状态空间分析方法

1、1第九章状态空间分析方法状态空间分析方法2第第9 9章章 状态空间分 析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录3：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论经典控制理论(50年代前年代前)现代控制理论现代控制理论(50年代后年代后)研究对象研究对象单输入单输出的线单输入单输出的线性定常系统性定常系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传递函数传递函数(输入、输出描述输入、输出描述)状态方程状态方程(可描述内部

2、行为可描述内部行为)数学基础数学基础运算微积、复变函运算微积、复变函数数线性代数、矩阵理论线性代数、矩阵理论设计方法的设计方法的特点特点非唯一性、试凑成非唯一性、试凑成份多份多, 经验起很大经验起很大作用。主要在复数作用。主要在复数域进行。域进行。设计的解析性，与计设计的解析性，与计算机结合，主要在时算机结合，主要在时间域进行。间域进行。4掌握由系统输入掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型型的方法。的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练

3、掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。方程计算传递函数的公式。正确理解可逆线性变换正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。运用可控性判据和可观性判据。 返回子目录返回子目录5熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。化为可控标

4、准形。能将不可控系统进行可控性分解。正确理解对偶原理正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。转化为对偶系统的可控性问题来研究。正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。现、可观性标准形实现的构成方法。正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。状态反馈可任意配置

5、闭环极点的充要条件。6熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的稳定的概念概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。稳定的方法。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法解法,

6、 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。79-1 状态空间方法基础 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。输入、单输出系统。 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录返回子目录8状态：状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念

7、已知已知 时状态，时状态， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。0t0tt 0tt 状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变确定动力学系统状态的最小一组变量量 。)(,),(1txtxn9 12nx txtX txt 状态空间：由 张成的n维向量空间。)(tX状态向量状态向量： 如果完全描述一个给定系统的动如果完全描述一个给定系统的动态行为需要态行为需要n n个状态变量，那么状态个状态变量，那么状态向量定义为向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。10例9-2

8、设一设一RLCRLC网络如图所示。网络如图所示。回路方程为回路方程为( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC图9-2 RLC网络112( )( )x ti t dt)()(1titx选择状态变量11211RxxxeLLCL 则有21xx11010RuLCLLxx写成21)()(xCtcty10Cx输出1211100RLLuLCxx写成)()(1titx21( )( )x ti t dtC若选另一组状态变量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 则有13 uyayayaynnnnn 02211 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的

9、行为。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式1412231nnxxxxxx（9-17）0 11 21nnnxa xa xaxu15或写成xAxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB（9-19）16系统结构图如图所示图图9-317例9-3222yyyu输入为输入为 u u ，输出为，输出为y y 。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统18解：12222

10、122xxxxxu 1122220102xxuxx状态方程为写成取状态变量12,xy xy 19输出1210 xyx图9-4 例9-3系统的结构图20多输入-多输出系统图图9-6 多变量系统多变量系统21ppnnububxaxaxax111112121111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 为状态变量；puuu,21 为输入量；qyyy,21 为输出变量。22矩阵形式：xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中23pp

11、nnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211输出变量方程24111212122212nnqqqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyC xD u25图9-7 系统结构图26三、线性定常系统状态方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx（9-28）齐次向量微分方程齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解为方程的解为1、齐次状态方程的解27)(210121kkkktbtbb

12、Atkbtbb可得( ) txxAx代入方程 将方程两边系数必相等方程两边系数必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA bk ！280)0(bx我们定义022)121()(xtAktAAtItxkk！（9-31）kKAttAktAAtIe！12122（9-32）因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（9-29）中得290)(xetxAt（9-33）( )( )x tAx t（9-34）)()(0sAxxssx（9-35）Ate为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解3001

13、)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAtA tkIAAAssss！拉氏反变换后得到（9-37）（9-38）31最终得到 与前一种解法所得结果一致。与前一种解法所得结果一致。 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x （9-41）32状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk33图9-8 状态转移特性34例9-511220100 xxxx设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态

