北师大版高中数学选修1-2阶段质量检测(三)推理与证明

1、阶段质量检测（三）推理与证明（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1 .鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木 材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.该 过程体现了（）A.归纳推理B.类比推理C.没有推理D.演绎推理答案：B2 .数列35,9,173,的一个通项公式是（）A. a=2nB.斯=2"+1C.斯=2”- 1D. %=2/1答案:B3 .在ZkABC 中，sin Asin C<cos Acos C

2、,则 AABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：选 C 由 sin Asin C<cosAcos C,可得cos（A+C）>0,即cos5<0,所以5为钝角.4.下面几种推理是合情推理的是（）由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180。归纳出所有三角形的内角和 都是180°；由菱形的性质，推出正方形的性质；三角形内角和是180。，四边形内角和是360。，五边形内角和是540。，由此得凸多边 形内角和是（- 2）180。.A. B. ®®C.D.解析：选C 合情推理分为类

3、比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理， 是演绎推理.5 .用反证法证明：“若整系数一元二次方程。/+床+c=omwo）有有理数根，那么叫 dc中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A.假设b, c都是偶数B.假设。，b, c都不是偶数c.假设 bt c至少有一个偶数D.假设叫 bf c至多有一个偶数解析：选B “叫b,c中至少有一个偶数”的否定应为“明力，c中至多有。个偶数”， 即“叫 b, c都不是偶数”.6 .已知/(幻=尸+工，a,8WR,且+。>0,则/(。)+/(力的值一定()A.大于零B.等于零C.小于零D,正负都有可能解析：选A 因f(x)=x3+x是增函数且是奇函

4、数，由。+力>0, ,.a>bt：,f(a)+f(b)>0.7 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中 有2位优秀，2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，贝)A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还 是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1住优秀，1住良好，甲、丁必有1住优秀，1住良好.因 此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己

5、的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩, 因此选D.8 .命题“对于任意角 9, cos% sin% = cos 26”的证明 wcos4 sin4 = (cos2 sin2)(cos2+sin2)=cos2sin2=cos 10n 过程应用 了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法解析：选B 从证明的过程来看，符合综合法的证明特点.9 .观察下列各等式：,21+ 6 =2, . - 4+* - 4=2, 7 7 J11 4=2, J"/十-z24 6434 3474 14104 24=2,依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()fl 8/IA/

6、r=4+(8-n)-4=r + 1 ( + D+5( + 1)4 +( + l)4一fl4 (/i+4)4n + 1h+5D，(/ + 1)-4+(h+5)-4=解析：选A 观察分子中2+6=5+3=7+1 = 10+(2)=8.10 .用减函数的定义证明函数/(刈=一工3在R上是减函数的小前提可以是()A.减函数的定义B.对R上的任意X1WX2,都有/(X1)壬/次2)C.对R上的任意X1<T2,都有/(Xl)</(X2)D.对R上的任意也。2,都有/(xDRm)解析：选D 小前提可以是“对R上的任意X1<X2,都有/(X1)X2)”或“对R上的任 意不>外，都有於1

7、)的2)”11 .下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0, )>o,函数/(X)满足(X)F=/(XJ)”的 是()A.指数函数B.对数函数C. 一次函数D.余弦函数解析：选A 当函数次幻=M。>0, g#i)时，对任意的x>o, j>o,有次x)p=(/ =f(xy)r即指数函数次刈=炉(。>0, g#1)满足f(x)F=/(盯)，可以检验，B, C, D选项均不 满足要求.12 .六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲，在平行四边形ABCD 中，有4。+3。2=2(4即+4。2),那么在图乙中所示的平行六面体ABCD/iBCNi中，4口 +

8、8历+CA，+。明等于( )A. 2(AB2+AD2+AAi)B. 3(AB2+AD2+AAl)C. 4(AB2+AD2+AA?)D. 4(AB2+AD2)解析：选 C ACl+BDi-VCAl+DBl=(Aq+GH)+(3 0+O 阴)=2(AAi+AC2)+2(BBl+BD2)=AAA+2(AC1+BD2)=4AAi+4AB2+4AD2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线 上)13 .用三段论证明/（x）=x3+xcosx为奇函数的大前提是.答案：若=/（工）满足/（X）=一人*），则y=/（x）为奇函数14 .用反证法证明命题“若。，力是实数，

9、且历- 11=0,则0=力=1”时，应作 的假设是解析：结论“。=力=1"的含义是G=1且8=1,故其否定应为“。工1或8r1” .答案：假设。工1或力W115 .在平面上，若两个正三角形的边长比为1 : 2,则它们的面积比为1 : 4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的枝长比为1 : 2,则它们的体积比为.解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于横长比的立方， 即 1 ： 8.答案：1 ： 816 .如图，在等腰直角三角形43c中，斜边8c=26.过点A作3c的垂线，垂足为 Ai ；过点Ai作AC的垂线，垂足为42;过点A2作AC的垂线，垂足为/h ;，依此

