 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力7.8 7.8 结论与讨论结论与讨论 7.1 7.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件1.1.弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶

2、矩矢的作用时, ,轴轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.2.梁：梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 7.1 7.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件3.3.工程中的弯曲实例工程中的弯曲实例 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 7.2.1 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系yAzASzdASydA S Sy y、S Sz z分别称为图形对于分别称为图形对于y y轴和轴和z z轴的截面一次矩或静矩。静矩的单位轴的截面一次矩或静矩。静矩的单位为为m m3 3或或

3、mmmm3 3。注意注意：S Sy y、S Sz z分别可以看成是面积分别可以看成是面积A A对于对于y y轴和轴和z z轴之矩，轴之矩，故故S Sy y、S Sz z称为称为截面一次矩或静矩。截面一次矩或静矩。注意注意：S Sy y、S Sz z可能为正值可能为正值，可能为可能为负值，也可能为负值，也可能为零零。定义定义 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 7.2.1 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系zACyACydASyAAzdASzAA形心形心：图形几何形状的中心称为图形几何形状的中心称为形心。形心。 7.2 7.

4、2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.1 7.2.1 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系1111,nniCiiCiyiizCCnniiiiA yAzSSyzAAAA 复杂图形形心的计算复杂图形形心的计算： 分解为若干个简单图形分解为若干个简单图形（可直接确定形心（可直接确定形心位置的图形）位置的图形），然后依下式计算：，然后依下式计算：1122111221nzCCnCniCiinyCCnCniCiiSA yA yA yA ySAzA zA zAz 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.

5、1 7.2.1 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系1120800052,020 80 120 20niCiyizCCniiA ySSyzAAA例：确定右图所示图形的形心位置。例：确定右图所示图形的形心位置。11221122020 80 10 120 20 80208000yCCzCCSAzA zSA yA y解：建立图示坐标系，假定形心在解：建立图示坐标系，假定形心在C C点点由于图形是左右对称的，易知：由于图形是左右对称的，易知：y1yCC801202020yzy21122(,)(10,0)(,)(80,0)CCCCyzyz 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力

6、分析相关的截面图形的几何性质 7.2.2 7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 22yAzAIz dAIy dA Iy、Iz分别称为图形对于分别称为图形对于y y轴和轴和z z轴的截面二次矩或惯性矩。惯性矩轴的截面二次矩或惯性矩。惯性矩的单位为的单位为m m4 4或或mmmm4 4。 注意注意： Iy、Iz分别可以看成是面积分别可以看成是面积A A对于对于y y轴和轴和z z轴的轴的二次矩，故二次矩，故Iy、Iz称为称为截面二次矩或惯性矩。截面二次矩或惯性矩。 注意注意：Iy、Iz恒恒为正值。为正值。 定义定义 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图

7、形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.2 7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 2PAIr dA IP称为图形对于点称为图形对于点O的截面二的截面二次极矩或极惯性矩。极惯性矩的单次极矩或极惯性矩。极惯性矩的单位为位为m m4 4或或mmmm4 4。 显然，由图示知显然，由图示知：222,PyzrzyIII 注意注意：IP恒恒为正值。为正值。 定义定义 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.2 7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 yz

8、AIyzdA Iyz称为图形对于通过点称为图形对于通过点O的一的一对坐标轴对坐标轴y、z的惯性积。惯性积的的惯性积。惯性积的单位为单位为m m4 4或或mmmm4 4。 注意注意： Iyz可能为正值，可能为负值，也可能为正值，可能为负值，也可能为零可能为零。 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.2 7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 yyzzIiAIiA iy、iz称为图形对于坐标轴称为图形对于坐标轴y、z的惯的惯性半径。惯性半径的单位为性半径。惯性半径的单位为m m或或mmmm。 7.2

9、7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 3Zbh121I3yhb121I yChbzz4yIId64zydCD()44yzDII1 64Dd zyCd432PId()44PDI1 32 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.3 7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 移轴定理移轴定理：指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之：指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系，即通过图形对于一对坐标轴的惯性矩、惯性积，间的关系，即通过图形对于一对坐标轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对与

