高三数学大一轮复习9.2两条直线的位置关系教案理新人教A版

1、§9.2两条直线的位置关系2014髙考会这样考】1.考査两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到 直线的距离公式的应用.【复习备考要这样做】1对于两条直线的位垃关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注 意平行、垂直时直线方程系数的关系：2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距 离、两条平行线之间的距离.基础知识自主学习I要点梳理I1. 两条直线平行与垂直的判泄(1) 两条直线平行对于两条不重合的直线厶、厶，其斜率分別为匕、良，则有h Im.特別地，当直 线厶、厶的斜率都不存在时，厶与厶平行.(2) 两条直线垂直如果两条直线, IZ斜率存在，设为厶，kz,则厶

2、丄*k匕=一1,当一条直线斜率为 零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2. 两直线相交交点：直线:凡+5y+G = 0和IZi A+5y÷G = 0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交Q方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解:平行O方程组无解：重合O方程组有无数个解.3. 三种距誇公式点？Ice yj、Bg必)间的距离:AB = tj xz-yty点F(m %)到直线厶Ax+By+C= 0的距离:寸才+厅7+?(3) 两平行直线Lz Ax+By+G=O与IzZAX+By+G=Q (GHG)间的距离为d=登陆 WWW免费聆听名师教你解题难点正本疑点淸源1. 两条直线平行、垂直

3、的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率.当直线无斜率 时，要单独考虑.2. 与直线Av+5y+r=0( + 5=0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为曲+助+加=0：垂直的直线方程设为BX-Ay+n=Q.I基础自测I1. 直线必+3y+*0与直线2-3y+4 = 0的交点在y轴上，则Q的值为答案一 4解析因为两直线的交点在y轴上，所以点(,寻在第一条直线上，所以*一4.2. 若直线-2y+5=0与直线2.v÷zy-6=0互相垂直，则实数m=.答案1解析直线jv-2y÷5=与直线2卄砂一6=0互相垂直，53. 已知直线与厶：-÷rl = 0

4、平行，且厶与厶的距离是¢,则直线厶的方程为答案 x+ y- I = O 或 x+ y 3 = 0解析设厶的方程为x+y+c=0,则总-=£.°. c+1 =2,即 C=I 或 c=3.4. 过点(1, 0)且与直线-2y-2=0平行的直线方程是()A. -r-2y-1 = 0B-y2y+l=0C. 2x+ y-2=0D-r+2y-1=0答案A解析所求直线与直线-v-2y-2=0平行，.所求直线的斜率为&=排除C、D.又 直线过点(1,0),排除B,故选A.5. 若经过点(3, a)、(-2, 0)的直线与经过点(3, 4)且斜率为*的直线垂直，则a的值为)

5、5C2A-2B二 O答案DC. 10D. -10解析&一 O题型分类深度剖析题型一两条直线的平行与垂直【例1】 已知直线厶：ax+2y+6=O和直线厶：a÷ (a-l)y+-l=O.(1) 试判断厶与Z是否平行：(2) Ii丄厶时，求a的值.思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为O或斜率不存在的情形.解(1)方法一 当占=1时，Ju A+2y+6=0,: X=Q,厶不平行于厶；当 a=0 时，Ji： y= 3,IZX X-y1 = 0,厶不平行于厶：当aHl且dHO时，两直线可化为a1: y=-V3> IZt y=x (a÷l) >21

6、 aa _ 1厶厶< 2 l_a'解得 &=_1,fc-3-a+1,综上可知，a=-l时，厶厶，否则厶与厶不平行.方法二 由 A-A=Q9 得 a(a-l) 1X2 = 0,由止G-JxGHO,得 a(J 1) 一1 X6H0,Ia a-1-l×2 = 0厶厶Q'Ia al -1 × 60,a" a2=0t0、 . »=一1,a al 6t故当a=-l时，U/ Izy否则厶与Z不平行(2)方法一 当 a=l 时，厶：.+2y+6=0,厶：x=0,厶与厶不垂直，故a=l不成立；当a=0时，Ju y= 3, IZX -yl=Of

