北京市朝阳区六校2020届高三四月联考数学试题

1、20192020学年度高三年级四月份测试题2020.4数学试卷(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)、选择题共10小题，每小题要求的一项。(1)已知命题p：(A) x。R,(C) X0 R,4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目x R , ex1 ,那么命题p的否定为eX0 1(B)eX0 1(D)则 AI B =(B) 1,2)(D) 1,2(2)设集合 A x Z|x2 3x 4 0, B x|ex 2 1

2、(A) 1,0,1,2(C) 1,0,1(3)下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是3(A) f(x) x 2(B) f(x) log1 |x|23(C) f (x) x 3x(D) f (x) sinx11(4)已知 a log 2 , b 10g020.3, c tan, WJ a , b, c的大小关系是3(A) c b a(B) b a c(C) cab(D) b c a(5)为了宣传今年9月即将举办的 第十八届中国西部博览会”(简称 西博会”)，组委会 举办了 西博会”知识有奖问答活动.在活动中，组委会对会议举办地参与活动的15: 65岁市民进行随机抽样，各年龄段人数

3、情况如下：组号分组各组人数各组人数频率分布直力图第1组15,25)10D.0J0 002£0.020r0.010第2组25,35)a典;率机遐1 4 “ 11 a M . I： J1第3组35,45)b l(K-.,第4组45,55)cr第5组55,65dV 152535 怨 55 的根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为(A) 20, 0.15(B) 15, 0.015(C) 20, 0.015(D) 15,0.15(6)已知向量a (2,2J3)，若a b= 16,则b在a上的投影是33344(A)(B) (C) (D)4433(7)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥

4、中最长的棱的长度为(B) 3(D) 2 3(8)已知AABC,则sin A cosB ”是 ABC是直角三角形”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件-25 -(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的帕斯卡三角形”早了 300多年.如图是由杨辉三角”拓展而成的三角形数阵， 记an为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列an的第n项，则am。的值为(A) 50491 1 y 1(B) 5050】。 1I 5】夕10 5 1(C) 5051(D) 5101(10)关于函数f(x) (x2 ax 1)ex,有以下三个结论:函数恒有两

5、个零点，且两个零点之积为1;函数的极值点不可能是1;函数必有最小值.其中正确结论的个数有（A） 0 个（B） 1 个（C） 2 个（D） 3 个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在（X 2）5的二项展开式中，X 3的系数为 .（用数字作答） X（12）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 |z| 5, z N 6,则z的实部 为, 虚部为.（13）设无穷等比数列an的各项为整数，公比为 q,且|q| 1, a1 a3 2a2,写出数列4的一个通项公式 .（14）在平面直角坐标系中，已知点A（0,1）, B（1,1）, P为直线AB上的动

6、点，A关于直线OP的对称点记为 Q,则线段BQ的长度的最大值是. 22（15）关于曲线 C:x xy y 4,给出下列三个结论：曲线C关于原点对称，但不关于 x轴、y轴对称；曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不大于 2亚.其中，正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得 0分,其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）1， 八、已知：函数 f (x) cos xsin( x -) - (0) -64'向量 m (73sin x

7、,cos2 x), n.1函数 f(x) sin(2 x )(0,|211、（一cos x,一）,且 0, f（x） m n ； 24，、一，1、| 一）的图象经过点（一，一）26 2请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知，且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为一.2(I)若 0- , H sin1一，求f ()的值;2(n)求函数f(x)在0,2 上的单调递减区间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(17)(本小题14分)体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T (单位： C)平均在36 C: 37 C之间即为正常体温，超过 37.1 C

8、即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1 T 38；高热：38 T 40；超高热(有生命危险)：T 40.某位患者因患肺炎发热，于 12日至26日住院治疗.医生根据病情变化，从 14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午 16:00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用 情况没有使用使用抗生素A”治疗使用抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温(C)38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使 用情况使用抗生素C”治疗没有使用日期

9、20日21日22日23日24日25日26日体温(C)38.438.037.637.136.836.636.3(I)请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值;(n) 在19日23日期间，医生会随机选取 3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊 项目“项目”的检查，记 X为高热体温下做 “项目”检查的天数，试求 X的分布列 与数学期望；(m )抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.(18)(本小题15分)在四锥P ABCD中，平面PAD 平面A

10、BCD .底面ABCD为梯形，ABPCD, AB AD,且AB 1, PA AD DC 2,PD 2收.(I )求证：AB PD ;(n )求二面角P BC D的余弦值；(出)若 M是棱PA的中点，求证：对于棱 BC上任意一点F ,MF与PC都不平行.(19)(本小题14分)22已知椭圆C：与 -yr 1(a b 0)的离心率为-,过椭圆右焦点F的直线l与椭圆a2b22交于A, B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB| 3.(I)求椭圆C的标准方程；(n)当直线l与x轴不垂直时，在 x轴上是否存在一点 P (异于点F),使x轴上任意点到直线PA , PB的距离均相等？若存在，求 P点坐标；若不存