10、上述坐标轴平行的坐标轴的惯性矩与惯性求图形对另一对与上述坐标轴平行的坐标轴的惯性矩与惯性积。积。21211 1yyzzy zyzIIa AIIb AIIabA要求：要求： Iy、Iz通过形心。通过形心。 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.47.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 转轴定理转轴定理：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律（不要求坐标原点通过形轴的惯性矩和惯性积的变化规律（不要求坐标原点通过形心）心） 。111 1cos2sin222c

11、os2sin222sin2cos22yzyzyyzyzyzzyzyzy zyzIIIIIaIaIIIIIaIaIIIaIa 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.5 7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 图形对于过一点图形对于过一点(y0,z0)的一对坐标轴的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值或极小值的特征。或

12、极小值的特征。0max220min1()422yyzyzyzzIIIIIIIII 对于任意一点对于任意一点(图形内或图形外图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。形心主矩。 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 【例题例题7-17-1】截面图形的几何尺寸如图所示。试求图中具有剖面线部分的截面图形的几何尺寸如图所示

13、。试求图中具有剖面线部分的惯性矩惯性矩Iy和和Iz。解解： 根据惯性矩定义，具有剖面线的图形对根据惯性矩定义，具有剖面线的图形对于于y、z轴的惯性矩，等于高为轴的惯性矩，等于高为H宽为宽为b的矩形的矩形对于对于y、z轴的惯性矩，减去高为轴的惯性矩，减去高为h宽为宽为b的矩的矩形对于相同轴的惯性矩，即形对于相同轴的惯性矩，即 333y3333z111IHbhb(H -h)b121212111IbHbhb(H -h )121212 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 【例题例题7-27-2】T T形截面尺寸如图所示，试求其形心主惯性矩。形截面尺寸如

14、图所示，试求其形心主惯性矩。解解：1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 将将T T形分解为图示的两个矩形形分解为图示的两个矩形I I和和。 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截面图形的几何性质 2 2确定形心位置确定形心位置11202500090,030 300270 50niCiyizCCniiA ySSyzAAA11220,30 300 0270 50 1502025000yzCCSSA yA y 1122(,)(0,0),(,)(150,0)CCCCyzyz 7.2 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质与应力分析相关的截

15、面图形的几何性质 3 3确定形心主轴确定形心主轴 以形心以形心C C为坐标原点建立图示的为坐标原点建立图示的CyCyC Cz zC C坐标系，其中坐标系，其中z zC C轴通过原轴通过原点且与对称轴点且与对称轴y yC C垂直，则垂直，则y yC C、z zC C即为形心主轴。即为形心主轴。 4 4计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩337411( )()30 300270 507.03 101212yCyCyCIIIIIImm3232841( )()300 3090300 30121 50 27060270 502.04 1012zCzCzCIIIIIImm 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上

16、的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念 对称面对称面：若梁的横截面具有对称轴，则所有相同的对称：若梁的横截面具有对称轴，则所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面，通常采用纵向对称面。轴组成的平面，称为梁的对称面，通常采用纵向对称面。 主轴平面主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴梁的主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称

17、面也是主轴平面；反之则不然。平面；反之则不然。 纵向对称面纵向对称面MP1P2q 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念 平面弯曲平面弯曲：所有外力：所有外力( (包括力、力偶包括力、力偶) )都作用在梁的同一都作用在梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯曲称为平面弯曲。线位于外力作用平面内，这种弯曲称为平面弯曲。 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7

18、.3.1 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念 纯弯曲纯弯曲：如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这：如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上种平面弯曲称为纯弯曲。纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而只有垂直于横截面的正应力。只有弯矩，因而只有垂直于横截面的正应力。 PPaaABQMxx 横向弯曲：梁在垂直梁轴线横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，梁的横截面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲

19、称为横还有切应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲。向弯曲，简称横弯曲。 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念平面弯曲与纯弯曲的概念 非对称弯曲非对称弯曲：若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵：若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。对称弯曲。纵向对称面纵向对称面MP1P2q 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲

20、时梁横截面上正应力分析 1.1.平面假定与应变分布平面假定与应变分布 中性层中性层：看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些层：看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些层则发生缩短变形，在伸长层与缩短层交界处的那一层既不则发生缩短变形，在伸长层与缩短层交界处的那一层既不伸长也不缩短，这一层称为梁的中性层或中性面。伸长也不缩短，这一层称为梁的中性层或中性面。中性轴中性轴：中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴，：中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴，中性轴垂直于加载方向。中性轴垂直于加载方向。 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3

