第四章随机变量的数字特征

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节 数学期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第四节 矩 协方差矩阵第五节 二维正态分布x p(x)o f (x)xo 前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量了随机变量X 的概率分布，那么的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而且在而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的

2、某些性质，只要知道它的某些数字特征数字特征就够了就够了.引言引言 主要应看这批灯泡的主要应看这批灯泡的平均平均寿命寿命和灯泡寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差相对于平均寿命的偏差平均寿命越长平均寿命越长, ,灯泡灯泡的质量就越好的质量就越好, ,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的灯泡的质量就越稳定质量就越稳定 因此，在对随机变量的研究中，确定某些因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征数字特征是是重要的重要的 .下面我们来学习随机变量的下面我们来学习随机变量的数字特征数字特征例如，评定一批灯泡的质量例如，评定一批灯泡的质量, ,1 1数学期望的概念数学

3、期望的概念3 3数学期望的性质数学期望的性质2 2随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望4. 小结小结第一节第一节 数学期望数学期望 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定它的定义来自习惯上的平均值概念义来自习惯上的平均值概念. 引例引例 将一枚骰子掷将一枚骰子掷100次，各点数出现的次数与频率如下次，各点数出现的次数与频率如下, ,求每次投掷的平均点数求每次投掷的平均点数点数点数 1 2 3 4 5 次数次数频率频率 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/ 100 17/ 100 22/ 100 10/ 1

4、00 16/ 100 (1) 离散型变量数学期望的定义离散型变量数学期望的定义 试验次数很大时试验次数很大时, ,频率会接近于概率频率会接近于概率pk点数点数 1 2 3 4 5 次数次数频率频率 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/ 100 17/ 100 22/ 100 10/ 100 16/ 100 每次投掷的平均点数每次投掷的平均点数 )166105224173212141 (1001 W965. 2100166100105100224100173100212100141 平均值平均值 以频率以频率为权的加权平均为权的加权平均 nnnnnnnnW43214321频

5、率和频率和概率的关系概率的关系32104321pppp 以概率为权以概率为权 的加权平均的加权平均离散型变量数学期望的定义离散型变量数学期望的定义 1、离散型随机变量的数学期望 1定义设离散型随机变量的分布律为 , 2 , 1)(ipxXPiiiiipx 1若级数则称级数绝对收敛,iiipx 1iiipxXE1)(又称均值数学期望简称期望,即记为的数学期望的和为随机变量),(,XEX 数学期望数学期望E(X)是一个是一个常数常数,而而非变量非变量它既不是随机变量所它既不是随机变量所有可能取值的算术平均值，也不是随机变量的有限次观测值的有可能取值的算术平均值，也不是随机变量的有限次观测值的算术平

6、均值它是一种算术平均值它是一种以概率为权的加权平均值以概率为权的加权平均值,它从本质上体它从本质上体现了随机变量现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值，取可能值的真正的平均值，具有重要的统计意具有重要的统计意义义请看下面的例子和实验请看下面的例子和实验_随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1221 假设假设.98. 198. 0202. 01)( XEX21020.980.pX 的期望为的期望为1例)(), 1 (XEpbX求解有分布律因X的数学期望为XpppXE1)1 (0)(2例，设)(X)(XE求解：的分布律为X0, 2 , 1 , 0!e)( kkkXPk的

7、数学期望为Xee)!1(e!e)(110kkkkkkkXE3例品，相同数量同种类型的产甲乙两工人每天生产出经统计有生产次品数分别表示甲乙两人某天用,21XX高低试比较他们技术水平的解：的数学期望根据定义1, X3 . 12 . 032 . 023 . 013 . 00)(1XE而件次品知甲平均一天生产出由,3 . 1)(1XE1 . 1033 . 025 . 012 . 00)(2XE低所以甲的技术水平比乙的的积积分分和和式式 dxxfx)(dxxfx)(lim0 在数轴上任取很密的分点在数轴上任取很密的分点 x1 x2 x3 0 0时时, ,称称X X与与Y Y为为正相关正相关. . 当当

8、XY XY 0 0时时, ,称称X X与与Y Y为为负相关负相关. . 相关系数和协方差具有相同的符号相关系数和协方差具有相同的符号, ,因此因此, ,前面前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. . 即即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势少的变化趋势. . 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. .简单相关系数- Pearson(皮尔逊)相关系数（实际应用）3. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时

9、，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YVarXVarYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.1例的联合概率分布如下：设二维随机变量),(YX但不是相互独立不相关与证明,:YX证的边缘概率分布分别是与YX31113100311) 1(),(covYX032131031131031) 1(不相关。与所以YX913131.310000ppp由XY知 与 不是相互独立的2例), (UX设,cos,sin21XXXX21XX求解：的概率密度为随机变量X其他, 0),(,21)(xxf0dsin21d )(sin)sin()(1xxxxxfXEX

10、E0dcos21d )(cos)cos()(2 xxxxxfXEXE)cossin()(21XXEXXE1sincos( )dsincos d02xxf xxxx x所以0)()()(),(cov212121XEXEXXEXX21XX0即21,XX,不相关22121XX但这一讲我们介绍了协方差和相关系数这一讲我们介绍了协方差和相关系数相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.注意注意独立与不相关并不是等价的独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X与与Y独立独立X与与Y不相关不相

