高三数学解三角形一对一讲义

1、XX教冇让每个孩子更优秀！XX教育学科教师辅导讲义组长签字:学员编号：学 段：高三课时数：3第次课学员姓名：科目：数学学科教師：张老师班主任：课程日期及时段年月日时分一一时分课程主题解三角形课程目标熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形重/难点灵活解斜三角形易错点简化计算及应用教学内容一、导入目录1、必备基础知识2、不同类型典型例题及应用二、课前自主学习梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理三、知识梳理+经典例题知识点一：三角形中各元素间的关系K 在直角 AABC 中，C=90° , AB=C, AC = b, BC=ao(1) 三边之间的关系：a2+b2=c2o (勾股定理)

2、(2) 锐角之间的关系：A+B=90o ;(3) 边角之间的关系：(锐角三角函数定义)abaSinA = COSB= C , COSA = Si nB= C , tanA= b o2、斜三角形中各元素间的关系：在ZABC中，A、B、C为其内角，a、b、C分别表示A、B、C的对边。(1) 三角形内角和：A+B+C=o(2) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。丄=丄=丄=2RSinA SinB SinC (R为外接圆半径)(3) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍Qa2 = b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2

3、cacosB;c2 = a2+b2-2abcosC知识点二：三角形的面积公式丄 丄 丄(1 )孔=2 aha= 2 bhb= 2 chc (ha、hb、he 分别表示 a、b、C 上的高)；£ £ £(2) 孔=2 absinC = 2 bcsinA= 2 acsinB;(3) 三角形面积=abc4R(其中R是三角形外接圆半径)(4) S= p (p-a) (p-b) (P-C)=(1/4) (a+b+c) (a+b-c) (a+cb) (b+ca) (其中(p=(a+b+c) /2)知识点三：解三角形由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少

4、有一个是边) 1XX教育，让每个孩子更优秀！求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、 中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型：(1) 两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(2) 两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.知识点四：三角形的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特 点。(1) 角的变换因为在ZkABC 中,A+B+C= ,所以 Sin(A+B

5、)=sinC; COS(A+B)二一cosC; tan(A+B) =taCo.A+BCA+B . CSin= COS,cos= Sin 22 2 2 -(2) 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.知识点五：求解三角形应用题的一般步骤(1) 分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3) 求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。经典例题：题型1：正、余弦定理例 1.(1)在 ABC 中，已知 A=32.0° , B=8L8°, =42.9cm,

6、解三角形；(2)在 WC中，已知o=20cm, b=28cm,后砒，解三角形(角度精确到1°,边长精确 到 ICm) o解：(1)根据三角形内角和定理，C=18Oo-(A+B) =180°-(32.0°+81.8°) =66.2° ,I GSinB 42.9sin81.80 OA Iz、b=-_ =FT80. (cm)根据正弦定理，SnM sin32.0o；sinC 42.9sin66.20 U、C= =p74. 1 (cm).根据正弦定理，SmA sin32.0o” bsinA 28sin40 八(、八八八(2)根据正弦定理，SmB=

7、71; = 20 08"9因为 0° < B < 180°,所以 B640 ,或 B1160.当 B64o 时， C=180,-(A+B)180o-(40°+64o)=76o30(cm)._ sin C _ 20Sin 7 6°一 SinA 一 sin4Oo当60时，asinC 20sin24"C=18Oo-(A+B)18Oo-(4Oo÷116o)=24o C=IiKA= sin40 3点评：应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解 的情形；(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算

8、器。题型2：三角形面积1XX教疗，让每个孩子更优秀!Sin /4 + CoS /4 = ' 2例2在ABC中，2 , AC = 2 9 AB = 3 9求tanA的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。. Sin A + cos A = Vcos(A 45°) = -r-,2. COS(A-45) = *又0° < A<180 A-45 =60 ,A = 105 ./.tan = tan(45 + 60 )= '十匹=-2->3l-3SinA = SinIO50 =Sin(45' +6(T) = Sin 45&quo

9、t; cos 60' + cos 450 sin 60: = - +4SWFyCX 亦讪专x2x3xV( +拆)解法二：由sin A +cos 计算它的对偶关系式sin A+ cos A的值。VSin+cos = T/. (SinA+ cos A)2 =-2/.2sinAcosA = -2. 0 < A < 180. Sin A > O,cos A < 0. 另解(sin 24 =丄)23. (SinA COSA) = 1-2SinACOSA =. sin -cos A =2+得4 CoSA =一得-4从而以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面

