第二章刚体平面运动

1、*2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动用矢量方法研究平面图形的运动平面平动平面平动定轴转动定轴转动* *平面图形上点的加速度关系平面图形上点的加速度关系 *平面图形上点的速度关系第二章、刚体的平面运动第二章、刚体的平面运动2.1 2.1 刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化一、刚体运动形式一、刚体运动形式 空间运动一般运动定点运动一般平面运动转动平面平动空间平动平动基本运动二、平面运动定义平面运动：在运动过程中，平面运动：在运动过程中，刚体上任意一点到某一固定平面的距离始终保持 不变的运动称为刚体的平面运动。简化简化三、简化研究对象三、简化研究对象SAA1A2ASXYZXY2.2 2.2 分

2、析法研究平面图形的运动分析法研究平面图形的运动2.2.1.2.2.1.运动方程运动方程一、确定图形位置一、确定图形位置 自由的平面图形自由的平面图形S S, ,其位置的确定其位置的确定可由其上任一线段可由其上任一线段AB AB 的位置来确定。的位置来确定。的位置可确定夹角）与固定线（方位角ABOxAByxOAB 位置由下述方法确定：建立与参考空间固连直角坐标Oxy AAyxA,点坐标：点坐标：3k体自由度不受约束的平面运动刚ABxAyA二、刚体平面运动的运动方程二、刚体平面运动的运动方程 )()()(ttyYtxXAA 此式描述了平面运动刚体的整体运动性质，完全确定了平面运动刚体的运动规律。y

3、xOABxAyAXYOABxAyA2)()(ktyYtxXAA，自由度运动方程1)(kt ，单自由度运动方程平动）、（特殊情形：,)(1constt consttyYconsttxXAA)()()2(、定轴转动（3 3）、一般平面运动）、一般平面运动直直线线平平动动一一般般平平面面运运动动定定轴轴转转动动曲曲线线平平动动曲线平动刚体运动简化为平面运动刚体运动简化为平面运动曲柄滑块机构平面运动曲柄滑块机构平面运动刚体平动刚体平动刚体曲线平动刚体曲线平动机构运动演示机构运动演示机构运动演示机构运动演示机构运动演示机构运动演示刚体定轴转动刚体定轴转动2.2.2.2.2.2.平面图形的角位移、角速度平

4、面图形的角位移、角速度角加速度角加速度 1 1、平面图形的、平面图形的角位移角位移)()(ttt的转角增量任一有向线段 AB的角位移定义为ABxABDC 平面运动图形上任意二条线段的角位移相等欧拉-沙尔定理因此 tt由图图形形的的角角位位移移：图形上任意一条有向线段（图形上任意一条有向线段（AB或或BC）的）的角度改变角度改变量量（角位移）（角位移）或或 ，称为图形的角位移。，称为图形的角位移。也称为平面运动刚体的角位移。也称为平面运动刚体的角位移。2 2、 图形的图形的角速度角速度、角加速度角加速度t0t1lim）定义：角速度（ t0tlim角加速度AB 、 对平面运动图形而言是对平面运动图

5、形而言是标量，标量，即只有大小、正负；但即只有大小、正负；但在公式推导时也可以表示成在公式推导时也可以表示成矢矢量量：方向总垂直于纸面。：方向总垂直于纸面。 （2 2）、注意：）、注意：的转向不一致时，有与，的转向一致才有与只有定义、根据方方位位角角的的随随意意性性：转向不一致情形。如：的正向与不唯一，因而经常出现位角的选取的真实变化情况，而方的转向反映刚体方位实际中常由AAvBcoslvAx,cossinAAAxAAvxvlxlx所以：以以 为广义坐标，则为广义坐标，则 （设杆长为 l ）AAvB coslvAsinlvA有若sinlvAABsinlvA大小为矛盾转向与图反 sinlvAAB

