第一章-电磁现象的普遍规律要点

1、Universal Law of Electromagnetic Phenomenon第一章第一章 电磁现象的普遍规律电磁现象的普遍规律主要内容：主要内容：第一节第一节 电荷和电场电荷和电场一、库仑定律一、库仑定律 库仑定律是静电现象的基本实验定律。库仑定律是静电现象的基本实验定律。是描写真空是描写真空中两个静止的点电荷中两个静止的点电荷 Q 和和 Q 之间相互作用力的定律。之间相互作用力的定律。其中其中 Q 受到的作用力为受到的作用力为:(1.1)304QQrFr（Coulombs law )zxyoq xxr q式中式中rxx表示表示q 到到q的径矢。的径矢。库仑定律只是从现象上给出两电荷

2、之间作用力的大库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大小和方向。有如下两种物理解释小和方向。有如下两种物理解释:注意注意:1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把2. 相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超结论：结论：a.静电时，两种描述是等价的。静电时，两种描述是等价的。b.在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践作用力直接施加于另一电荷上；作用力直接施加于另一电荷上；距作用。距作用。证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。证明通过场来传递相互作用的

3、观点是正确的。二、电场和电场强度二、电场和电场强度1.电场：电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。电场：电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。两个电荷之间的相互作用力本质上是电荷激发的电场对另一两个电荷之间的相互作用力本质上是电荷激发的电场对另一个电荷施加作用力。个电荷施加作用力。2.电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义电荷在点电荷在点 x 上的电场强度上的电场强度 E 。(1.2)由库仑定律，一个静止电荷由库仑定律，一个静止电荷Q所激发的电场强度为所激发的电场强度为(1.3)/qEF304QrrEElectr

4、ic Field and its intensity3. 电场具有叠加性。即多个电电场具有叠加性。即多个电荷所激发的电场等于每个电荷荷所激发的电场等于每个电荷所激发的电场的矢量和。所激发的电场的矢量和。a.电荷不连续分布时，总电场电荷不连续分布时，总电场强度是强度是:(1.4)b.电荷连续分布在某一区域内时，电荷连续分布在某一区域内时，(1.5)304i iiiQr rE30()d4Vrx rEP点电场强度为点电场强度为三、高斯定理和电场的散度三、高斯定理和电场的散度1.高斯定理高斯定理（GaussGauss theorem) theorem)高斯定理是讨论闭合曲面上电场强度高斯定理是讨论闭合

5、曲面上电场强度E的通量。在点电荷的通量。在点电荷场中，设场中，设 S 表示包围着点电荷表示包围着点电荷 Q 的一个闭合面，的一个闭合面，dS 为为S上的定向面元，以外法线方向为正。上的定向面元，以外法线方向为正。SQrEdd SdSSSrQSrSEd41d30SSrQrdcos4130SSrQdcos4120所以：所以：(1.6)如果点电荷如果点电荷 Q 在在 S 面外，则面外，则需要说明的是，当封闭曲面需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷内的总电荷Q=0时，时，但不能由此得出但不能由此得出S面上各点的场强面上各点的场强0E穿入的情况。从物理上说穿入的情况。从物理上说, 因为因为E是由封闭面是

6、由封闭面S内、外所有电内、外所有电荷激发的场强的矢量和。荷激发的场强的矢量和。的结论。从数学上的结论。从数学上说，说，是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有SSrSQ20d41dSESQd410SQ d4100dSSE0dSSE0dQSSE0dSSE讨论：讨论：a.当区域内有多个点电荷时当区域内有多个点电荷时(1.6)b.当区域内电荷连续分布时当区域内电荷连续分布时(1.7)注意积分区域注意积分区域 S 和和V 的对应关系。的对应关系。结论：结论：闭合面的闭合面的E通量与通量与V 外的电荷分布无关。外的电荷分布无关。这就是高斯定理的积分形式。这就是高斯定理