14、转移矩阵。试求状态转移矩阵。35解：2 211( )2!Atk kteIAtA tA tk230100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为36例9-6x3210 x设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。37解：2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求

15、解。先求出矩阵指数 38状态方程之解为状态方程之解为 t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt将上式进行拉氏反变换将上式进行拉氏反变换39图图9-9 系统的瞬态解（系统的瞬态解（a）与相轨迹（）与相轨迹（b）40改写为 )()()(tButAxtx用 左乘等式两边 Ate2 2 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次方程)()()(tButAxtx（9-53）)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt（9-54）41dBuextxetAAt)()0(

16、)(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式两边Ate（9-54）0( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 则式（9-54）可以写成（9-55）积分上式得42讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反变换得拉氏反变换得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(由卷积定理有由卷积定理有43 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)(

17、)0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到44例9-7uxx103210求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。45解：112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由状态转移矩阵46tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0()()(220.50.5( )tttteex tee若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则47)()()(s

18、BUsAXssX)()()(sDUsCXsY四、传递函数矩阵BuAxx（9-58）系统状态方程系统状态方程DuCxy（9-59）输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为48解出解出定义传递函数矩阵为定义传递函数矩阵为)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(（9-63）49所以所以特征方程为特征方程为AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI50例9-8 设系统的动态方程为设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。试求该系统的传递函数矩阵。11122211220110020

19、11001xxuxxuyxyx51解：011010,0020101ABCD已知已知11111(2)()2102sss ssIAoss故故521( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss53例9-90100001061161Ab 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。54解：3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。55五、

20、动态方程的可逆线性变换五、动态方程的可逆线性变换DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩阵1 PAPA1 CPCBPB56特征多项式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。57DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变58例9-10 对例对例9-99-9之系统进行坐标变换，其变之系统进行坐标变换，其变换关系为换关系为

21、 试求变换后系统的特征方程和特征值。试求变换后系统的特征方程和特征值。112233111123149xxxxxx59解： 根据题意求变换矩阵11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入6011223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132| (1)(2)(3)61160sIP APssssss 特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得619-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性 在状态空间法中，对系统的描述可由

22、状态方程和输出在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。方程来表示。 状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化化 可控性和可观测性的概念，就是回答可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是系统的输入是否能控制状态的变化否能控制状态的变化和和“状态的变化能否由输出状态的变化能否由输出反映出来反映出来这样两个问题。这样两个问题。返回子目录返回子目录62一、准备知识一、准备知识设设A A 是 nn 矩阵, x x 是 n1 向量,齐次方

23、程组若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解632、Cayley-Hamilton定理 Cayley Cayley-Hamilton-Hamilton定理指出，定理指出， 矩阵矩阵A A满足自己的特征多项式。满足自己的特征多项式。则A满足1110( )nnnfIAaaa（9-71）0)(0111IaAaAaAAfnnn（9-72）A的特征多项式64应用Cayley-Hamilton 定理)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte（9-78）120,nnAAA AI,Ate

24、)( ,nkAk对于矩阵指数 可以用来表示。65例9-11解：矩阵A的特征多项式22| (1)21IA1201A100?A要求计算矩阵 的66矩阵A满足自己的特征多项式，有2324323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI本题中n=100，故有673 引理nbAbAAbbrankn12的充分必要条件是：的充分必要条件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT（9-80）非奇异。这里非奇异。这里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.68若对任意状态若对任意状态 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 和控制和

25、控制量量 ，能在，能在 时刻将状态时刻将状态 转移到转移到0 0，则称此系统，则称此系统的状态完全可控。的状态完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1 定义对于任意时刻对于任意时刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能将，能将 的的每个初始状态每个初始状态 转移到转移到 时刻的另一任意状态时刻的另一任意状态 , ,则称此系统的状态完全可控。则称此系统的状态完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等价的定义69例如图9-10 二维系统状态转移过程如图所示二维系统状态转移过程如图所示系统可控。系统可控。702 可