10、类推.设 A4=i , AAi=a2 ,4也=。3 ,，4546=«7 ,则 “7=.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形A3C中，斜边BC=2小,所以A3=AC="1=2, AAi=ai=y2, AiA2=«3=1,，AsA6=ai=aiX法二：求通项：等腰直角三角形A5C中，斜边8c=26，所以A3=AC=0i=2, AAi44江,A；1TA=%+i=sin了%=1半%=2X_1 =丁答案：j三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）17 .（本小题满分10分）已知等差数列“的公差为d,前项和为S”，诙有如下性质

11、: （?，p, q£N+）通项的=%,+（一旭必若 m+=p+q,则。盟+。=即+%；若旭+=20，则 aln+an=2ap；S“，S2nS", S加一S2”构成等差数列.类比上述性质，在等比数列5中，写出相类似的性质.解：在等比数列瓦中,公比为42*0）,前项和为SJ , 0有如下性质："* n9P, «£N+)通项b产bwD若/w+=p+q,则 bwbn=bpbq；若加+=20，则瓦|也=毋;SJ , SV -SJ , S3-Sin1 (S 1 WO)构成等比数列.18 .(本小题满分12分)设数列的的前项和为S，且满足服=2S“(

12、3;N+).求即，。3,。4的值并写出其通项公式；根据的结论用三段论证明数列斯是等比数列.解：由斯= 2-S”，得 01 = 1； 02=3；。3=； «4=|,猜想所=G>-|(WN+).(2)对于数列,若等 =p, p是非零常数,则所是等比数列，大前提ttn因为数列m的通项公式。”=&r,且誓M，卜前提所以通项公式为的数列为是等比数列.结论19 .(本小题满分12分)如图，在四面体A3CD中，CB=CD, AD1BD9 E,尸分别是ABf 3。的中点.求证：(1)直线E尸平面ACO；(2)平面EFCJL平面BCD.证明：(1)因为£,尸分别是A5, 80的

13、中点，所以E尸是ZkABO的中位线，所以E尸A。，又屈F平面AC。，AD 平面AC0,所以直线EF平面ACD.(2)因为 AD«L3。，EF/AD,所以 EFLBD,因为CB=CD, F是BD的中点、,所以CFJL3。，又E产nCF=尸，所以BD工平面EFC.因为BD平面5CO,所以平面EFC，平面BCD.20 .(本小题满分12分)已知/MBC的三边，b, c的倒数成等差数列，试分别用综合 法和分析法证明8为锐角.证明：法一(分析法)：要证明8为锐角，因为8为三角形的内角，则只需证cos8>0.n a2-c2b2又c°s8= 一说一，工只需证明。2+。2一炉>

14、0.，即证。2 +。2炉.9a2c22ac, 只需证明 2nc炉.即 2«c=%（g+c）,只需证明"。+0炉，即证+c成立，在ABC中，最后一个不等式显然成立.2 一力b(a+c)=2aob2( a+ob).C J v02+c2一炉 2acb2；c°sB= / »方亡°，又丁 =。0§1在(0, 7T)上单调递减，A0Bj,即3为锐角.21 .(本小题满分12分)在同一平面内，若P, A, 8三点共线，则对于平面上任意一点。,有OP =入OA 0B 且)+=1.对这个命题证明如下：证明：因为P, A, 3三点共线，所以万="

15、;万，即/一07=m(/一位)，整理得梦=(1m) OA +w/ OB ,因为(1次)+旭=1,所以2+=L请把上述结论和证明过程类比到空间向量.解：类比到空间向量所得结论为：在空间中，若尸，A, B, C四点共面，则对于空间 中任意一点O,有苏 =x/+j而+z/，且x+y+z=l.对这个命题证明如下：证明：因为P, A, B, C四点共面，所以AP =a AB +/ AC ,即8一3=2( OB /)+(左一亩)，整理得苏 =(1 一幺一)/+幺而+左，因为(1 -2)+上+ =1,所以x+z=L22 .(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同 一个常数：

16、® sin213°+cos217°sin 13°cos 17°； sin215c+cos2i50sin 150cos 15°； sin218c+cos2i2。一sin 18°cos 12°；sin2(-18o)+cosW-sin(-18°)cos480；sin2(25°)+cos255°sin(25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解：（1）选择式，计算如下:sW

17、150+cos215fin 15os 15<>=l-fsiii 300=l-=1法一：三角恒等式为 sin2a+cos2(30°a)sin acos(30°-a)=. 4证明如下:sin2a+cos2( 30°«)-sin «cos(30°a)=sin2«+(cos 30°cos a+sin 300sin «)2sin a-(cos 30° cos a+sin 30°sin a)=sin2a4-cos2a+sin acos a+/ii？a一半sin a-cos a|sin2a="in2a+；cos2a=法二