等差数列前项和的性质及应用

1、等差数列前项和的性质及应用第一页，课件共53页知识回顾：1. an为等差数列为等差数列 . ， an= ， 更一般的，更一般的，an= ，d= . an+1- an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数为常数am+(n-m)dmnaamn 2)(1naan dnnna2)1(1 2.等差数列前n 项和Sn = = .第二页，课件共53页复习：复习： 等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 2)(1nnaanS2) 1(1dnnnaSn第三页，课件共53页1、通项公式与前、通项公式与前n项和的关系：项和的关系：nnSn212例例1、已知数列、已知数列a n

2、的前的前n项和项和为为 ，求这个数列的通项，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？它的首项与公差分别是什么？第四页，课件共53页分析：分析： nnnaaaaaS1321) 1(13211naaaaSnn所以当所以当n 1时，时， 212)1(21) 1(21221nnnnnSSannn当当n = 1时，时，2311 Sa也满足上式。也满足上式。 因而，数列因而，数列na是一个首项为是一个首项为23，公差为，公差为2的等差数列。的等差数列。 第五页，课件共53页注：由上例得注：由上例得S n与与na之间的关系：之间的关系

3、： 由由nS的定义可知，当的定义可知，当n = 1时，时，11aS 当当n 2时，时，1nnnSSa)2() 1(11nSSnSannn即 第六页，课件共53页新课1第七页，课件共53页2461,4,=19S =23SSnn123456789nm2m3m在等差数列 中，求，在等差数列 中，a +a +a =8,a +a +a =12,求a +a +a =，在等差数列 中，S =30,S =100,求S课前练习第八页，课件共53页na2nSpnqnr0p 探究：探究：如果一个数列如果一个数列的前的前n项和为项和为，其中，其中p、q、r为常数，且为常数，且，那么这个数列一定是，那么这个数列一定是等

4、差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？1nnnaSS2nSpnqnr11Sapqr分析：由分析：由，得，得令令p + q + r = 2p (p + q)，得，得r = 0。 时当2n22() (1)(1)pnqnrp nq nr2()pnpq=na所以当所以当r = 0时，数列时，数列是等差数列，首项是等差数列，首项a 1 = p + q，pqpnpqppnaadnn2)() 1(2)(21公差第九页，课件共53页有最大值有最大值nSda, 0, 01 001nnaa有最小值有最小值nSda, 0, 01 001nnaa2,nSAnBn二、

5、配方，看对称轴等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题一、11=0mmmSSa三、特别的第十页，课件共53页例题例题：已知等差数列已知等差数列 的前的前 n 项和项和为为 ，求使得，求使得 最大的序号最大的序号 n 的值。的值。nS743 ,724 , 5nS的的值值。二二次次函函数数来来求求以以利利用用一一些些点点。因因此此，我我们们可可的的图图象象是是一一条条抛抛物物线线的的关关于于，容容易易知知道道时时的的函函数数值值。另另一一方方面面当当可可以以看看成成函函数数，所所以以项项和和公公式式可可以以写写成成等等差差数数列列的的前前nnSnxNxxdaxdySndandSnnnn

6、)()2(2 )2(2 1212分析：分析：等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题第十一页，课件共53页)75)(1(522nnSn所以，的公差为，列解：由题意知，等差数75-7437245561125)215(1451457522nn取最大值。时，或最接近的整数即取与于是，当nSn87215第十二页，课件共53页1：数列an是等差数列，是等差数列，150,0.6ad （1）从第几项开始有）从第几项开始有0na （2）求此数列前）求此数列前n项和的最大值项和的最大值练习：10112nS =Snn1，设为等差数列a ，公差d=-2，S 为其前 项和，若则a第十三页，课件共53页有最大

7、值有最大值nSda, 0, 01 001nnaa有最小值有最小值nSda, 0, 01 001nnaa配方，看对称轴配方，看对称轴,2BnAnSn 小结：小结：aan n 为等差数列，求为等差数列，求S Sn n的最值。的最值。第十四页，课件共53页已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取取何值时何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.7n113Sn能力提升第十五页，课件共53页已知等

8、差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取取何值时何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn 第十六页，课件共53页已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取取何值时何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=20,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质第三十七页，课件共53页(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(

9、1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.第三十八页，课件共53页作业作业求集合求集合的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和. .60, 12mNnnmmM第三十九页，课件共53页作业作业1 1、已知等差数列、已知等差数列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n项和为项和为Sn, ,求使得求使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值. .2 2：已知在等差数列：已知

10、在等差数列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn为其前为其前n项和项和. .（1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整数的最小的正整数n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a2020| |的值的值第四十页，课件共53页1.1.根据等差数列前根据等差数列前n n项和，求通项公式项和，求通项公式. .1112nnnanaSSn 2 2、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 的最值的最值. .ndandSn)2(212第

11、四十一页，课件共53页3.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列,公公差为差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间为中间两项两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)第四十二页，课件共53页性质性质4:(

12、1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质5: 为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 第四十三页，课件共53页新课5第四十四页，课件共53页倒序法求和倒序法求和倒序相加法：倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩

13、余项的和易于求得，这样的加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。数列可用倒序相加法求和。第四十五页，课件共53页倒序法求和倒序法求和221)(xxf23例例1.1.若若)6()5()4()5(ffff，则，则的值为的值为 。221)(xxfxxxxf2222221)1 (1xx2222122222211)1 ()(xxxfxf 【解析】【解析】 第四十六页，课件共53页裂项法求和裂项法求和一些常用的裂项公式一些常用的裂项公式: :11) 1 (nn12) 12(1)2(nn )2(1)3(nnnn 11)4(111nn)121121(nn21nn1)211(n

14、n21第四十七页，课件共53页11112.11212312nSn例 求的值解：解：nan 211设设)1(2 nn)111(2 nn)111()111()3121()211(2 nnnn122)111(2 nnSn)1(2)1(2322212 nnnnSn第四十八页，课件共53页利用数列周期性求和利用数列周期性求和 有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和. .关关键之处是寻找周期。键之处是寻找周期。 nannnaaaaaa12321, 2, 3, 12002S例例3 3：在数列：在数列中，中，求求nnnaaaaaa12321, 2, 3

15、, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa解：由解：由 可得可得第四十九页，课件共53页利用数列周期性求和利用数列周期性求和 2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa2002S)()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa54321aaaa而而第五十页，课件共53页例例4 4：求和：求和其它方法求和其它方法求和 合合 并并 求求 和和 法法) 12() 1(531nn解：设解：设) 12() 1(531nSnn当当n n为偶数时，设为偶数时，设n=2kn=2k，则，则) 14()34(5312kkSk)14()34()75()31(kkk2) 12(12) 14(22212kkkkaSSkkknSnn) 1(而且而且第