21、.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析 1.1.平面假定与应变分布平面假定与应变分布 平面假定平面假定：如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为：如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dxdx的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度d d，这一假，这一假定称为定称为平面假定平面假定。 -dxyddxd xdxdyydxdx 1ddx 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯

22、曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析 2.2.胡克定律与应力分布胡克定律与应力分布 xxEyECy y yx xz zEC 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析 3.3.应用静力方程确定待定常数应用静力方程确定待定常数 0 xNAdAF()xzAdA yM 2()zzAACydA yC y dACIM zxzM yCyI zzMCI 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯

23、曲时梁横截面上正应力分析 4.4.中性轴的位置中性轴的位置 zxzM yCyI =0zNxzAAzzzzzAM yFdAdAIMMydASII S0zAydA 中性轴中性轴z z通过截面形心，并且垂直于对称轴通过截面形心，并且垂直于对称轴，所以，确，所以，确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析 5.5.最大正应力公式与弯曲截面模量最大正应力公式与弯曲截面模量 y yx xz zmaxmaxzzzz

24、M yMIWmaxzzIWy2Z1Wbh6yChbzz3Wd32zydCD3()4zDW1 32Dd zyCd 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.2 7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析纯弯曲时梁横截面上正应力分析 6.6.梁弯曲后其轴线的曲率计算公式梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 1zzMCEEI 式中，式中，EIz称为梁的弯曲刚度。称为梁的弯曲刚度。 zzMCI 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.3 7.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广梁的弯曲正应力公式的应用与推广 1.1.计算梁的弯曲

25、正应力需要注意的几个问题计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 正应力的正负号：结合中性轴和弯矩的正负来确定正应力的正负号：结合中性轴和弯矩的正负来确定 最大正应力计算最大正应力计算 ：梁的横截面只有一根对称轴时，：梁的横截面只有一根对称轴时， maxmaxzbcbczM yI（压）（压）maxmaxzbbzM yI（拉）（拉） 7.3 7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.3 7.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广梁的弯曲正应力公式的应用与推广 2.2.纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲 上述正应力计算公式是在纯弯曲下得出的结论

26、。事实上上述正应力计算公式是在纯弯曲下得出的结论。事实上工程中绝大多数弯曲均为横力弯曲，即梁的横截面上既有弯工程中绝大多数弯曲均为横力弯曲，即梁的横截面上既有弯矩矩M又有剪力又有剪力F FQ。由于剪力的存在，将会对：。由于剪力的存在，将会对： 正应力的计算产生影响正应力的计算产生影响。但进一步的分析表明，横。但进一步的分析表明，横力弯曲时采用上述公式计算正应力仍具有足够的精度。因此力弯曲时采用上述公式计算正应力仍具有足够的精度。因此，上述公式也广泛应用于横力弯曲时正应力的计算。，上述公式也广泛应用于横力弯曲时正应力的计算。 在横截面上产生切应力在横截面上产生切应力。对跨高比大于对跨高比大于5

27、5即即L/h5 的弯曲梁，其切应力的影响可以忽略不计的弯曲梁，其切应力的影响可以忽略不计。当然，对于一些。当然，对于一些“短梁短梁”（也称为深梁，其跨高比小于（也称为深梁，其跨高比小于5 5）就必须考虑剪力）就必须考虑剪力在横截面上所产生的切应力。以后若无特别说明，均可忽略在横截面上所产生的切应力。以后若无特别说明，均可忽略切应力的计算。切应力的计算。 7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 【例题例题7-37-3】 图示矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所图示矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称

28、轴所组成的平面，称为组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为Me，力偶作用在，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上正应力分布图。铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上正应力分布图。 解：解：1确定固定端处横截确定固定端处横截面上的弯矩面上的弯矩 eMM2确定中性轴的位置确定中性轴的位置 图示的图示的z z轴就是中性轴轴就是中性轴 3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截