26、控性判据其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的充分必要条件是ducxybuAxx（9-84）（9-85）nbAAbbrankn 1（9-86）单变量线性定常系统71证明：将u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT（9-87）若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在成立，由前面准备知识的引理，存在t t1 100，使，使得得(1-30)(1-30)式定义的式定义的W(0, tW(0, t1 1) )矩阵非奇异，取矩阵非奇异，取t t1 1为可控性定为可控性定义中的义中的t tf f

27、，且在，且在0, t0, tf f 上定义上定义72由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。 ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbexe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff73再证明若系统可控，则式(9-86)成立 根据凯莱哈密尔顿定理 d)(bue)0(xft0A（9-88）1n0mmmAA)(e（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式，则有74把(9

28、-89) 式代入(9-88) 式，得记d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x这时0111(0)nnuuxbAbAbu（9-90）75由于x(0)是任意的n维向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为为S S，这样，可控的充要条件就写成：，这样，可控的

29、充要条件就写成：rankSrankS=n =n 或或 detS0detS0。76图9-11 不可控系统77例子系统可控uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系统783 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为111111001由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。79可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。征值不同。每一约当块最后一行，所对应的每一约当块最后一行，所对应的b b中的元素不为零。中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控这一充分必要条件

30、又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。性判据。80例9-12ubbbbx11x43212211系统状态方程为系统状态方程为i21b,试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。81解：0bb)(4221 如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果 .因为因为A A阵有两个若当块，根据判据的阵有两个若当块，根据判据的(1)(1)应应有有 ，由判据的，由判据的(2)(2)，A A的第二行所对的第二行所对应的应的b b中的元素中的元素b2 2, ,b4 4均不为零，因此系统可控均不为零，因此系统可控的充要条件为的充要条件为21824、可控标准形uxxn1000100000

31、10000101210（9-92）则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式83(9-92)式的形式被称为单输入系统的 。 对于一般的单输入对于一般的单输入n n维动态方程维动态方程 (9-93)(9-93) 其中其中A A，b b分别为分别为n nn,nn,n1 1的矩阵。成立以下定理：的矩阵。成立以下定理： 若若n n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。变换成可控标准形。buAxx84下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S； 计算计算 ，并记，并记 的最后一行为的最后一行为h h。 构造矩阵构

32、造矩阵 P P 令令 1S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1 CPCDD 即可求出变换后的系统状态方程。即可求出变换后的系统状态方程。85例9-13 设系统状态方程为设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。试将系统状态方程化为可控标准形。u110 x041020122x86解： 先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。程化为可控标准形。 故系统可控。故系统可控。 一定可将它化为可控标准形。一定可将它化为可控标准形。 0Sdet941421210bAAbbS287此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征

33、式的系数，但符号相反。则变换矩阵为112h112225012S1102121012P324223112P188可求出1211221210322020121423140201010001254APAP 100110324223112Pbb895 系统按可控性进行分解系统按可控性进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有现在研究不可控的情况，这时应有nnbAAbbrank11n下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 90若单变量系统(9-84，85)式的可控性矩阵满足(9-103）式，则存在可逆线性变

34、换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式 式中 是n1维向量, 是n2维向量，并且121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n111（9-106）（9-107）1x2x91(9-106)式表明下面的动态方程是可控的： （9-107)9-107)式表明的动态方程式式表明的动态方程式(9-108(9-108，109)109)和原来的和原来的n n维维动态方程式动态方程式(9-84(9-84，85)85)具有相同的传递函数。或者说具有相同的传递函数。或者说传传递函数中未能反映