11、关第四节 矩 协方差矩阵定义若是随机变量和设,YX , 2 , 1),(kXEkk存在阶矩简称阶原点矩的称它为kkX,若 , 3 , 2,)(kXEXEkk存在阶中心矩的称它为kX若 , 2 , 1,),(lkYXElk存在阶混合原点矩的和称它为lkYX若 , 2 , 1,)()(lkYEYXEXElk存在阶混合中心矩的和称它为lkYX的二阶混合中心矩维随机变量设),(21nXXXn njiXEXXEXEXXcjjiijiij, 2 , 1,),()(),(cov 都存在 nnnnnnccccccccc212222111211C的协方差矩阵维随机变量为),(21nXXXn 易知上述矩阵对称则称

12、矩阵第五节 二维正态分布一、二维正态分布及其边缘分布 定义的联合概率密度为设二维随机变量),(YX),(yxf)()(2)()1 ( 21exp1212222212121212221yyxx,221221其中且都是常数,11, 0, 02121为服从参数为则称),(YX,221221的二维正态分布记为),(),(222121NYX,21的数学期望及分别是随机变量及参数可以证明YX是相关系数参数分别是它们的标准差及参数,21,de121)(),(221yxfyxuX其中2211222221122()2 ()()()1( , )2(1)xxyyu x y2212122121()()122(1)xy

13、xtxy)(1111222置换积分变量 得到2121221212)(122)(1e21dee21)(xtxXtxf由对称性22222)(2e21)(yYyf故二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，且有)(, )(),(),(2121YDXDYEXE的数学期望与是随机变量参数可以证明YX, yxyxyxuXYdde121),(2211221化为二次积分，得xxIxxXYd )(e12121212)(11221 其中 yyxIxyde)(211222)()1 (2122设txy)(1111222则得,2221221()( )11edtxI xtt2121()22111() ed2xXYxx222

14、2212221()(1)ed1edttxttt2211()2(1)xtx11设则得,tttXYde2222二维正态分布曲面图所示 时当相关系数022122212()()121 21( , )e2xyf x y22122212()()221211ee( ) ( )22xyXYf x f y维正态分布二、n若二维随机变量),(),(22212121NXX则21211222121)()1 (21exp121),(xxxf)()(222222212211xxx引入下面的列向量和矩阵 22212121222112112121,ccccCxxX),(cov),(cov),(cov2222212112111

15、1XXcXXccXXc其中的协方差矩阵为随机变量称矩阵),(21XXC2121212222221122221)1 (1),1 ( CC经过计算得 2121121T)()1 (1)()(xXCX)()(222222212211xxx的联合概率密度可写成于是随机变量),(21XX21T122121(,)(2)|exp()()2f x xCXCX21T122121( ,)(2)|exp()()2f x xCXCX12(,)nnXXX推广到 维随机变量的情形引入列向量和矩阵 ：1111121222122212,nnnnnnnnxcccxcccxcccXC为对称正定矩阵其中C将公式的联合概率密度为维随机

16、变量如),(21nXXXn)()(21exp|)2(),(1T21221 XCXCxxxfnn为协方差矩阵维正态分布服从则称CnXXXn,),(21其中), 1)(), 1,(),(covniXEnjiXXciijiij 性质维正态随机变量的重要n,),(. 121inXXXXn的每一个分量维随机变量都是若反之都是正态变量nXXXni,;, 2 , 121维正态变量是则正态变量且相互独立nXXXn),(,21维正态分布的充要条服从维随机变量nXXXnn),(. 221nnnXlXlXlXXX,221121的任意线性组合件是)0,(21不全为其中服从一维正态分布nllljknXYYYnXXX是设

17、维正态分布服从若,),(. 32121也服从多维则的线性函数),(,), 2 , 1(21kYYYnj不变性为正态变量的线性变换正态分布。这一性质称nnXXXnXXX,),(. 42121则“维正态分布服从设两两不相关”是等价的相互独立”与“nXXX,21的联合概率密度为已知例),(1YX).,(e521),()55(2122222yxyxfyx?, 是否独立问YX解0,e 故相乘的交叉项与的指数式中不含由于yx服从二维故又显然),(, 0, 52121YX相互独立与故正态分布。因YX, 0), 0(,22 NYX且都服从正态分布相互独立与设随机变量例),(,为不相等的常数记YXVYXU求UVVU的相关系数与) 1 (的相互独立的条件与VU)2(解因2)()(, 0)()(YDXDYEXE故0)(, 0)()(VEYXEUE22222)()()()()(YDXDYXDUD22222)()()()()()(YDXDYXDVD2222222222222cov( , )()( ) ( )()()()()()()()( )()U VE UVE U E VE UVEXYXYEXYE XE YD XD Y2222UV最后得（1）的线性组合与故是相互独立的随机变量与因为YXYX,)2(相互独立与由于也是正态随机变量的随机变量VUVU.,0UV的充要条件是即所以, 022223