29、根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。面中性轴以下各点均受拉应力。 4画梁在固定端截面上正应力分布图画梁在固定端截面上正应力分布图 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度(y)(y)按直线分布。在按直线分布。在上、下边缘正应力值最大。上、下边缘正应力值最大。 7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 【例题例题7-47-4】 承受均布载荷的简支梁如图示。已知：梁的截面为矩形，承受均布载荷的简支梁如图示。已知：梁的截面为矩形，矩形的宽度矩形的宽度b=20mm=20mm，高度，高度h

30、=30mm30mm；均布载荷集度；均布载荷集度q=10kN=10kNm m；梁的长度；梁的长度l=450mm=450mm。求：梁最大弯矩截面上。求：梁最大弯矩截面上1 1、2 2两点处的正应力。两点处的正应力。解：解：1确定弯矩最大截面以及确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值最大弯矩数值 32.25 102NANBqlFFNxy梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 支座支座A A、B B处的约束力为处的约束力为 211 (0)22zMqlxqxxl 由梁的弯矩方程知，梁的最大弯矩截面位于梁的中点处，其最由梁的弯矩方程知，梁的最大弯矩截面位于梁的中点处，其最大弯矩值为：大弯矩值为： 23max10.253

31、108MqlN m 7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 2计算惯性矩计算惯性矩 315.0 1023hhymxy1 1、2 2两点到中性轴的距离分别为两点到中性轴的距离分别为 弯矩最大截面上，弯矩最大截面上，1 1、2 2两点的正应力分别为两点的正应力分别为 ： max1(1)28.1zMyMPaI38414.5 1012zIbhm3求弯矩最大截面上求弯矩最大截面上1、2两点的两点的正应力正应力 3215 102hymmax2(2)84.3zMyMPaI（拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力） 7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举

32、例 【例题例题7-57-5】图示丁字形截面简支梁在中点承受集中力图示丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP=32=32kN，梁的长，梁的长度度l=2=2m。丁字形截面的形心坐标。丁字形截面的形心坐标yC=96.4=96.4mm，横截面对于，横截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz=1.02=1.0210108 8mm4。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。解：解：1确定弯矩最大截面以及确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值最大弯矩数值 316 102PNANBFFFN梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 支座支座A A、B B处的约束力为处的约束力为 (0),(

33、) ()2222PPzzFFllMxxMlxxl 由梁的弯矩方程知，梁的最大弯矩截面位于梁的中点处，其最由梁的弯矩方程知，梁的最大弯矩截面位于梁的中点处，其最大弯矩值为：大弯矩值为： 3max16 104PF lMN m 7.4 7.4 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 2确定中性轴的位置确定中性轴的位置 max(2005096.4)153.6bymm 最大拉应力和最大压应力到最大拉应力和最大压应力到中性轴的距离分别为中性轴的距离分别为 弯矩最大截面上最大拉应力和最大压应力分别为弯矩最大截面上最大拉应力和最大压应力分别为 ： maxmaxmax24.09bbzMyMPaI3

34、求弯矩最大截面上的最大拉应求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力力和最大压应力 maxmaxmax15.12bcbczMyMPaI（拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）z z轴为中性轴轴为中性轴 max96.4bcymm 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 7.5.17.5.1梁的失效判据梁的失效判据 0s0b 对于对于韧性材料韧性材料，当梁的危险截面上的最大正应力，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服极限时，认为梁发生失效达到材料的屈服极限时，认为梁发生失效 对于对于脆性材料脆性材料，当梁的危险截面上的最大拉应力，当梁的危险截面上的最大拉应力达到材料的抗拉极限时，认为梁发生失

35、效达到材料的抗拉极限时，认为梁发生失效7.5.27.5.2梁的弯曲强度计算准则梁的弯曲强度计算准则 maxssn 梁的危险截面上的最大正应力，必须小于许用应力梁的危险截面上的最大正应力，必须小于许用应力 弯曲许用应力；弯曲许用应力；n ns s对应于屈服极限的安对应于屈服极限的安全因数；全因数；n nb b对应于抗拉强度的安全因数。对应于抗拉强度的安全因数。 maxsbn 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 7.5.27.5.2梁的弯曲强度计算梁的弯曲强度计算 弯曲的三类强度问题：弯曲的三类强度问题：、校核强度：校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：设计载荷：设计载荷：max m

