第三章 球面上的坐标系与坐标变换

1、第三章 球面上的坐标系与坐标变换球面三角形的基本公式边的余弦公式 定理：球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。Acbcbacossinsincoscoscos正弦公式定理： 球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。CcBbAasinsinsinsinsinsin球面上的坐标系与坐标变换一、球面坐标系、坐标变换 为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。制图实践中常使用的有地理坐标系（、），球面坐标系（a, z）和球面直角坐标系（x,y）。目前以上三种坐标系在测绘技术上应用最为广泛。三者之间可以进行简单的相互换算。二、坐标变换的一般公式，00，z，

2、如下图，其中K为球面上一点地理坐标为 ，球面极坐标为 。 P是地理坐标系极点，Q是球面极坐标系新极点 。由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换：000coscoscossinsincosz在球面三角形PQA，由边的余弦公式有： 90cos90coscos0z00cos90sin90sin即式中0 、0是球面坐标原点Q的地理坐标000cossincoscossincossinaz)sin(cossinsin0az由第一正余弦公式有90cos90sincossin0az00cos90sin90cos即由正弦公式有azsin90sin)sin(sin0由此得到：000coscoscossinsinco

3、sz0000cossincoscossinsincostga由球面极坐标到地理坐标之间的变换：azzcossincoscossinsin00在球面三角形PKQ，由余弦公式有： zcos90cos90cos0cossin90sin0z即式中0 、0是球面坐标原点Q的地理坐标cossinsincoscoscoscos000zz )sin(cossinsin0az由第一正余弦公式有zcos90sincos90sin00cossin90cos0z即由正弦公式有azsin90sin)sin(sin0由此得到：cossincoscossinsin00zz zztgsincossincoscossincos

4、000由地理坐标到球面直角坐标间的变换： 如图POP1为中央经线，其经度为 ，新极点 Q位于赤道上，其经度为 球面上点A地理坐标为 ， ，过A点作垂直圈QAB与中央经线交于B，令BOx,，BAy则A的球面直角坐标为（x，y） 0900 在球面直角三角形PBA有 xtgctg9090cos00sin90sinsiny 于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为 0sec tgtgx0sincossiny 在球面直角三角形PBA有 yx cos90cos90cos090sintgyctgx 于是得到yxcossinsinxtgytgsec0 在一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标表示球面位置

5、建立平面直角坐标 与 的关系。yx, 当采用横轴或斜轴投影，用地理坐标表示点位时，对投影公式的推导和计算比较麻烦。需建立 与 的关系。利用 与 的关系，最终建立平面直角坐标 与 的关系。 , zyx,yx, z 决定新极Q的地理坐标 、 的方法 00 （1）新极在投影区域的中心点上（斜方位投影） （2）新极在投影区域中部大圆的天顶或极（斜圆柱投影） （3）新极在投影区域中部小圆的天顶或极（斜圆锥投影） 在建立投影方程式时通常采用平面直角坐标系。对于某些投影，为推导公式简便起见，建立极坐标系。一、平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点，过O点做相互垂直的两轴xox与yoy，而建立直

6、角坐标系。二、平面直角坐标系的建立 ,P 设O点为极点， OO为极轴 ，P是坐标系中的一点，则P点极坐标与平面直角坐标之间的关系式：sincosyqx,21fyfx 由直角坐标表示的投影公式为： 由极坐标表示的投影公式为： ,21ff 以极坐标表示的常见的地图投影，纬线一般为同轴圆圆弧，在特殊情况下则为同心圆圆弧，故 、 常常仅为纬度的函数。qsincosyqx对 求偏导数：sincosqxsinxcossinycosx上式中：ddddqq sinqF2GcosqHrGn HFtgsinmnMrHPcossinqqtgrnMrqPcoscossinnPnPmseccosMq直角坐标系的平移和旋转坐标系的平移 如右图，坐标系xOy与坐标系xOy相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向。如图中P点在xOy中