实验二_向量组的线性相关性及线性方程组

1、实验二实验二向量组的线性相关性 及线性方程组实验目的实验目的1、熟悉用MATLAB软件求矩阵的秩和矩阵的逆矩阵，熟悉矩阵的行简化阶梯形的命令2、学会用MATLAB软件求线性方程组一、向量组的相关性和极大无关组一、向量组的相关性和极大无关组定义：定义：设有 m个 n维向量m ,21，如果存在m个不全为零的一组数m ,21， 使 02211 mm 成立，则称向量m ,21是线性相关的； 如果仅当 021 m 时， 才有上面等式成立，则称向量m ,21是线性无关的。 定定义义：设T是一个向量组，r ,21是它的一个部分组，如果： （1）r ,21线性无关； （2）T任何向量都可被 r ,21线性表出

2、； 则称r ,21为 T的一个极大线性无关组，极大线性无关组的个数 r称为向量组 T的秩。 三个命令三个命令rank（A） 求矩阵A的秩 rref （A）将A化为行简化阶梯形，其中单位向量对应的列向量即为极大无关组所含向量，且其它列向量的各分量是用极大无关向量组线性表示的组合系数。 R,jb=rref （A） jb是一个向量，r=length(jb)是矩阵A的秩，A(:,jb)为矩阵A的列向量基，jb表示列向量基所在的列数。例例1 1 设向量组 T： 34121 66112 92213 72114 94425 （1）求 T 的秩，判断向量组 T 是否线性相关；（2）求 T 的一个极大线性无关组

3、；（3）将其余向量用极大无关组线性表示。A1=2 1 4 3;-1 1 -6 6;-1 -2 2 -9;1 1 -2 7; 2 4 4 9; A=A1;r=rank(A)A2=rref(A)解：解：r= 3A2= 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0A1=2 1 4 3;-1 1 -6 6;-1 -2 2 -9;1 1 -2 7; 2 4 4 9; A=A1; R,jb=rref(A)R = 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0jb = 1 2 4（3）答答：（1）r=3，向量组 T 线性相关；（2

4、）它的一个极大线性无关组是：;,421 ,213 4215334 32111 11112 53313 65244 75135 （1）求 T 的秩，判断向量组 T 是否线性相关；（2）求 T 的一个极大线性无关组；（3）将其余向量用极大无关组线性表示。例例2 2 设向量组 T：解解1：A=1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 3 5;4 -2 5 6;-3 -1 -5 -7;A1=A;rref(A1)ans = 1 0 2 1 -2 0 1 -1 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解解2：A=1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 3 5;4 -2 5 6;-3 -1 -5

5、 -7;A1=A; R,jb=rref(A1)R = 1 0 2 1 -2 0 1 -1 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 jb = 1 2 A1(:,jb)ans = 1 1 1 -1 2 1 3 1（3）答答：（1）r=2，向量组 T 线性相关；（2）它的一个极大线性无关组是：;,21 ,2213 2152 ,3214 例例3 3：利用矩阵的初等行变换求矩阵 223122321A的逆。 B=1 2 3 1 0 0;2 2 1 0 1 0;3 2 2 0 0 1;format ratC=rref(B)C = 1 0 0 -1/3 -1/3 2/3 0 1 0 1/6 7/6

6、-5/6 0 0 1 1/3 -2/3 1/3 解：解： D=C(:,4:6)D = -1/3 -1/3 2/3 1/6 7/6 -5/6 1/3 -2/3 1/3 答答： 3132316567613231311A二、齐次线性方程组解的结构二、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为：0 AX，其中 A是nm 阶矩阵，X是n维未知列向量。 （1）n维零向量是方程组的解； （2）当nm 时，若0| A，则方程组只有零解； （3）当nrArank )(时，方程组有无穷多解。此时方程组的解可由方程组的基础解系表示，基础解系含有rn 个向量；方程组的通解可表示为基础解系的线性组合。 两个命令两

7、个命令B=null（A） B列向量是矩阵 A 的列空间的标准正交基。即 B 列向量是方程组 AX=0 的标准正交的基础解系；B=null（A，r） B 列向量是方程组 AX=0 的规范的基础解系；解：解：输入命令A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1;B=null(A,r)B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1答答：齐次线性方程组的通解为： 100650102100121121kkkx其中321,kkk为任意常数。 或输入命令syms k1 k2 k3 %定义符号参数定义符号参数X= k1*B(:,1) + k2

8、*B(:,2) + k3*B(:,3)X = k1+k2+5*k3 -2*k1-2*k2-6*k3 k1 k2 k3答答：齐次线性方程组的通解为： 100650102100121121kkkx其中321,kkk为任意常数。 解解2：输入命令A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1;B=null(A)B = 0.7530 0.0176 -0.0000 -0.4167 -0.7464 -0.0000 -0.3043 0.4533 -0.7071 -0.3043 0.4533 0.7071 0.2723 -0.1778 -0.0000解：解：输入命令 A

9、=1 1 4 -2；1 1 1 2；3 1 7 -2；1 3 12 6; B=null(A,r)B = Empty matrix: 4-by-0说明此齐次线性方程组只有零解。 三、非齐次线性方程组解的结构三、非齐次线性方程组解的结构 4221234422243213214314321xxxxxxxxxxxxxx解法解法1 1：A=1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2;b=2 4 -1 -4;rank(A)ans = 4 X=inv(A)*b或或 format rat %分数数据格式分数数据格式 X= inv(A)*b X = 1.0000 -2.0000 0