11、在，请说明理由 .(20)(本小题15分)已知函数 f(x) ex ax2(a R).(I )若曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线与x轴平行，求a；(n)已知f(x)在0,1上的最大值不小于 2,求a的取值范围；(出)写出f (x)所有可能的零点个数及相应的a的取值范围.(请直接写出结论)(21)(本小题14分)已知集合 Sn X|X (Xi,X2,L ,4),Xi 0,1, i 1,2,L,n(n 2),对于A (a,a2,L ,an) Sn,B (bi,b2,L ,bn) Sn,定义 A与 B 的差为 A B (|ai bj,|a2 b2|,L,|an 0 |) ； A与 B之间

12、的距离为 d(A,B)=|a b/ + |a2 b2 | L |a00 |.(I)若A B (0,1),试写出所有可能的 A, B;(n) A,B,C S,证明：d(A C,B C) d(A,B)；(出) AB,C S, d(AB),d(A,C),d(B,C)三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.20192020学年度高三年级四月份测试题第一部分（选择题共40分）、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,2020.4选出符合题目要求的一项）(1)(4) A(5)(6)(8)(9) B(10) D二、填空题（共第二部分（非选择题共110分）(11)805小题，每小题5

13、分，共25分）(12) 3, 4(13)n 1 ,an2 (n）（答案不唯一）(14)三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）(15)（16）（本小题13分）解：方案一：选条件因为f(x) cos xsin(x 6) 4cos x(sinxcos cos xsin) 66.3 .121sinxcos x cosx一224-sin 2 x 1cos2 x 441 ,3 .八 1 八 、一(sin 2 x - cos2 x)2 221sin(2 x 2所 以1, 所 以,1f(x) 2sin(2x 6).方案二：选条件因为m (J3sinx,cos2x), n(-

14、cos x,-),24所以f(x)3 .sin2xcos x 1 cos 241 . _x sin(2 x2,1f (x) -sin(2x方案三：选条件T2,1f(x) 2sin(2x 6).f (x) 图象经1(6,2)-sin(2 -26).,1f (x) -sin(2xsinf(),1f(6) 2sin2一一 3_(n)由2k2x 2k, k Z,12分262x k ,k Z 3人, 八，口275令 k 0,得一x ，令 k 1,得x 6363所以函数f (x)在0,2 上的单调递减区间76.13分(17)(本小题14分)解：(I ) 由表可知，该患者共6天的体温不低于39oC ,x ,

15、 1分1o .x 6(39.4 39.7 40.1 39.9 39.2+39.0) 39.55 C4分记平均体温为0,1,2.所以，患者体温不低于 39 C的各天体温平均值为 39.55oC.所 有 可 能5分P(X3 0Cy c Cy 0)-C53110_ 2 _ 1_C3C063P(X 1) -AgC3105P(X 2) CC2 3C5310为:E(X) 01103 610 511分（出）抗生素C'治疗效果最佳可使用理由:X012P11035310抗生素C'使用 抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0°C又回升0.1°C,期间持续降温共计1.2°

16、;C,说明 抗生素C'降温效果最好，故 抗生素C'治抗生素C'平均疗效果最佳. 抗生素B”治疗期间平均体温39.03 °C,方差约为0.0156;体温38 °C ,方差约为0.1067 ,抗生素C'治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故抗生素C'治疗效果最佳.抗生素B”治疗效果最佳可使用理由:（不说使用 抗生素B'治疗才开始持续降温扣 1分）14分自使用 抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用抗生素B”治疗当天共降温 0.7°C,是单日降温效果最好的一天，故佳.14分抗生素B”治疗效果

17、最（开放型问题，答案不唯一，但答 抗生素A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）（18）（本小题14分）解：（D因为平面ABCD 平面PAD,平面ABCDI平面PAD AD,AB 平面 ABCD, AB AD, 3 分所以AB 平面PAD , 4分又因为PD 平面PAD所AB PD(n)因为PA AD 2, PD 2夜，所以PA AD.由(I)得 AB 平面PAD 所以ABPA,D(0,2,0).故AB,AD, AP两两垂直.如图，以A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为建立空间直角坐标系 A xyz,P(0,0,2)B(1,0,0)x,y,z轴,pMC(2,2,0)

18、因为PA平面BCD ,所以平面BCD的一个法向量是uuuuum而 PB (1,0, 2), PC (2,2,2),设平面PBC的一个法向量为m(x, y, z)uuuPB 0, uurPC 0,x 2z 0, 2x 2y 2z0.m (2, 1,1),cos n,m1nlim|1_,610分由题知，二面角P BC D为锐角,面 角 P BC D 的色 6( 出)假设棱uur uurBF BC, 0,1.依 题 意，F (1,2,0),所以uur PC (2,2, 2) .根据假设，有 21证. 15分(19)(本小题14分)解：(I)由题意得：11分BC 上存在点 F12分可 知 M (0,0

