泰勒级数展开学习教案

1、会计学1泰勒级数泰勒级数(j sh)展开展开第一页，共30页。3.3 3.3 泰勒级数泰勒级数(j sh)(j sh)展开展开 通过对幂级数的学习通过对幂级数的学习(xux)，我们已经知道一，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值不但有理论意义，而且很有实用价值.第2页/共30页第二页，共30页。3.3.1泰勒(ti l)级数

2、第3页/共30页第三页，共30页。 0z z R C 第4页/共30页第四页，共30页。0zz0z001zzz000001111()()1zzzzzzzz01, (| 1)1nnzzz其中其中(qzhng)z在在C的内部的内部,，而，而在在C上取值上取值, C取逆时针正方向取逆时针正方向(fngxing). 故故从而从而(cng r)因为因为根据第5页/共30页第五页，共30页。第6页/共30页第六页，共30页。第7页/共30页第七页，共30页。3.3.2 将函数将函数(hnsh)展开成泰勒级数的方法展开成泰勒级数的方法例例3.3.1 在在 的邻域的邻域(ln y)上把上把 展开。展开。00z

3、 ( )zf ze解：函数 的各阶导数 而( )zf ze( )( )kzfze( )( )0()(0)1kkfzf故 在 领域上的泰勒级数写为( )zf ze00z 2311!2!3!zzzze 易求收敛(shulin)半径无限大第8页/共30页第八页，共30页。例例3.3.2 在在 的邻域的邻域(ln y)把把 和和 展开。展开。00z 1( )sinf zz2( )cosfzz1( )cosfzz1( )sinfzz (3)1( )cosfzz (4)1( )sinfzz解： 函数 的前四阶导数分别为1( )sinf zz由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。

4、且在 有00z 1(0)1f1(0)0f(3)1(0)1f (4)1(0)0f故有357sin1!3!5!7!zzzzz 第9页/共30页第九页，共30页。同样的方法(fngf)，可求得 在 邻域上的泰勒级数cosz00z 246cos12!4!6!zzzz 容易求得上面(shng min)两个泰勒级数的收敛半径为无限大。即 Z在全复平面上取值只要有限，上面(shng min)两个级数就收敛。第10页/共30页第十页，共30页。例例3.3.3 在在 的邻域的邻域(ln y)把把 展开。展开。01z ( )lnf zz解：多值函数 的支点在 现在展开中心 并非支点，在它的邻域上，各个单值互相独立

5、，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 ( )lnf zz0,zz 01z 1( )fzz21!( )fzz (3)32!( )fzz( )lnf zz(1)1f( )1!fz (3)( )2!fz (1)ln12fni 于是可写成 在邻域上的泰勒级数01z 第11页/共30页第十一页，共30页。2323411!2!lnln1(1)(1)(1)1!2!3!(1)(1)(1)2(1)234zzzzzzzniz可以(ky)求得上式的收敛半径为1。因此23(1)(1)ln2(1)(1)23zzznizz上式n0的那一个单值分支叫作 的主值主值。ln z第12页/共30页第十二页，共30页。例例3.

6、3.3 在在 的邻域把的邻域把 展开展开(zhn ki)（m不是正整数）。不是正整数）。00z ( )(1)mf zz解：先计算(j sun)展开系数( )(1)mf zz1( )(1)mfzmz2( )(1)(1)mfzm mz(3)3( )(1)(2)(1)mfzm mmz(0)1mf(0)1mfm(0)(1)1mfm m(3)(0)(1)(2)1mfm mm23(1)(1)1111!2!(1)(2)13!mmmmmmm mzzzm mmz第13页/共30页第十三页，共30页。23(1)(1)(2)(1)1 1,(1)1!2!3!mmmm mm mmzzzzz易求其收敛(shulin)半径

7、为1，故式中221()mi nmi nmee在许多的单值分支中，n0那一支即 的那一个叫作 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式定理二项式定理。11m(1)mz第14页/共30页第十四页，共30页。二、当 较复杂时，求 比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用(lyng)基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：( )f z( )0()nfz第15页/共30页第十五页，共30页。解：利用 有0,;!nznzezn 00352121011( )()sin()()22!( 1)3!5!(21)!( 1)(21)!nnizi

8、znnmmmmmizizzeeiinnzzzzmzm 第16页/共30页第十六页，共30页。第17页/共30页第十七页，共30页。000101ln(1)d( 1)d1( 1), 11zznnnnnnzzzzzzzn第18页/共30页第十八页，共30页。211(1)1zz 0( 1)nnnz 110( 1), 1nnnnzz第19页/共30页第十九页，共30页。010111111( 1)122212(1)1( 1), (12)2nnnnnnnzzzz 1( )111zf zzz 解：11(1)2z 第20页/共30页第二十页，共30页。解：12( )(1)(2)12zf zzzzz 00011(

9、 /2)11/21(1)2nnnnnnnzzzzz第21页/共30页第二十一页，共30页。作业作业(zuy)(zuy)P52（2）， （3）， （5），（6），（8）补充(bchng)：（1）将 在 领域展开。shz00z 第22页/共30页第二十二页，共30页。补充补充 泰勒展开的方法泰勒展开的方法(fngf)(fngf)（参见陆全康（参见陆全康教材）教材）1、替换法、替换法解：解：令1z即 3312(1)zz 利用0(1)mmkkkza z得到330(1)()kkka 第23页/共30页第二十三页，共30页。12( )(1)(2)12zf zzzzz 解：第二(d r)式中令 即可2zt第

10、24页/共30页第二十四页，共30页。2、加减法002422011( )()cos()()22!1( 1)2!4!(2 )!( 1)(2 )!nniziznnmmmmmizizzeennzzzmzm 第25页/共30页第二十五页，共30页。3、多项式乘或除解：20( 1)cos, .(2 )!nnnzzzn 0,;!nznzezn 将上面(shng min)两式直接相乘即可。第26页/共30页第二十六页，共30页。解：利用(lyng)357sin1!3!5!7!zzzzz 246cos12!4!6!zzzz 则sintancoszzz第27页/共30页第二十七页，共30页。352463572315122472061205040zzzzzzzzzz357224720zzzz 3573573307203672zzzzzz第28页/共30页第二十八页，共30页。4、化成(hu chn)微分方程法解：2( )( )(1)f zfzz于是(ysh)2(1)( )( )