(完整word版)导数知识点归纳和练习

1、一、相关概念1. 导数的概念：yf （x0x） f （x0）f（ x0） =lim = lim。x0 x x0x注意：（ 1） 函数 f（ x）在点x0处可导，是指x 0时， y 有极限。如果y 不存在极限，xx就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（ 2） x是自变量x 在 x0处的改变量，x 0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数 y=f（ x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（ x0， f（ x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（ x）在点p（ x0， f（ x0） ）处的切线的斜率是f （x 0） 。相应地，切线方程为y y0=f

2、/（ x0） （ x x0） 。3. 导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（ t） ，那么该物体在时刻t 的瞬间速度v= s （ t） 。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t ） ，则该物体在时刻t 的加速度a=v（t） 。二、导数的运算1 基本函数的导数公式: C 0; （ C为常数）nn1 x nx ; （sin x） cosx ; （cos x） sin x ; （ex）ex; （ax） axln a ;1 lnx ;x1 loga x logae.x2导数的运算法则法则 1：两个函数的和（ 或差 ） 的导数 , 等于这两个函数的导数的和（ 或差 ），即： ( u v) u

3、 v .法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'u'v uv' .法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：u u'v 2 uv' ( v 0) 。vv3. 复合函数的导数形如 y=f (x ) 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解>求导>回代。法则：y | X= y | U · u | X或者 f (x) f ( )*(x).三、导数的应用1. 函数的单调性与导数( 1 )设函数y f (x

4、) 在某个区间(a， b)可导，如果 f ' (x)0，则 f (x) 在此区间上为增函数；如果f ' (x)0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。( 2)如果在某区间内恒有 f (x)0，则 f(x) 为常数 。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间 a ， b 上连续的函数f (x) 在 a ， b 上必有最大值与最小值。但在开区间(a， b)内连续函数f( x)不一定有最大值，例如f (x) x3, x( 1,1)。( 1 )函数的最大值和最

5、小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。( 2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1 .概念设函数 f(x) 在区间 a ， b 上连续，用分点a x0<x1< <xi 1<xi< xn b 把区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi

6、1， xi 上取任一点i ( i 1， 2，n)作和式Inn f i 1( i) x(其中x 为小区间长度)，把n即x0 时，和式In 的极限叫做函数 f(x) 在区间 a ， b 上的定积分，记作：ab f(x)dx，即abf(x)dx lnim if1( i) x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ， b 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。1 m110dx xmdx x基本的积分公式：C； m 1C(mQ，m1 ) ；x dxlnxexdxex C； e C；axdxlcos xdxsin xdxln a C； si

7、nx C；cosx C(表中C均为常数)。2. 定积分的性质bbkf(x)dx k f (x)dx aa ( k 为常数) ；bbbf (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dxaaa；bcbf (x)dx f (x)dx f (x)dx) aac(其中a< c< b ) 。3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线x a， x b( a<b) ， x 轴及一条曲线y f( x) (f(x) 0)围成的曲边梯的面积bS a f (x)dx。如果图形由曲线y1 f1(x) ，y2f2(x) (不妨设f1(x) f2(x) 0)，及直线xa，xbf1 (x)dxf2(x)dx。

8、( a<b) 围 成 ， 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S 曲 边 梯 形AMNB S 曲 边 梯 形DMNC4. 牛顿布莱尼茨公式如果 f(x) 是区间 a,b 上的连续函数并且F (x)=f(x), 则bf (x)dx F(b) F(a)【练习题】题型 1：导数的基本运算1】（ 1）求x(x213 ） 的导数； x2）求1)(11） 的导数； x3）求xxsin cos 的导数；225）求y=sinx3x2 yx x 5 x 9 的导数。解析： （ 1 ）12, x3x22）先化简,y23.x1122x2 x 21 x 12212x3）先使用三角公式进行化简yxxx sin

9、cos221x sin x21 sinx21cos x.2'1x (sin x)25）y 2y= (x )'sinx2x * (sin x)' 2xsin2sin x31y 3x2 x9x 23*（ x 2 ） x92 x(1题型 2：导数的几何意义【例2】2x x cosx2sin x1(x2 ) 1x 2 *1)23x212 ） 1 。x已经曲线C： y=x 3 x+2 和点 A（1,2） 。 （ 1）求在点A 处的切线方程？（2）求过点A 的切线方程？（3） 若曲线上一点Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1，则Q点坐标为, 切线方程为思考：导数不存在时，切线