7、厶不垂直于厶：当aHl且aH0时，a1: y=O-V 3» IZt y=-x (a÷l)»89方法二 由 +5z=0 得 a+2(a-l) =Ona=.探究提髙(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也 要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意的系数不能同时为零这一隐含条件.(2) 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.变式训练1己知两直线厶：ZnAr+8y+刀=0和厶：2x+my-1 = 0.试确怎Z?、力的值，使： (Dz与厶相交于点P伽,-1)；厶厶；(3) 厶丄厶，且厶在y轴上的截距为一1加一

8、8+/2=0解(1)由题意得)，解得加=1, n=7.2mmI=Q(2)当也=0时，显然厶不平行于厶：当 zHO 时，由F=-H ，2 m 1m巾一8X2 = 0,e= 4, < 或8×-1 n z0tn-2,得n2.M= _4即 z=4, n-2 时或 z=-4, n2 时，1JIz当且仅当m2+8m=0,即m=0时，厶丄厶又一£=一1, n=8.即m=0, c=8时，Z丄厶，且厶在y轴上的截距为一 1题型二两条直线的交点问题m 2求经过直线厶：3卄2y-l=0和厶：5x+2y+l= 0的交点，且垂直于直线厶：3- 5y+6=0的直线2的方程.思维启迪：可先求出厶与

9、厶的交点，再用点斜式：也可利用直线系方程求解.解方法一先解方程组、3-÷2y-1=0.5x+2y+l=0得厶、厶的交点坐标为(1,2),35再由湎斜率詳出1的斜率为一务于是由宜线的点斜式方程求出2：5y2=(f+1) I 即 5-v+3y-1 = 0.方法二 由于丄厶,故2是直线系5x+3y+C=0中的一条,而2过厶、厶的交点(一 1, 2), 故 5X ( l)+3X2+*0,由此求岀 C=-I,故1的方程为5.÷3y-1 = 0.方法三 由于1过厶、厶的交点，故1是直线系3+2y-l÷ A (5x+2y÷l)=0中的一 条，将其整理，得(3+5l)x

10、+(2+2 人)y+(-l+久)=0.其斜率_l4=4,解得Zl=右代入直线系方程即得1的方程为5x+3y-l=0.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1) 与直线As+By+C= Q平行的直线系方程是Ar+5y+=0 GR且aCt):(2) 与直线Av+5y+=0垂直的直线系方程是BX-Ayin GR):(3) 过直线厶：儿x+3y+G=0与IZt +5y+G=0的交点的直线系方程为Aix+B-.y + G+ 人(4x+Ey+G) =0 (4R),但不包括 lz.变武训练2如图，设一直线过点(一 1,1),它被两平行直线厶：X+ 2卩一1 = 0,厶：x+2y

11、-3 = 0所截的线段的中点在直线厶：-y 1=0 ±,求其方程.解与厶、厶平行且距离相等的直线方程为÷2y-2=0.设所求直线方程为Cr+2y-2)+ 4 (X y-1)=0,即(1+ 4)jH-(2- )y-2- A=O.又直线过水一 1,1),(1+ 人)(一1) + (2 久) 1一2 久=0.解得人=一扌所求直线方程为2x+7y-5=0.题型三距离公式的应用【例 3】LL知三条直线：J： 2丫一y+a=0 (a>0) ： IZt 4x+2y+l=0:厶：x+y1 = 0.且 厶与厶的距离是学(1) 求a的值；(2) 能否找到一点P,使尸同时满足下列三个条件：

12、 点尸在第一象限； 点尸到厶的距离是点尸到厶的距离的扌： 点尸到的距离与点尸到厶的距离之比是住：5.若能，求点尸的坐标：若不能，说明理由.思维启迪：(1)由厶与厶的距离构建方程求a： (2)假设存在点只 并设岀其坐标，根据条件建立方程求解并作出判断.解 T 2讥 4x2y+2a=0 (a>0), IZt 4-2y-1 = 0».两条平行线与厶间的距离为d=- f由已知可得彎=霁又Q°'可解得I（2）设点F的坐标为（M y）,由条件，可知x>0, y>0.由条件和，可得 2w-y+3 丨4*一2卩一1 5- -452字3 =花5*+y-lf42-y+