10、 0.5000X = 1 -2 0 1/2 X=AbX = 1.0000 -2.0000 -0.0000 0.5000解法解法2 2：用Gramer法则求解 A=1 -1 1 2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2; b=2;4;-1;-4; D1=b,A(:,2:4); D2=A(:,1),b,A(:,3:4); D3=A(:,1:2),b,A(:,4); D4=A(:,1:3),b; D=det(A); x1=det(D1)/D; x2=det(D2)/D; x3=det(D3)/D; x4=det(D4)/D; X=x1;x2;x3;x4X = 1.0000 -2.00

11、00 0 0.5000 matlab中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve(A,b)，其调用格式是：解法解法3 3：linsolve(A,b) 该函数返回线性代数方程组 AX=b 的解。这里 A,b 允许是符号矩阵， A 必须行满秩（即rank(A)=m，是A的行数）。A=1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2;b=2 4 -1 -4;X=linsolve(A,b)X = 1 -2 0 1/2解解1： A=1 1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 1 2 ;b=2 4 1 -4；det(A)ans = -2 x=inv（A）*

12、b 或或 x=A b x= 1 -2 0 1/2x= 1 -2 0 1/2 A=1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2 ; b=2 4 -1 -4; D=det(A); n=size(A) D1=ones (n(1),1); for i=1:n(1) A1=A; A1(:,i)=b; D1(i)=det(A1); endx=D1/D解解2： x = 1.0000 -2.0000 0 0.5000若若nrbArankArank )()(，即 方 程即 方 程bAX 有无穷多解。设已知它的一个特解有无穷多解。设已知它的一个特解0 x，且它对应的齐次方程，且它对应的

13、齐次方程 0 AX的基础解的基础解系为系为 rn ,21，则非齐次方程，则非齐次方程bAX 的通解为：的通解为： 02111xkkkXrnrn 我们可用两种方法求特解 0 x： （1）x0=pinv(A)*b； （2）x0=Ab; 其中 pinv(A)表示 A 的广义逆矩阵。 前者所求的解是所有解中范数最小的一个，而后者所求的解是所有解中含零个数最多的一个，因而两种解法的结果一般会有所不同。值得注意的是，用除法求欠定方程组时，会提出警告，并给出系数矩阵的秩，但警告并不会影响方程求解。 解：解： A=1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2; b=1;3;2;6;C=A b

14、; rank(A),rank(C)ans = 2 2 B=null(A,r) x0=pinv(A)*b或或 x0= Abx0 = 0.9542 0.7328 -0.0763 -0.2977B = 2.0000 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000答答：非齐次线性方程组的通解为： 2977. 00763. 07328. 09542. 0105 . 33015 . 2221kkx其中21, kk为任意常数。 解：解：建立一个M-文件：line1 如下：A=1 5 -1 -1;1 -2 1 3;3 8 -1 1;1 -9 3 7 ;b=-1;3;1;7;B

15、=A b;n=4;r1=rank(A);r2=rank(B);if (r1=r2&r1=n) X=Ab %唯一解唯一解else if (r1=r2&r1n) C=null(A,r) %基础解系基础解系 x0=pinv(A)*b %特解特解else fprintf(方程组无解方程组无解)endendC = -0.4286 -1.8571 0.2857 0.5714 1.0000 0 0 1.0000 x0 = 0.3785 -0.0876 0.1873 0.7530 7530. 01873. 00876. 03785. 0105714. 08571. 1012857. 04286

16、. 021kkX输入命令：line1解：解：建立一个M-文件：line2 如下：A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0 ;b=2;10;8;B=A b;n=3;r1=rank(A)r2=rank(B)if (r1=r2&r1=n) X=Ab %唯一解唯一解else if (r1=r2&r10 %非齐次方程组非齐次方程组,b的模大于的模大于0 if rank(A)=rank(A b) %方程组相容方程组相容 if rank(A)=n %列满秩列满秩,有唯一解有唯一解 x=Ab else %方程组有无穷多解方程组有无穷多解 disp(原方程有无穷个解，其齐次方程组的基础解系为

17、原方程有无穷个解，其齐次方程组的基础解系为y,特解为特解为x); y=null(A,r); x=Ab; end可以设计解线性方程组的一般函数，函数文件如下可以设计解线性方程组的一般函数，函数文件如下: :else %方程组不相容，给出最小二乘法解方程组不相容，给出最小二乘法解,即即 AAx=Ab的解的解 disp(方程组的最小二乘解是方程组的最小二乘解是); x=Ab; endelse %齐次方程组齐次方程组 if rank(A)=n %列满秩列满秩,有唯一零解有唯一零解 x=zeros(m,1) %0解解 else %非非0解解 disp(方程组有无穷个解，基础解系为方程组有无穷个解，基础解

18、系为x); x=null(A,r) endendreturn A=2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 5 -3 4;3 3 -2 2; b=4;6;12;6; x,y=line_solution(A,b)解：解：输入命令 x = 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000y = y= 说明方程组只有唯一解. A=2 7 3 1;3 5 2 2;9 4 1 7;b=6 4 2; x,y=line_solution(A,b)解：解：输入命令 原方程有无穷个解，其齐次方程组的基础解系为原方程有无穷个解，其齐次方程组的基础解系为y,y,特解为特解为x xWarning: Rank

19、deficient, rank = 2 tol = 8.6112e-015. In e:MATLAB6p1workline_solution.m at line 10 x = -0.1818 0.9091 0 0y = 0.0909 -0.8182 -0.4545 0.0909 1.0000 0 0 1.0000答答：非齐次线性方程组的通解为： 0 0 0.9091 0.1818-1.00000 0.09090.8182-01.0000 0.4545-0.090921kkx其中21, kk为任意常数。 实验三实验三矩阵的特征值和特征向量实验目的实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹例例1 1：求方阵 542452222A的特征值、特征向量和迹解：解：A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=e