6、正确结果为广义坐标，则：如果以sinlxA;cos lxA也可用矢量表示、）（3;k;kdtd XYZijk按右手螺旋定则确定方向2.2.3、平面图形上点的运动分析、平面图形上点的运动分析 此部分实质属于点的运动学部分内容，已知平面运动图形上一点A 的广义坐标 以及 A、B 联线的方位角 ，表示出所点B 的运动方程，求解B 点的速度、加速度。AAY ,X称为：平面运动刚体上两点的速度、加速度关系。称为：平面运动刚体上两点的速度、加速度关系。平面图形上两点的速度、加速度关系与平面运动特征有关。平面图形上两点的速度、加速度关系与平面运动特征有关。2.3. 矢量法研究平面图形的运动、平面平动1 .

7、3 . 2平面平动特征平面平动特征刚体上任意线段AB在移动过程中方向不变。平动刚体上点的速度与加速度ABBAA、B两点矢径Ar、BrArBrABrrrABABrrrABABrr平动刚体上两点速度相等注意ABr是常矢量0ABr ABABaavv,同理，平动刚体上两点加速度相等即ABBAArBr平动刚体速度平动刚体速度分布平动刚体加速度平动刚体加速度平动刚体加速度平动刚体加速度ROk、刚体绕定轴转动2 . 3 . 2定轴转动特征：运动时刚体上有一根直线始终保持不动，称为轴线轴线；其他各点绕轴线做圆周运动。kkdtd可以表示为矢量定轴转动刚体上点的运动方程)(t定轴转动刚体的角速度定轴转动刚体的角加

8、速度kkk dtdMV定轴转动刚体上点的定轴转动刚体上点的速度速度dtdsdsddtdMMMrrv方向terdsdM大小RRsdtdsMsinrMr用矢量表示MrvMORMkds刚体定轴转动速度刚体定轴转动速度刚体定轴转动速度分布刚体定轴转动速度分布MrORMk定轴转动刚体上点的定轴转动刚体上点的加速度加速度MrvM速度dtddtdMMMMrrva 加速度Mtra切向加速度大小 Rat法向加速度)(MMnrva大小RvRaMn22nata刚体定轴转动加速度刚体定轴转动加速度刚体定轴转动加速度分布刚体定轴转动加速度分布例：一刚体绕OZ轴转动，某瞬时刚体角速度srad /12求刚体内一点M（30,

9、40,50）的瞬时速度vOZXYMrR304050解：rvk12kjir504030jiv360480 OZXYMrR304050v大小600)360()480(22v另法60040301222Rv附：矢量叉积运算附：矢量叉积运算kjiaaaazyxkjibbbbzyxbbbaaazyxzyxkjiba例：设直角坐标系OXYZ固定不动，某瞬时刚体以角速度=18rad/s绕通过原点O的轴OA转动。A点坐标（10，40，80）试求刚体上一点M（20，-10，10）的速度v。XYZOA（10，40，80） M（20，-10，10）解：刚体绕空间轴OA转动，将 向坐标轴分解。 OA的方向余弦91804

10、01010cos2229480401040cos2229880401080cos222kjikji1682)coscos(coskjikjikjirv180300240)101020()1682(XYZOA（10，40，80） M（20，-10，10） r424)180(300240222v（大小）例：刚体以角速度 绕 Z 轴转动，b为固结在刚体上的任意矢量。证明 ：bbdtdABbZO证：从O分别向A、B引矢量rA、rB有ABrrbABABrrrrbdtddtddtdbrrB)(AArBr2.3.3.刚体平面运动刚体平面运动分解AxAyABB点运动方程轨迹222)()(AByyxxABABB

11、点的运动分解为点的运动分解为A点点的运动加绕的运动加绕A点的转点的转动。动。刚体平面运动分解。sincosAByyABxxABAB22)()(ABAByyxxAB刚体平面运动分解刚体平面运动分解刚体平面运动时两点间的速度关系1、两点速度、加速度关系解析法sincoslyylxxABAB运动方程速度cossinlyylxxABABjivBBByx加速度cossinsincos22 llyyllxxABABjiaBBByx AxAyABl)()()(tttABABrrrdtdABABrvv求导求导CBBrABrAOArBAvA、B两点矢径ArBr2、两点速度关系基点法BAABABdtdvrr点点B