36、axMWzmax zMW 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 7.5.37.5.3梁的弯曲强度计算步骤梁的弯曲强度计算步骤 弯曲强度计算的一般步骤为：弯曲强度计算的一般步骤为： 根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。 画出梁的弯矩图，确定可能的危险截面。画出梁的弯矩图，确定可能的危险截面。 确定可能的危险点：对于抗拉、抗压强度相同的材料确定可能的危险点：对于抗拉、抗压强度相同的材料( (如低碳钢等如低碳钢等) )，最大拉应力作用点与最大压应力作用点具，最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性；对于抗拉、抗压强度性能不同的材料有相

37、同的危险性；对于抗拉、抗压强度性能不同的材料( (如如灰铸铁等脆性材料灰铸铁等脆性材料) )最大压应力作用点和最大拉应力作用点最大压应力作用点和最大拉应力作用点都有可能是危险点。都有可能是危险点。 应用强度条件进行强度计算。应用强度条件进行强度计算。 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 【例题例题7-67-6】 图示圆轴在图示圆轴在A A、B B两处的深沟球轴承可以简化为铰链支座；两处的深沟球轴承可以简化为铰链支座；轴的外伸部分轴的外伸部分BDBD是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的载荷都标是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的载荷都标在图中。已知抗拉和抗压的许用应力相等，即在

38、图中。已知抗拉和抗压的许用应力相等，即 =120MPa=120MPa，试分析圆轴，试分析圆轴的强度是否安全的强度是否安全 。解：解：1确定约束力确定约束力 由平衡方程由平衡方程2画弯矩图，判断可能的危险截面画弯矩图，判断可能的危险截面 2.93,5.07RARBFkN FkN 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 0AM0BM 可以求得：可以求得： 圆轴的弯矩图如图所示，危险圆轴的弯矩图如图所示，危险截面为截面为C C截面和截面和D D截面截面 。1.17,0.9CBMkN m MkN m3 3计算危险截面上的最大正应力计算危险截面上的最大正应力 C C截面上：截面上：2 2分析梁的强度是

39、否安全分析梁的强度是否安全 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 3max31.17 1055.332CCMMPaDW 由上述分析知：由上述分析知： max55.3120MPaMPa D D截面上：截面上：3max340.9 1052.9(1)32DDMMPaDaW因此，轴的强度是安全的。因此，轴的强度是安全的。【例题例题7-77-7】铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图所示，图中铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图所示，图中F FP P=20=20kNkN。梁。梁的截面为的截面为T T字形，形心坐标字形，形心坐标y yC C=96.4mm=96.4mm，截面对于，截面对于z z轴的惯性矩轴的惯性

40、矩I IZ Z=1.02=1.0210108 8mmmm4 4。已知材料的抗拉许用应力和抗压许用应力分别为。已知材料的抗拉许用应力和抗压许用应力分别为 b b=40=40MPaMPa， bcbc=100=100MPaMPa。试校核梁的强度是否安全。试校核梁的强度是否安全。解：解：1画弯矩图，判断可能的危险截面画弯矩图，判断可能的危险截面 梁的弯矩图如右图所示，截面梁的弯矩图如右图所示，截面A A和和B B都可能是危险截面。这两个截面都可能是危险截面。这两个截面上的弯矩值分别为上的弯矩值分别为 2 2根据危险截面上的正应力分布确定根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点可能的危险点 7.5 7

41、.5 梁的强度计算梁的强度计算 危险截面上的正应力分布如右危险截面上的正应力分布如右图所示，截面图所示，截面A A的上下边缘各点如的上下边缘各点如a a点和点和b b点，截面点，截面B B的上下边缘各点如的上下边缘各点如c c点和点和d d点都是可能的危险点。点都是可能的危险点。16,12ABMkN m MkN m3 3计算危险点的正应力，进行强度校核计算危险点的正应力，进行强度校核 A A截面上：截面上： 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 3381216 1096.4 101.02 1010 15.1aaazbcM yIMPa因此，轴的强度是安全的。因此，轴的强度是安全的。a a点：

