12第2课时解三角形的实际应用举例—高度、角度问题

1、第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角度问题1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；关底部不可到达的物体高度测量的问题；2.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题关计算角度的实际问题. .1.1.现实生活中现实生活中, ,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？海拔高度呢？今

2、天我们就来共同探讨这今天我们就来共同探讨这些些方面的问题方面的问题. .2.2.在实际的航海生活中在实际的航海生活中, ,人们又会遇到新的问题人们又会遇到新的问题：在浩瀚在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？速和航向呢？探究一、探究一、测量底部不可到达的建筑物高度测量底部不可到达的建筑物高度例例1 AB1 AB是底部是底部B B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A A为建筑物的最高为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度点，设计一种测量建筑物高度ABAB的方法的方法. .分析：分析：如图，求如图，求ABAB长

3、的关长的关键是先求键是先求AEAE，在，在 ACEACE中，中，如能求出如能求出C C点到建筑物顶点到建筑物顶部部A A的距离的距离CACA，再测出由，再测出由C C点观察点观察A A的仰角，就可以的仰角，就可以计算出计算出AEAE的长的长. .由由例例2 2 如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A的俯角的俯角 =54=544040，在塔底，在塔底C C处测得处测得A A处的俯角处的俯角=50=501 1 , ,已已知铁塔知铁塔BCBC部分的高为部分的高为27.3 m,27.3 m,求出山高求出山高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m).根据已知条

4、件根据已知条件, ,大家能设计出大家能设计出解题方案吗？解题方案吗？分析分析: :若在若在ABDABD中求中求CDCD，则关键需，则关键需要求出哪条边呢？要求出哪条边呢？那又如何求那又如何求BDBD边呢？边呢？解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+ +, , ABC=90ABC=90- -, , BAC=BAC=- -, , BAD=BAD=. .根据正弦定理，根据正弦定理，答：答：山的高度约为山的高度约为150150米米. .把测量数据代入上式，得把测量数据代入上式，得177.4-27.3177.4-27.3150(m)150(m)思考思考: :有没有别的解法呢？有没有别

5、的解法呢？先在先在ABCABC中，根据中，根据正弦定理求得求出正弦定理求得求出AC.AC.再在再在ACDACD中求中求CDCD即可即可. .例例3 3 如图如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515的方向的方向上上, ,行驶行驶5km5km后到达后到达B B处处, ,测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北2525的方向的方向上上, ,仰角为仰角为8 8 , ,求此山的高求此山的高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m).解：解：在在ABCABC中，中，A=1

6、5A=15, C= 25, C= 25-15-15=10=10. .根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCCD=BCtanDBCBCtanDBCBCtan8tan81047(m)1047(m)答：山的高约为答：山的高约为10471047米米. .例例4 4 如图，一艘海轮从如图，一艘海轮从A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航行的方向航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B,B,然后从然后从B B出发出发, ,沿北偏东沿北偏东3232的方的方向航行向航行54.0 n mile54.0 n mile后到达海岛后到达海岛C.C.如果下次航行直接从如果下次航

7、行直接从A A出出发到达发到达C,C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行沿怎样的方向航行, ,需要航行的距离是需要航行的距离是多少多少?(?(角度精确到角度精确到0.10.1, ,距离精确到距离精确到0.01n mile)0.01n mile)探究二探究二 、测量角度问题、测量角度问题分析：分析：首先根据三角形的内角和定理求出首先根据三角形的内角和定理求出ACAC边所对的角边所对的角ABCABC，即可用余弦定理算出，即可用余弦定理算出ACAC边，再根据正弦定理算出边，再根据正弦定理算出ACAC边和边和ABAB边的夹角边的夹角CAB.CAB.解：解：在在 ABCABC中，中，ABCABC18018

8、075753232137137，根据余弦定理，根据余弦定理，根据正弦定理根据正弦定理, ,分析：分析：此题即此题即“已知已知ABCABC中，中，BCBC85mm85mm，ABAB340mm340mm，C C8080，求，求ACAC” ” 解：解：（如图）在（如图）在ABCABC中，由正弦定中，由正弦定理可得：理可得：又由正弦定理：又由正弦定理：答：活塞移动的距离为答：活塞移动的距离为81mm81mm 2.2.我舰在与敌岛我舰在与敌岛A A南偏西南偏西5050相距相距1212海里的海里的B B处，发现敌舰处，发现敌舰正由岛沿北偏西正由岛沿北偏西1010的方向以的方向以1010海里海里/ /小时的

9、速度航小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 2小时小时追上敌舰？追上敌舰？( (精确到精确到1 1）CBA解：解：如图，在如图，在ABCABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：我舰的追击速度为我舰的追击速度为1414海里海里/ /小时小时. .答：我舰需以答：我舰需以1414海里海里/ /小时，沿北偏东小时，沿北偏东1212方向航行才方向航行才能用能用2 2小时追上敌舰。小时追上敌舰。3.3.5m3.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m1.2m的地的地面上，另一端沿堤上面上，另一端沿堤上2.8m2.8m的地方，求堤对地面的倾斜角的地方，求堤对地面的倾斜角. . ( (精确到精确到0.010.01）答：堤对地面的倾斜角答：堤对地面的倾斜角63.7763.771.1.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽题意画方位图，