12、相对于相对于A的速度的速度ABBArvOABAvBvAvBArBrABr刚体平面运动时的速度刚体平面运动时的速度关系：关系：任意点（如任意点（如B B点）的速度点）的速度等于基点（如等于基点（如A A点）速度点）速度与绕基点的转动速度的与绕基点的转动速度的矢量和。矢量和。BAABvvv两点间的速度关系两点间的速度关系3 3、两点间速度关系、两点间速度关系速度投影定理速度投影定理由于ABBArv垂直于AB连线所以BAv在AB上的投影等于零。OABAvBvAvBArBrABrcoscosAvvB称为速度投影定理速度投影定理两点的速度在两点连线上两点的速度在两点连线上的投影相等。的投影相等。4 4、

13、两点间速度关系、两点间速度关系速度瞬心速度瞬心在刚体平面运动时，垂直于基点A速度矢量vA的直线上必存在一点C，有瞬时速度vC=0。CAvAAvC0vvvCAACAACCAvrv取AACvr；AACvr可知C点必存在。C点称为速度瞬心速度瞬心速度瞬心的特点：AAvCBvB 在每一个瞬时，平面运动刚体绕速度瞬心做定轴转动。 在不同的瞬时，瞬心位置C不同。应用：当平面运动刚体上两点平面运动刚体上两点速度方向已知速度方向已知时，通过几何方法确定速度瞬心，则刚体上任意点速度方向已知。求刚体转动角速度：CAAlv确定刚体上两点间的速度关系：CAACBBlvlv速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬

14、心速度瞬心速度瞬心刚体瞬时平动刚体瞬时平动一般平面运动的实质：一般平面运动的实质： 绕不同的瞬轴转动，瞬轴可能在有绕不同的瞬轴转动，瞬轴可能在有限距离处，也可能在无穷远处；限距离处，也可能在无穷远处；p圆盘纯滚动速度分布圆盘纯滚动速度分布瞬心轨迹瞬心轨迹oB1vA确定图示机构中圆盘确定图示机构中圆盘O、直杆、直杆AB的的速度瞬心速度瞬心1pAvBvABpABoBv1pA1瞬时平动瞬时平动当A点运动到垂直直径位置时vvA2方向水平vB方向水平，AB杆的速度瞬心在无穷远处，AB杆做瞬时平动瞬时平动此时，AB=0；vB=vAAvBv确定图示位置机构中确定图示位置机构中AC、BC的速度瞬心。的速度瞬心

15、。BvBCpBCAvACpAC030COB。60A。60ocCv确定AB杆B点的速度方向AvABABpoABCCvBvBvAOBDC试确定试确定BD杆上杆上D点点的速度方向的速度方向CvBCpBCDv例：曲柄滑块机构，曲柄OA做定轴转动，连杆AB做平面运动，已知=t，求滑块B的速度vBOABlR解：OA 做定轴转动，A点速度vA方向如图，大小RvAB点速度方向如图，大小未知，根据速度投影定理OABlRAvBvcos)2cos(BAvvcos)sin(ABvv正弦定理sinsinRl确定角和的关系ABABBAvv速度瞬心法：A、B两点速度方向已知，由几何法确定AB杆的速度瞬心p。由正弦定理)si

16、n()2sin(Bplcos)sin(lBp)2sin()2sin(AplcoscoslAp ApvBpvBAcos)sin( RvBsinsinRlOABlRAvBvp22AB基点法：BAABvvvOABlRAvBvAvBAv)2sin()sin()2sin(BABAvvv正弦定理cos)sin( RvBBABAlRvcoscoscoscoslRBAsinsinRl例：直杆AB的A端以匀速v0沿半径为R的半圆弧轨道运动，而杆身始终保持与轨道右尖角接触。问： AB做什么运动？求： AB的角速度AB 。Rv0ACB解：根据约束条件， vA= v0的方向与过A点的半径垂直。 vc的方向沿AB杆，大