42、点：3381216 10(25096.4) 101.02 1010 24.09AbbzbM yIMPab b点：点： B B截面上：截面上：3381212 1096.4 101.02 1010 11.34BcczbM yIMPac c点：点：3381212 10(25096.4) 101.02 1010 18.07AddzbcM yIMPad d点：点：【例题例题7-87-8】采用一台采用一台150150kN和一台和一台200200kN的起重机，起吊重力为的起重机，起吊重力为FP=300=300kN的大型设备，辅助梁为一根工字形轧制型钢，如图所示。已知的大型设备，辅助梁为一根工字形轧制型钢，如

43、图所示。已知l=4=4m，型钢，型钢材料的许用应力材料的许用应力 =160=160MPa，试计算：，试计算：1 1FP应加在辅助梁的什么位置？应加在辅助梁的什么位置？2 2辅助梁应该选择多大型号的工字钢辅助梁应该选择多大型号的工字钢? ?解：解：1确定确定FP加在辅助梁上的位置加在辅助梁上的位置 即要求两台起重机所承受的截即要求两台起重机所承受的截荷都不超过最大起重载荷：荷都不超过最大起重载荷： 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 0AMFAFB 由平衡方程：由平衡方程： 0BM 可以求得：可以求得： ()0,0BPPAF lF lxF xF l(),PPABF xF lxFFll 令令

44、 200,150ABFkN FkN 可以求得可以求得FP 作用点的范围为：作用点的范围为： 22.667mxm2 2确定辅助梁所需要的工字钢型号确定辅助梁所需要的工字钢型号 辅助梁的弯矩图如图所示，截辅助梁的弯矩图如图所示，截面面C C处的弯矩值最大：处的弯矩值最大： 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 当当 时时2xmABMCMFAFB150ABFFkN150 2300CMkN m当当 时时2.667xm200.025,99.975ABFkN FkN200.025 (42.667)266.6CMkN m由上述分析知，辅助梁所承受的最大弯矩值为：由上述分析知，辅助梁所承受的最大弯矩值为：

45、max300MkN m2 2确定辅助梁所需要的工字钢型号确定辅助梁所需要的工字钢型号 由强度条件：由强度条件： 7.5 7.5 梁的强度计算梁的强度计算 ABMCM maxmaxzMWFAFB可得：可得： 查型钢表，选取查型钢表，选取50a50a工字钢，其抗弯截面系数为工字钢，其抗弯截面系数为1.86103cm3, ,其与所其与所需要的截面系数的差值百分比为需要的截面系数的差值百分比为0.8%0.8%，小于工程上允许的，小于工程上允许的5%5%的范围，故的范围，故选取的工字钢合适。选取的工字钢合适。 333max6300 101.875 10160 10zMWcm 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲

46、 斜弯曲斜弯曲：梁上所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面：梁上所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面不是对称面( (或主轴平面或主轴平面) )，或者外力都作用于对称面，或者外力都作用于对称面( (或主轴或主轴平面平面) )内，但不是同一对称面内，但不是同一对称面( (梁的截面具有两个或两个以上梁的截面具有两个或两个以上对称轴对称轴) )或主轴平面内梁也将会产生弯曲，这种弯曲称为或主轴平面内梁也将会产生弯曲，这种弯曲称为斜弯斜弯曲曲。 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 矩形截面斜弯曲时横截面上的最大正应力：矩形截面斜弯曲时横截面上的最大正应力：maxyzbyzMMWWmax()yzb

47、cyzMMWW 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 圆形截面斜弯曲时横截面上的最大正应力：圆形截面斜弯曲时横截面上的最大正应力：22maxzybMMMWWxyzMyMz22zyMM22maxzybcMMMWW 【例题例题7-97-9】一般生产车间所用的起重一般生产车间所用的起重机大梁，两端由钢轨支撑，可以简机大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁，如图所示。图中化为简支梁，如图所示。图中l=2=2m。大梁由大梁由3232a热轧普通工字钢制成，许用热轧普通工字钢制成，许用应力应力 =160=160MPa。起吊重物的重力。起吊重物的重力FP=80=80kN，并且作用在梁的中点，作，并且作用在梁的中点，作