19、,1)13分uuurMF (1,214分1 2 ,2 , 而此方程组无解，2 ,MF/PC ,设uuir BC (1,2,0),1)，故假设错误，问题得ac 1a 2,222a b c ,1分解得:a 2,b 6c 1 .所 以 椭圆 的 标 准(II)依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l:x my 1(m 0), A(x1, y1), B(x2, y2).假设存在点P ,设P(x0,0),由题设，x0 1 ,且& Xi , x0 x2.设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,kiyi xi-,k2 上xox2 xo因为 A(xi,y) B(X2,y2)在 x my 1 上,Xim

20、yi1,x2 my2 1 .而x轴上任意点到直线 PA,PB距离均相等等价于 PF平分 APB ”,kik20.则k1k2yixixy2x2xoxy2 x2% xo(yi y2)(xi xo)(x2 xo)2myiy2 (i xo)(yi 2 o (xi xo)(x2 xo)联立2 x4x2 y3my1,消去 x,得：(3m2 4)y2 6my 910,yi y26m23m27yly2923m2 4io则kik2 o18m 6m 6mx024m6mxo当直线4m(3m2mxol的斜率为零时,4)(xi xo)(x2 xo)(3m213分P（4,o）也符合题意.故存在点P（4,o）,使得x轴上任

21、意点4)(xi xo)(x2 xo)'xo4到直线PA, PB距14分（2。）（本小题15分）解：(i)因为 f(x) ex ax2(a R),xf (x) e 2ax. 1 分依题意f (1) e 2a 0,即ec八a . 2 分2e .e当a万时，f (1) - 0,此时切线不与x轴重合，符合题意，因此a . 3分2x(n)由(i)知，f (x) e 2ax,当 a 。时，因为 x 0,1,ex 0, 2ax 0,故 f (x) 0,即 f(x)单增，因此 f(x)maxf (1) e a .依题意，当a 0时，f (x)max=e a e 2,所以a 0符合题意.5分x当 a 0

22、 时， f (x) e 2a ,令 f (x) 0,有x In 2a. 6 分f (x), f (x)变化如下:x(,ln 2a)In2 a(In 2a,)f (x)一0+f (x)极小值Z故f (x)min 2a 2aln2a 2a(1 In 2a).7 分e当1 In 2a 0时，即0 a e时，f (x) 0, f(x)单调递增,2因此 f(x)max f (1) e a .依 题 意 ， 令 e a 2,有0 a e 2 . 8 分当 1 In 2a 0 时，即 a e 时，f (1) e 2a 0, f (0) 1 0, 2故存在唯一x0 (0,1)使f (%) 0. 9 分下:所以

23、 f(x)maxf(x0) ex0此时有 ex0 2ax00 ,即 ex0 2ax0 , f (x) , f(x)变化如x(0,x0)x0(x0,1)f (x)+0一f (x)Z极大值10分ax。2 ex0 与X0 (0,1).11分依题意，令g (x) exxxe2x (0,1),则 g(x)0，g(x)在(0,1)单调递增,所以 g(x) g(1) 2所以f (x)max 2,此时不存在符合题意的a .(,e 2.解法二:综上所述，当a0,1时,f(x),e,e2 , f (x)在0,1上的最大值不小于2,则f(x)在0,1上的最大值小于12分f(x)最大值不小于2,等价于2ax 2在x

24、0,1上有解，显然x2,2,(0,1ex 22 x解,设 g(x)ex 22x(0,1,x x,、xe 2e 4g (x)3x设 h(x)x xxe 2e4 , x (0,1,则 h (x)ex(x 1)h(x)在 (0,1h(x) h(1) 4 e 0,g (x) 0，g(x)在(0,1增,g(x)maxe 2.以10分(,e2.解法三：依题意需ae 2,(H)由(I)知,f (x) ex2ax,12分ea 2时,f,(x)_xxe 2ax eex,设 h(x) exex x0,1, h(x)0,h(x)在0,1h(x) h(1) 0 .所以f (x)0,所以f (x)在0,1单调递增,f (x)max增,e时,(x)(x)f(x) e'ex,x 0,1,h(x)(x)0,0,110分故(x) maxe2即 f (x) 2不符合题11分综 上 所 述， a 的 取 值 范 围 为(,e 2 .12 分2(III)当a 0时，y f(x)有0个零点；当0 ae时，y f(x)有1个零点422当a e-时，y f (x)有2个零点；当a e-时，y f (x)有3个零44点.15分(21)(本小题14分)解：(I) A (0,0), B (0,1);A (0,1), B (0,0