17、小未知。取C为基点，用基点法ACvvvCA大小方向0vv0ACBR2ACv?2cos2ABR？vcvc2cos)22sin(2cos200vvRvABACRvAB20方向：逆时针瞬心法：由于vA、 vC方向已知，引线Ap、Cp确定AB杆的瞬心p。v0ACBRvc2p于是RRACAp22cos2cos22cosABApv0RvAB20方向如图方向如图AB槽内滑动。可在圆弧所示，滑块例：曲柄连杆机构如图B杆的角速度。的速度和试求：该瞬时滑块。点的法线夹角与槽在，且，时，曲柄角速度为在图示位置。圆弧半径已知：ABBBABABOArRrlABrOA30602,32,1ORBOA1ORBOA解：用速度合

18、成法（基点法）求解。取A 为基点，B 点的速度为BAABvvvAv相垂直。方向与式中：OArvABv点的切线，大小未知。方位沿圆弧在 BBvBAvvBA方向与AB杆垂直，大小未知BAABvvv方向方向大小大小？r？相垂直，大小未知。方位与连杆 ABBAvBv作速度平行四边形，如图，得：方向如图）(230sinsinrrvvABrrvvABA330tantanAvBAABBAv2323rrlvABBAAB杆的角速度所以，Av2.3.4.2.3.4.平面图形上两点的加速度关系平面图形上两点的加速度关系 求求一一阶阶导导数数对对t）ABABdtddtddtdrvv(dtddtdABABABrraaA

19、BABrvv两点间速度关系BAABABvraaBAABABvraaABtBAraB相对基点A的切向加速度)ABrvaBAnBA（B相对基点A的法向加速度ABAaBArnBAatBAaBAaBaAa注意：注意：nBnBAtBtBAaaaa2ABaABanBAtBAABnBAatBAa加速度的计算例：半径为R的匀质圆盘在水平面上做纯滚动，已知某瞬时圆心速度vO ，加速度aO 。求边缘M1， M2， M3， M4点的加速度。OaOvO1M2M3M4M解：因为O点速度、加速度已知，取O为基点。先确定圆盘的角速度和角加速度。OaOvO1M2M3M4M圆盘做纯滚动，M1为速度瞬心011OMOMvvv1OM

20、rRvO； 方向：顺时针大小：OOMvr1角速度角加速度OOaRdtdvRdtd111OMvtMOnMOOaaaaM各点加速度1M2M3M4MOOaO1M2M3M4MOaOaOaOatO1MatO2MatO3MatO4Ma各点相对O点切向加速度OtMOaRa方向如图nO1ManO2ManO3ManO4Ma各点相对O点法向加速度RvRaOnMO22方向如图各点加速度合成如图OaO1M2M3M4MOaOaOaOatO1MatO2MatO3MatO4ManO1ManO2ManO3ManO4Ma1Ma2Ma3Ma4Ma特别注意M1 点的加速度2211RRvaaOnOMMM3 点的切向加速度OtMaa2

21、3顺时针）角加速度逆时针）杆的角速度平行。与。在图示位置时，已知：(4,(640,60,202sradsradaABCDABcmACcmCDcmAB平面机构如图所示。：例2点的加速度。试求：该瞬时 ECDEBA杆定轴转动解： AB方向如图sm2 . 162 . 0ABvB方向如图222sm2 . 762 . 0ABanB方向如图2sm8 . 042 . 0ABatBBvtBaCDEBAnBa1.1.速度分析速度分析在图示位置，在图示位置，D D 点速度方位点速度方位水平。可知水平。可知BED BED 板瞬时平动板瞬时平动smvvBD2 . 10的角速度BEDCDEBABvDv加速度分析. 2在CD杆作定轴转动可知，D点的加速度应有切向