48、用线与用线与y轴之间的夹角轴之间的夹角a=50=50，试校核，试校核吊车大梁的强度是否安全。吊车大梁的强度是否安全。? ?解：解：1将斜弯曲分解为两个平面弯曲将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加的叠加 sin ,cosPzPPyPFFa FFa 将将FP分解为分解为y和和z方向的两个分力方向的两个分力FPy和和FPz ，将斜弯曲分解为两个平面将斜弯曲分解为两个平面弯曲，分别如图弯曲，分别如图b b和图和图c c所示所示: : 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 2求两个平面弯曲情形下的最大弯矩求两个平面弯曲情形下的最大弯矩 maxsin()4PPzF laMFmaxcos()4PPyF laMF3计算两

49、个平面弯曲情形下的最大正计算两个平面弯曲情形下的最大正应力应力 在在Mmax(FPy)作用的截面上作用的截面上( (图图b) )，截面上边缘截面上边缘a、b点承受最大压应力；点承受最大压应力；下边缘下边缘c、d点承受最大拉应力：在点承受最大拉应力：在M Mmax(F(FPz) )作用的截面上作用的截面上( (图图c) )，截面，截面上上b、d点承受最大压应力；点承受最大压应力；a、c点承点承受最大拉应力。受最大拉应力。 两个平面弯曲叠加结果，点两个平面弯曲叠加结果，点c承承受最大拉应力；点受最大拉应力；点b承受最大压应力。承受最大压应力。因此因此b、c两点都是危险点。两点都是危险点。 7.6

50、7.6 斜弯曲斜弯曲 3计算两个平面弯曲情形下的最大正计算两个平面弯曲情形下的最大正应力应力 因此，梁在斜弯曲情形下的强度因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。是不安全的。 maxmaxmax()()( , )sincos 44 213.6160PyPzyzPPyzMFMFb cWWF laF laWWMPaMPa 若令若令a=0=0，即截荷沿，即截荷沿y轴的方向，轴的方向，则此时为平面弯曲，梁内的最大正应则此时为平面弯曲，梁内的最大正应力为：力为： maxmax4 115.6160PzzMF lWWMPaMPa 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 【例题例题】由由 20020020020020

51、20 普通热轧等边角钢制成的简支梁，受力如图普通热轧等边角钢制成的简支梁，受力如图所示。若已知所示。若已知FP2525kN。求：危险截面上。求：危险截面上 A A、B B、C C 三点的正应力。三点的正应力。解：解：1外力分解外力分解 将将FP分解为沿形心主轴分解为沿形心主轴y和和z方向的两个分力方向的两个分力FPy和和FPz，将斜弯曲分将斜弯曲分解为两个平面弯曲，如图解为两个平面弯曲，如图b b所示所示: : 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 2危险截面与最大弯矩危险截面与最大弯矩中间截面弯矩最大，故为危险面，其上之弯矩值分别为中间截面弯矩最大，故为危险面，其上之弯矩值分别为: : 7.6 7.

52、6 斜弯曲斜弯曲 3计算计算 A、B、C 三点的正应力三点的正应力先确定三点的先确定三点的 y y、z z 坐标坐标: : 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 200cos45141.456.9(200cos45)60.9cos45AAymmzmm 056.980.5cos45BByzmm141.460.9CACAyymmzzmm 3计算计算 A、B、C 三点的正应力三点的正应力由平面弯曲由平面弯曲正应力正应力公式算得各点应力如下公式算得各点应力如下: : 7.6 7.6 斜弯曲斜弯曲 maxmax()147yAzAAyzMzMyMPaII maxmax121yBzBByzMzMyMPaIImaxm

53、ax37yCzCCyzMzMyMPaII 应力分析（图应力分析（图b b所示）：所示）： 7.7 7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 对于梁同时承受弯矩与轴力作用的情形，横截面上任意对于梁同时承受弯矩与轴力作用的情形，横截面上任意点的正应力等于分别由弯矩与轴力引起的正应力的叠加。点的正应力等于分别由弯矩与轴力引起的正应力的叠加。maxNbFMWAmax()NbcFMWA 强度条件：强度条件： max【例题例题7-107-10】 图示为钻床结构及其受力简图。钻床立柱为空心铸铁管，图示为钻床结构及其受力简图。钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为管的外径为D=