13、3 = 4-2y-l ,化简得、O亠Q _ I丄Il.2t-y+3 = x+ yr 1! > 于是可得，4i-r+y-1| = 4-v2yIl , 也就是 4 C+y-l)=4-2y-b 或 4 Gr+y1) = 4x+2y÷l, 解得 7=*，或 8x+2y-5=0.当 尸扌时，代入方程2jv-y+3=>r÷y-l ,2解得X= 3<O或X- 3<0*均舍去.0*+2y-5=O.2xy+3 = -v÷y-1化简得）8÷2y-5=02y+4=0或）8x+2y-5=03-r=-2解得A=-<o37/7=1831即存在满足题设条

14、件的点只其坐标为（舍去）探究提高（D在应用两条直线间的距离公式时.要注意两直线方程中払y的系数必须 相同.（2）第（2）问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略.变式训练3已知月（4, 一 3）, 5（2, 一 1）和直线_Z： 4.+3y-2=0,在坐标平而内求一点P、使PA PB,且点尸到直线2的距离为2.解 设点尸的坐标为（a, b）,.（4, -3）, 5（2, 一 1）,.线段曲的中点"的坐标为（3, -2）,.线段初的垂直平分线方程为y+2=x 3,即 -y-5=0.点尸（a, Q在上述直线上，.a 5=0.又点尸（a,砂到直线去4x+3y2=0的距离为2,4a+

15、3b-2:=2,即 4a+3b2=±10,r 27a=lI尸联立可W r或C6=48.所求点P的坐标为（1, -4）或俘,-月.思想与方法系列17对称变换思想的应用典例：（12分）光线沿直线: .v-2,r+5=0射入，遇直线厶3-2y+7=0后反射，求反射 光线所在的直线方程.审题视角（1）入射光线所在直线与反射光线所在直线关于对称.（2）对称点的连线被对称轴垂直平分.规范解答解方法一由、X2y+5=0,.3.-2y+7=0,310反射点的坐标为（-1,2）2分又取直线-2y÷5 = 0上一点尸（一5,0）,设F关于直线2的对称点Pg），由M 丄/可知，hr -V0+ 5

16、.4 分而PP的中点0的坐标为（今）,Q点在上，3二7上一2 晋+7=0. 6分8分O 二 2J a+53*I 3I7 -Yb 5 B>÷7 = 0.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29-2y+33 = 0. 12分 方法二 设直线,v-2y+5=0上任意一点尸（ %）关于直线/的对称点为卩 S卩）, 则= 一彳，4分XL XO又”的中点申苧，守）在止.3X宁一2X宁+7=0, 6 分y+幷÷7=0.12可得尸点的坐标为Ab-5x+12y-4213yb=12x+5y+2813,10 分代入方程-r-2y+5 = 0中，化简得29.2y+33=0,所

17、求反射光线所在的直线方程为29.-2y÷33=0. 12分温馨提醒（1）综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键.（2） 构建方程解方程组是本题的又一重要方法.（3）坐标转移法是对称变换中常用的方法之一. （4）本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问 题的突破口.思想方法感悟提高方法与技巧1. 两直线的位宜关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线厶、Iz. Mgk、=也 厶丄上=一1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线 的斜率一定要特别注意.2. 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法

18、. 失误与防范1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率， 可根据判立泄理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.2. 在运用两平行直线间的距禽公式/= :时,一定要注意将两方程中的弘y系数化 为分别相等.练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟,满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 直线/过点(-1,2)且与直线2-3y÷4=0垂直，则的方程是()A. 3x+2yl = 0B. 3x+2y+7=0C. 2-3y+5 = 0D. 2x3y+8=0答案A33解析 由题意知，直线1的斜率为一刁 因此直线1的方程为y-2 =(x+l),即3x

19、 ÷2y-l = 0.2. (2012 浙江)设 aR,则 “a=l” 是"直线厶：ax+2y 1 = 0 与直线厶：÷ (a+l)y +4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 若直线与厶平行，贝Ja(a+l) 2X1 = 0,即 a=2 或 a=l,所以“a=l”是'直线厶与直线厶平行”的充分不必要条件.3. 从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直 线方程为()A. x+2y4 = 0B. 2x+y1=0C. x+6y16 = 0D. 6x