10、积公式等基本知识，着重数学考查运算 能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3.在AABC中，a、b、C分别是ZA、ZB、ZC的对边长，已知a、b、C成等比数列，Z? SinB且a2c2=ac-be,求ZA的大小及 C 的值。分析：因给出的是a、b、C之间的等量关系，要求ZA,需找ZA与三边的关系，故可用bbsinB余弦定理。由b2=ac可变形为C =a,再用正弦定理可求C 的值。解法一：Ta、b、C成等比数列,b2=aco 又 a2c2-ac be, b2+c2 a2zzbcob2 +c2 -Cr be 1在ZABC中，

11、由余弦定理得：COSA二盂=2bc = 2 9：.ZA60o 0bsin A在ZABC中，由正弦定理得SinB二U-, Vb2ac,ZA二60° ,方Sin B _b2 sin 60oy：.CM=Sin60° = 2 O解法二：在ZABC中，1XX教育让每个孩子更优秀!TT由面积公式得2 bcsi nA= 2 acsinB。Vb2=ac, ZA=60o , bcsinA=b2sinBobsinBy3 C s i nA= 2 o评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4在AABC中，若2cosB

12、sinA = sinC,则ZABC的形状一定是（）A 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D 等边三角形答案:解析:2sinAcosB = sinC =Sin (A+B)二SinACOSB+cosAsinB/.sin(A-B) =0, AA = B另解:角化边点评:方向,题型5：通畅解题途径Q三角形中求值问题例5.cos A÷2CoSB+ c A3C的三个内角为4、B. C9求当A为何值时，2取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C= ,得罟二今 一£,所以有COS罟二SirB+CACOSA+2COS- =COSA+2s i n 二 12Si+ 2sin-2(

13、Sin扌 一 *)2+ |;本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形1XX教育，让每个孩子更优秀！A 1B+C3当s'n2 = 2,即A=S 时，COSA+2COS刁-取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三 角函数的性质求得结果。题型6：正余弦定理的实际应用例6.（2009辽宁卷文，理）如图，A, B, C, D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75° , 30° , 于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，,

14、AC=O. IkmO试探究图中B, D间距离与另外 哪两点间距离相等，然后求B, D的距离（计算结果精确到0.01 km, 1.4¼,2.449）解：在AABC 中，ZDAC=30o , ZADC=60o -ZDAC=30,所以 CD=AC=O. 1 又ZBCD=I80° 一60° -60° =60° ,故CB是ZCAD底边AD的中垂线，所以BD=BA,在ZABC中，ABACACSin60 32 +JSinZBCA SinZABC 艮卩 AB二 Sinl5°20'丄&* = o.3环因此，BD= 20故B, D的距离约

15、为0. 33kmo点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换 要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本 知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1. 解斜三角形的常规思维方法是：(1) 已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C = TT求C,由正弦定理求a、b;(2) 已知两边和夹角(如a、b、C),应用余弦定理求C边；再应用正弦定理先求较短 边所对的角，然后利用A+B+C = ,求另一角；(3) 已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C = 口求C,再由正弦定理或余弦

16、定理求C边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = ,求角C。2. 三角学中的射影定理：在AABC中，b = a-cosC + c cosAf .3. 两内角与其正弦值：在AABC中，AvBosinAvsinB,4. 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解”。五、归纳总结1、正玄定理2、余弦定理1XX教育，让每个孩子更优秀！XX教育，让每个孩子更优秀!3、解三角形4、求解三角形面积认真思考下列问,题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“2、我还有哪些没有解决的困惑？

17、在知识点标题上画“X”六、课后作业1. (2010上海文数18.)若'ABC的三个内角满足Sini4:SinB:SinC = 5:11:13 ,则ABC()(A) 一定是锐角三角形.(B) 一定是直角三角形(C) 一定是钝角三角形(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2. (2010天津理数7)在ZiABC中，内角A, B, C的对边分别是a,b,c,若1SinC = 2>3 sin B(A) 30(B) 60°(C) 120°(D) 150°3. (2010 湖北理数)3在ABC 中,a=15, b=10, A=60o ,则 COSB =22

18、6B 丁 C4. (2010广东理数)门.已知a,b,c分别是ZABC的三个内角A, B, C所对的边，若a二1,b二 羽,A+C=2B,则 S i nC= AC5 (2009湖南卷文)在锐角ZBC中，BC = 1,B = 2A,则而的值等于, AC的取值范围为.（2009全国卷I理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为"3、c ,已知Cr-Cl=2bLSinACOSC = 3cos AsinC 求7. 在AABC中，已知A、B、C成等差数列，求IanT+tanf+la*4tanf的值。8. （2009四川卷文）在AABC中，4、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为b、Cf（I）求 A + B 的值；（Ii）若 a-b41-9 求 g、b、C 的值。9. （2010陕西文数17）（本小题满分12分）在ZABC中，已知B二45° ,D是BC边上的一点， AD=IO, AC=14, DC=6,求 AB 的长.10. （2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC中，a、b、C分别为内角人3、C的对边, 且 2a Sin