35、系统中不可控的部分。递函数中未能反映系统中不可控的部分。duxcyubxAx111111（9-108）（9-109）92证明：证明：nnbAbAbAAbbrank11nn1n11（9-110）考察考察(9-103)(9-103)式，并将它重新写出如下式，并将它重新写出如下11nnbAAbbrank1进而可以证明进而可以证明1nn21q,q,q补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量组并使得向量组 线性无关。线性无关。93令q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1若将若将(9-104(9-104，105)105)式所表示的系统用方框图表示

36、，可式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，控性分解的意义就能更直观地体现出来，(9-104(9-104，105)105)式的系统方块图如图式的系统方块图如图9-129-12所示。所示。Pbb,PAPA1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。94图9-12 系统按可控性分解95 从图从图9-12中可见，控制输入不能直接改中可见，控制输入不能直接改变变 也不能通过影响也不能通过影响 间接改变间接改变 ，故，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。它是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传递函数完全由

37、由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。数未能反映系统的不可控部分。 1x2x2x96例9-14 设有系统方程如下设有系统方程如下 其传递函数为其传递函数为 试进行可控性分解试进行可控性分解 。x001yu010 x110010011x2) 1s (1) s (g97解：210111210bAAbbS2系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。1(001)Tq选取选取98计算出计算出 10101100

38、11PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11构成构成110100101P99故有因而得10c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111100三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx(9-113,114) 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、 可观测性的定义,1,1nn nn101图9-13

39、不可观测系统102 分析(9-117)式，当知道某一时刻的输出时， (9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0) ，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。()0( )( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出1032 可观测性判据可观测性判据 可观测的充分必要条件是ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为

40、V。104式（9-118）又可以写成det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，这一非零的初始状态引起的输出为AtAtce)0(xce) t (y（9-120）0dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根据准备知识中的引理，存在105将 代入上式，得 显然不可能由y(t)=0来确定。即系统不可观测。1n0kkkAtA) t (e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA1062030111 0 xxuyx 试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15107解： 系统的可观性矩阵

41、 是奇异的，故系统不可观测。0201cAcV系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 108事实上 111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P1093 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统的关系，称系统、是互为是互为 对偶对偶 的系统。的系统。 cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系统系统 110对偶原理对偶原理

42、 系统系统的可控性的可控性( (可观性可观性) )等价于系统等价于系统的可观性的可观性( (可控性可控性) )。 只要写出系统只要写出系统的可控性矩阵的可控性矩阵( (可观性矩阵可观性矩阵) )和系统和系统 的可观性矩阵的可观性矩阵( (可控性矩阵可控性矩阵) )即可证明以上结论。即可证明以上结论。 利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。相当于对原系统的可观性研究。 111应用： 若式若式(9(9113)113)和式和式(9(91

43、14)114)的动态方程中的动态方程中A A阵具阵具有约当标准形，则系统可观测的有约当标准形，则系统可观测的充分必要条件充分必要条件为为 同一特征值对应的约当块只有一块。同一特征值对应的约当块只有一块。 每一约当块的第每一约当块的第1 1列所对应的列所对应的c c中的元中的元素素 非零。非零。n上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。112例9-16 设动态方程为设动态方程为 试确定系统可观测时试确定系统可观测时 应满足的条件。应满足的条件。iic,xccccyu2010 x11x43212211113解：x2010yuccccx1010 x43212211

44、由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为. 0c, 0c,3121这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：1144 可观测标准形可观测标准形 一个单输出系统如果其一个单输出系统如果其A,c A,c 阵有如下的标准形阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。式，它一定是可观测的。（9-122）式称为单输出系统的可观测标准形。 0121000010001000001000001nAc（9-122）115xcy,ubxAx通过对偶原理证明： 给定系统方程如下给定系统方程如下cxy,buAxx)xMx(xMx1（9-123）若有等价变换若有等价变换将其化为可观测标准形将其化为可观测标准

45、形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的形式。的形式。Ac和116构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。偶系统一定可控。zbw,uczAzTTTPzz 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，117因此有TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM （9-134）比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。11