20、+ *8 = 0答案A解析 由直线与向量a=(8,4)平行知：过点3)的直线的斜率Jc=*,所以直线的方程 为y-3=*(-2),其与y轴的交点坐标为(0,2),又点3)关于卩轴的对称点为(一 2, 3),所以反射光线过点(-2, 3)与(0,2),由两点式知A正确.4. 已知直线过点A3, 4)且与点A(-2, 2), 5(4, 一2)等距离，则直线的方程为()A. 2x+3y-18=0B. 2-y-2=0C. 3-2y+18=0 或 x+2y+2=0D 2x+3y-18=0 或 2-y-2=Q答案D解析 设所求直线方程为y 4=Q-3),即 k-y÷4-3=0,L _IA. Fl

21、 2&2+4 3&4A+2+4-3由已知#i÷I=i÷I=*2.*.k=2 或 A=-.所求直线1的方程为2.v-y-2=0或2x+3y-18=0.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 若不同两点 A Q的坐标分别为(a, b), (3 53 a),则线段加的垂直平分线/的斜率为答案一 13A解析 由题可知&=y ；. j=b又k曲=一»= .6. 若直线a-2y+2=0与直线x+ (a-3)y÷l=0平行，则实数a的值为.答案1解析 由两直线平行的条件得a(a 3)= 2,解得a=l或2,经检验，a=2时两直线 重合，所以两直

22、线平行时，实数曰的值为1.7. 若直线加被两平行线: A-y+1=0与厶：-y÷3=0所截得的线段的长为22,则加 的倾斜角可以是15。30。45。60。75。其中正确答案的序号是.答案®解析 两直线-y+l=0与.-y+3=0之间的距离为爲-=5,又动直线厶与IZ所截得的线段长为22,故动直线与两直线的夹角应为30° ,因此只有®适合.三、解答题（共22分）8. （10分）求过直线: -v-2y+3=0与直线厶：2.÷3y-8=0的交点，且到点A0, 4）的距离为2的直线方程.由 $-2卄3=0,2w+3y-8=0,-Y=L 解得仁20厶的交

23、点为（1,2）.设所求直线方程为y-2=R（x 1） 即 k-y÷2-A=O,VP（Ot 4）到直线的距离为2,°2=,解得：&=0 或1+A3直线方程为y=2或4-3y+2=0.9. （12分）已知两直线厶：-6y+4=0, IZZ （a-l）x+y÷Z>=O,求分别满足下列条件的a, E的值.（1）直线厶过点（一3, 1）,并且直线厶与厶垂直：（2）直线厶与直线厶平行，并且坐标原点到厶，厶的距离相等.解 （I）T 厶丄上，."（a l） + （-b） 1=0,即 a-ab=Q.又点（一3, 1）在厶上，: 3a+b+4=0.由得a=2,

24、 b=2.(2) TZ厶a+Za 1)=0, :b=,1 a故厶和厶的方程可分别表示为：4 a1a(a 1) x+y+=0> (& l)x+y+ =0,a1 a又原点到厶与厶的距离相等2.*a=2t b=-2 或 a=亍 b=2.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）一、选择题（每小题5分，共15分）1.设心b、C分别是磁中Z 乂 ZB、ZQ所对边的边长，则直线-YSin A+ayc=0与Zuysin 5÷sin C=O的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案C解析由 = b 得 bsin Aasin B=Q.Sln A SIn D两直线垂

25、直.2.()B. 6D 25如图，已知J(4,0).万(0,4),从点P(2, 0)射出的光线经直线的反 射后再射到直线防上，最后经直线血反射后又回到F点，则光线所经过的路程是A. 2IC. 33答案A解析 由题意知点P关于直线M的对称点为2?(4, 2),关于y轴的对称 点为7(-2, 0),则光线所经过的路程EtfV的长为CD =2i.3. 过点月(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A. r+2y-5=0B 2-4-y4=0C. r+3y-7 = 0D. 3-÷y5 = 0答案A解析所求直线与直线创垂直，屁=2,°所求直线方程为y2=1),即-÷2y-5 = 0.二、填空题(每小题5分，共15分)4. 已知 0K4,直线 J1: A-Y-2y2A,÷8=0 和直线 IZt 2x+ Iy-4Ap4=0 与两坐标轴|羽成一个四边形，则使