54、140=140mm，内、外径之比，内、外径之比dD=0.75=0.75。铸铁的抗拉许用应力。铸铁的抗拉许用应力 b=35=35MPa，抗压许用压应力，抗压许用压应力 bc=90=90MPa。钻孔时钻头和工作台面的。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中受力如图所示，其中FP=15=15kN，力，力FP作用线与立柱轴线之间的距离作用线与立柱轴线之间的距离( (偏心偏心距距) )e=400=400mm。试校核立柱的强度是否安全。试校核立柱的强度是否安全。解：解：1确定立柱横截面上的内力分量确定立柱横截面上的内力分量 由平衡条件得截面上的轴力和弯矩分由平衡条件得截面上的轴力和弯矩分别为别为: :

55、7.7 7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 15NPFFkN6PMF ekN m2确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力 由题分析知，所有横截面的危险程度由题分析知，所有横截面的危险程度是相同的是相同的 。横截面上左、右两侧上的。横截面上左、右两侧上的b b点点和和a a点分别承受最大拉应力和最大压应力点分别承受最大拉应力和最大压应力 7.7 7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 2确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力 立柱的抗拉和抗压强度都是安全的。立柱的抗拉和抗压强度都是安全

56、的。 max3422(1)()324 34.8235NPPbbFF eFMDaDdWAMPaMPa max3422(1)()324 30.3790NPPbcbcFF eFMDaDdWAMPaMPa 【例题例题】图示之正方形截面短柱，承变轴向压力图示之正方形截面短柱，承变轴向压力FP的作用。若将短柱中的作用。若将短柱中间部分开一槽，开槽所削弱的面积为原截面积的二分之一。试确定开槽后，间部分开一槽，开槽所削弱的面积为原截面积的二分之一。试确定开槽后，柱内最大压应力比未开槽时增加到多少倍。柱内最大压应力比未开槽时增加到多少倍。解：解：1未开槽时的压应力未开槽时的压应力 7.7 7.7弯矩与轴力同时作

57、用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 2开槽后的最大压应力开槽后的最大压应力 开槽后，柱内最大压应力将发生在开开槽后，柱内最大压应力将发生在开槽处的横截面上。此时，开槽处横截面为槽处的横截面上。此时，开槽处横截面为偏心压缩，受到轴力偏心压缩，受到轴力FN和弯矩和弯矩M的作用，的作用，其值分别为：其值分别为：22(2 )4NPPFFFAaaNPFF2PaMF 7.7 7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 2开槽后的最大压应力开槽后的最大压应力 最大压应力将发生在削弱后的截面最大压应力将发生在削弱后的截面 的右侧边上，其值为：的右侧边上

58、，其值为：max2222 12262 yNbcyPPPMFAWaFFaaaFa开槽后的最大压应力将增加到的倍数为：开槽后的最大压应力将增加到的倍数为：222=84PPFaFa 7.8 7.8 结论与讨论结论与讨论 7.8.1 7.8.1 关于弯曲正应力公式的应用条件关于弯曲正应力公式的应用条件 第一，平面弯曲正应力公式只能应用于平面弯曲情形。第一，平面弯曲正应力公式只能应用于平面弯曲情形。对于截面有对称轴的梁，外加载荷的作用线必须位于梁的对于截面有对称轴的梁，外加载荷的作用线必须位于梁的对称平面内，才能产生平面弯曲。对于没有对称轴截面的对称平面内，才能产生平面弯曲。对于没有对称轴截面的梁，外加载荷的作用线如果位于梁的主轴平面内，也可以梁，外加载荷的作用线如果位于梁的主轴平面内，也可以产生平面弯曲。产生平面弯曲。 第二，只有在弹性范围内加载，横截面上的正应力才第二，只有在弹性范围内加载，横截面上的正应力才会线性分布，才会得到平面弯曲正应力公式会线性分布，才会得到平面弯曲正应力公式。 第三，平面弯曲正应力公式是在纯弯情形下得到的，第三，平面弯曲正应力公式是在纯弯情形下得到的，但是，对于细长杆，由于剪力引起的切应力比弯曲正应力但是，对于细长杆，由于剪力引起的切应力比弯曲正应力小得多，对强度的影响很小，通常都可以忽略。由此，平小得多，对强度的影响很小，通常都可以忽略。由此，平