10、方程为什么？【例 3】 （ 06 安徽卷）若曲线y x4 的一条切线l 与直线 x 4y 8 0 垂直，则l 的方程为（）A 4x y 3 0 B x 4y 5 0 C 4x y 3 0 D x 4y 3 0【例 4】 （ 06 全国 II ）过点（1， 0）作抛物线y x2 x 1 的切线，则其中一条切线为（）（ A） 2x y 2 0 （ B） 3x y 3 0 （ C） x y 1 0 （ D） x y 1 0解析： （ 1）与直线x 4y 8 0垂直的直线l 为 4x y m 0，即 y x4在某一点的导数为4，而y 4x3，所以y x4在 （1 ， 1）处导数为4，此点的切线为4x

11、y 3 0，故选 A；2（2）y 2x 1 ，设切点坐标为（x0,y0），则切线的斜率为2 x01 ，且y0x0x01 ，2于是切线方程为y x0 x0 1 （2x0 1）（x x0） ，因为点（1， 0）在切线上，可解得x0 0 或4，代入可验正D 正确，选D。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】（ 06 江西卷）对于R 上可导的任意函数f（x），若满足（x1） f（x）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）B. f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1）D. f（0）f（2）2f（1）【例6】（ 06 天津卷）函数f （x） 的定义域为开区间（a,b），导函数f

12、 （x） 在 （a,b）内的图象如图所示，则函数f（x） 在开区间（a,b）内有极小值点（）A 1个 B 2个C 3个D 4个【例7】（ 06 全国卷 I ）已知函数f x 1 xe ax。 （）设a 0，讨论 y f x 的单1x调性； （）若对任意x 0,1 恒有 f x 1 ，求 a的取值范围。解析：x 1 时， f 有 f（ 0）1）依题意，当x 1 时， f （ x）0，函数f（ x）在（1， ）上是增函数；当x）0， f（ x）在（， 1 ）上是减函数，故f（ x）当x 1 时取得最小值，即f（1） ， f（ 2）f（ 1） ，故选C；（ 2）函数f （x） 的定义域为开区间（a,

13、b），导函数f （x） 在 （a, b）内的图象如图所示，函数 f （x） 在开区间（a, b）内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。3) ： ()f(x) 的定义域为(,1)(1,2+ ).对 f(x)求导数得f '(x)= a(x1+2x)2a e ax。()当a=2时 , f '(x)= 2x2 2 e 2x, f '(x)在(,0), (0,1)和 (1,+ )均大于 0, 所以 f(x) 在(1 x)(,1), (1,+ ).为增函数；( )当 0<a<2 时 , f '(x)>0,

14、f(x) 在 (,1), (1,+ )为增函数( )当a>2 时 , 0<a<1, 令 f '(x)=0 , 解得x1=aa 2, x2=a 2；aax(, a 2 a)a 2 a 2(a ,a )(aa2,1)(1,+ )f '(x)f(x)x 变化时 , f '（x） 和 f（x） 的变化情况如下表:a2f(x)在 (, a ), (aa 2,1), (1,+)为增函数, f(x) 在 (a 2a 2函数。( )( )当0<a 2时 , 由 ( )知 : 对任意x (0,1)恒有 f(x)>f(0)=1 ；1a 2( )当a>2

15、时 , 取x0= 21a (0,1),则由 ( )知 f(x 0)<f(0)=1 ；( )当a 0时 , 对任意x (0,1),恒有 1+x >1 且e ax 1，1 x得： f(x)= 1+xeax1+x >1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)>1 。1 x 1 x328】( 06浙江卷)f (x) x3 3x2 2 在区间1,1 上的最大值是()(A) 2(B)0(C)2(D)49】( 06 山东卷) 设函数 f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1.()求f(x) 的单调区间； ()讨论f(x)的极值。解析： ( 1) f (x) 3x2 6x 3x(x 2) ，令 f (x) 0可得 x 0 或 2( 2 舍去) ，当 1 x 0 时， f (x) 0，当0 x 1 时， f (x) 0，所以当x 0时，f( x)取得最大值为2。选 C；2)由已知得f (x) 6x x (a 1) ，令 f (x) 0，解得x10,x2 a 1 。a 1 时， f '(x) 6x2， f (x) 在 (,) 上单调递增；a