46、8例9-17 系统动态方程为系统动态方程为 将系统动态方程化为可观标准形，将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。并求出变换矩阵。x11y,u11x1111x119解： 显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的出它的对偶系统的A,bA,b阵，分别为阵，分别为11b,1111A 根据根据A,bA,b阵，按化可控标准形求变换阵的阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出步骤求出P P阵：阵：120 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S0121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由

47、(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M阵阵121 式中式中1005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11122 5 系统按可观性进行分解 系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。结果。 若(9-113，114)的系统不可观测，且nncAcAcr

48、ank21n123则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且1x2xnnAcAccrank21n111112（9-137）211212143121xx0cyubbxxAA0Axx（9-135）（9-136）124(9-135,136)(9-135,136)的式子也可用图的式子也可用图9-149-14表示。表示。 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。 (9-137)式表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。2x11111)()(

49、1bAsIcbAsIcn 系统按可观性分解的结系统按可观性分解的结果果(9-138)125图图914 系统按可观测性分解系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。126四、可控性、可观测四、可控性、可观测性与传递函数的关系性与传递函数的关系 ) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g1（9-141）对应的传递函数为cxy,buAxx（9-140）考虑单变量系统，其动态方程为1 1、可控性、可观测性与零、极点对消问题127式中：AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0

50、的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 动态方程式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。128证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可得(9-144)129将s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)

51、AIs(adjs000(9-145)将上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj00000（9-146）将(9-145)式前乘cA、后乘b后即有0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA0002（9-147）130依次类推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200这组式子又可写成0b )AIs(adjcAcAc01n131 出现矛盾，矛盾表明出现矛盾，矛盾表明N(s)N(s)和和D(s)D(s)无相同因子，即无相同因子，即g(s)g(s)出现零、极点相消的现

52、象。出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）132例9-18 设系统动态方程为设系统动态方程为101010146411210 xxuyx 不难验证系统是可控、可观测的。不难验证系统是可控、可观测的。133 显然显然N(s)N(s)和和D(s)D(s)无非常数的公因式，这时传无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上递函数没有零、极点相消。事实上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s

53、2s)s(g1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342 分别计算分别计算 1342 传递函数的最小阶动态方程实现 已知动态方程，可以用(9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现问题。 如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函数的最小实现问题。135设给定有理函数设给定有理函数011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分ducxy,buAxx(9-150)所以只

54、需讨论(9-149)式中的严格真有理分式部分。136给定严格真有理函数给定严格真有理函数011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求寻找 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在所有满足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论137可控标准形的最小阶实现式(9-153) 对(9-151)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)（1 1）g(sg(s) )的分子和分母的分子和分母无非常数公因式的情况无非常数公因式的情况

55、1381000cbbbb10001001000A1n101n210(9-154)可观标准形的最小阶实现 (9-153)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明(9-154)式是(9-151)的可观标准形的最小实现。139 若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y441

56、3212311431012233(9-155)约当标准形的最小阶实现约当标准形的最小阶实现 因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1c4均不为零。140令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分别对应于141而44332211xcxcxcxcy综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是g(s)一个最小阶实

57、现。142 若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现，(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。 g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况143例9-19设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子与分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可写出g(s)的一个三维的可控标准形实现x011yu100 x221100010 x无须验证这个实现是可控的144x100yu011x210201100 x因此这一实现是不可观的。同理，如果

58、按(9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。2rankV121110011V计算可观测性矩阵145 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。146 9-3 9-3 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入

59、，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。返回子目录返回子目录147图9-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)图9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。 将将(9-157)(9-157)式和式和(9-158)(9-158)式用方框式用方框图表示，见图图表示，见图9-159-15，它是一个闭，它是一个闭环系统。环系统。148计算(9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA

60、(2n21n1n232322的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合1 1 状态反馈不影响可控AAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1n1n(9-160)因此有150式(9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 状态反馈可能改变系统的可观测性状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系