两个随机变量的函数及其分布学习教案

1、会计学1两个随机变量两个随机变量(su j bin lin)的函数及其的函数及其分布分布第一页，共22页。X与与Y 独立独立(dl)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即即jiijppp连续型连续型)()(),(yfxfyxfYX对一切对一切(yqi) i , j 有有离散离散(lsn)型型X与与Y 独立独立对任何对任何 x ,y 有有复 习第1页/共21页第二页，共22页。 在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布(fnb)，现在我们进一步讨论:当随机变量当随机变量 X, Y 的概率分布已知时，如何求出它的概率分布已知时，如何求出它们的函数们的函数Z = g ( X, Y ) 的

2、分布的分布?其中其中 是连续函数是连续函数.( , )zg x y第2页/共21页第三页，共22页。当( X ,Y )为离散(lsn)型r.v.时, Z也是离散(lsn)型的，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2, 1k一、两个离散一、两个离散(lsn)(lsn)型型r.v.r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布.第3页/共21页第四页，共22页。解： 根据( X,Y )的联合(linh)分布可得如下

3、表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第4页/共21页第五页，共22页。故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 05页/共21页第六页，共22页。解：依题意(t y) 例2 若 X 和

4、 Y 相互独立,它们分别服从(fcng)参数为的泊松分布, 证明Z=X+Y服从(fcng)参数为于是于是(ysh),.2 , 1 , 0,!)(11iieiXPi,.2 , 1 , 0,!)(22jjejYPj12, 12 的泊松分布的泊松分布.0()(,)kiP ZkP Xi Ykikiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek), 2 , 1 , 0(k1212()()!keP Zkk0(,)kiP Xi Ykiq 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且相互独立，则 X + Y B ( n1+n2, p)第6页/共2

5、1页第七页，共22页。方法(fngf) 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件 二、两个二、两个(lin )连续型连续型r.v.的函数的概率分布的函数的概率分布)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中(qzhng)问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求 密度函数.),(YXgZ 第7页/共21页第八页，共22页。1. 和的分布和的分布(fnb)：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合(linh)d.f.为 f (x,y), 则 zzx +y= z)()(zZPz

6、FZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zdxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()(或) 1 (z) 2 (z即第8页/共21页第九页，共22页。特别(tbi)地，若X ,Y 相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作) 1 (z) 2 (z) 4 (z称之为函数(hnsh) f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 zzx +y= z第9页/共21页第十页，共22页

7、。解法一 从分布函数出发(必须(bx)掌握)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z(1)当z 0 时，0)(zFZ1yx1(2)当0 z 1 时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzz( )0Zfz 例3 已知( X ,Y ) 的联合(linh)d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)第10页/共21页第十一页，共22页。x+y = z(3)当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()(

8、zzFZ1yx1x+y = z22(4)当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ0,02( ),012,12Zzzfzzzzz或综合(zngh)上述可得第11页/共21页第十二页，共22页。例3 已知( X ,Y ) 的联合(linh)d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法解法(ji f)二（图形定限法）二（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然(xinrn)X ,Y 相互独立,且y1x1dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfY第12页/共2

9、1页第十三页，共22页。dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10( )()ZYfzfzx dx0,02,zz或01,01,zdxz111,12,zdxzz-1 = xx210,02( ),012,12Zzzfzzzzz或第13页/共21页第十四页，共22页。例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量(su j bin lin) , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解： 由卷积公式(gngsh) 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22(

10、)212zxzxeedx 第14页/共21页第十五页，共22页。22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可见(kjin) Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第15页/共21页第十六页，共22页。 正态随机变量正态随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)的结论的结论q 若X ,Y 相互独立,),(),(222211NYNX则),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2q 若nXXX,21相互独立，则),(1211niiniiniiNX有限有限(yuxin)个独立正态变量的线

11、性组合仍然服从正态分布个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.第16页/共21页第十七页，共22页。2. 平方和的分布平方和的分布(fnb): Z = X 2+Y 2设(X ,Y )的联合(linh) d.f. 为 f (x,y)，则)()(22zYXPzFZ, 0),(, 0, 022zdxdyyxfzzyx, 0,)sin,cos(, 0, 0020zrdrrrfdzz, 0,)sin,cos(21, 0, 0)(20zdzzfzzfZ第17页/共21页第十八页，共22页。例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互(xingh)独立， Z = X 2+Y 2 , 则,

12、0,212121, 0, 0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ, 0,21, 0, 0)(2zezzfzZ自由度为2的 2分布(fnb)称为(chn wi)第18页/共21页第十九页，共22页。已知(X ,Y )的联合(linh)d.f. 为f (x,y)，令Z = X / Y , 求 f Z (z).( )()ZFzP Zz3. 商的分布商的分布(fnb)： Z = X / Y 00( , )( , )yzyzdyf x y dxdyf x y dx00( )(,( )(, )ZZdFzf yz y ydyf yz y ydydfzz12( , )( , )GGf x y dxdyf x y dxdy(, )y f yz y dy2G1G()XPzY第19页/共21页第二十页，共22页。熟练掌握两个随机变量(su j bin lin)的函数的概率分布的求法作业作业(zuy)：P96 28、29、30第20页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结会计学。第1页/共21页。在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们进