7、的积分形式。iiSQ01dSEVSVd1d0SE2.电场的散度电场的散度将高斯公式将高斯公式:代入（代入（1.7）式）式得：得：(1.8)这就是高斯定理的微分形式。它是电场的一个微分方程。这就是高斯定理的微分形式。它是电场的一个微分方程。上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。0( )( )xE x（divergence of electrostatic field) )01ddVVVVE当积分区域无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：当积分区域

8、无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：01ddVVE所以所以VSVddESE式（式（1.8）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。四、静电场的旋度四、静电场的旋度要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。 计算一个点电荷计算一个点电荷Q所激

9、发的电场所激发的电场E对任一闭合回路对任一闭合回路L的的环量，由库仑定理得环量，由库仑定理得LLrQlrlEd4d30设设dl与与r的夹角为的夹角为，上式最终，上式最终为为右边被积函数是一个全微分。右边被积函数是一个全微分。沿沿L回路积分为零。所以：回路积分为零。所以：(1.9)LLrrQ20d4dlELrQ1d400d LlE即：即：则由面积元的任意性得则由面积元的任意性得(1.10)这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场的情况下成立。的情况下成立。0)(xE小结：小结：（1.8）和）和(1.10)给出了静电场的散度和旋度，它

10、们表示电荷给出了静电场的散度和旋度，它们表示电荷激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规律。律。它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静电情形下电场没有旋涡状结构。过；在静电情形下电场没有旋涡状结构。0d)(dSLSxElE例：电荷例：电荷Q均匀分布于半径为均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，的球体内，求各点的电场强度，解：作半径为解：作半径为r的球的球(与电荷球体同

11、心与电荷球体同心)。由对称性，在球面上。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当，并沿径向。当ra时，球面时，球面所围的总电荷为所围的总电荷为Q，由高斯定理得，由高斯定理得因而，因而，写成矢量式得写成矢量式得(1.11)204QEr30.4QrrE()ra并由此直接计算电场强度的散度。并由此直接计算电场强度的散度。024dQErSSE若若ra时时E应取应取(1.11)式，在这个式，在这个3333344334/3QQrrraa30.4QarE()ra30,(0)rrr区域区域 r0，由直接计算可得，由直接计算可得30324daQrErSSE因而，因而

12、，当当ra时，通过圆内的总电流为时，通过圆内的总电流为I，用安培环路定理得，用安培环路定理得由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆磁场强度，并由此计算磁场的旋度。磁场强度，并由此计算磁场的旋度。IrBL02dlB周环绕方向。周环绕方向。(2) 若若ra)2202daIrrBLlB用柱坐标的公式求磁场的旋度：用柱坐标的公式求磁场的旋度：(1) 当当ra时由我们求出的时由我们求出的B得出得出(2) 当当ra时，由上面的式子得时，由上面的式子得因而，得出因而，得出022IreaB1()0rzBerB ezrr B002zIeaBJ(ra)

13、(ra)第三节第三节 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组Maxwells equations实验发现实验发现:电荷激发电场电荷激发电场,电流激发磁场电流激发磁场,而且变化而且变化着的电场和磁场可以互相激发着的电场和磁场可以互相激发,电场和磁场成为统电场和磁场成为统一的整体一的整体电磁场。电磁场。与恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是：与恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是：（1）变化磁场激发电场；）变化磁场激发电场； （2）变化磁场激发电场。）变化磁场激发电场。（法拉第电磁感应定律）（法拉第电磁感应定律）（麦克斯韦位移电流假设）（麦克斯韦位移电流假设）一、变化磁场激发电场一、变化磁场激发电场1.电磁

14、感应定律电磁感应定律1831年法拉第发现当磁场发生变化时年法拉第发现当磁场发生变化时,附近闭合线圈中有电附近闭合线圈中有电流通过流通过,并由此总结出电磁感应定律并由此总结出电磁感应定律: 感应感应电动势的大小：电动势的大小：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比变化率成正比。E Et dd感应电动势的方向：感应电动势的方向：实验结果：当通过实验结果：当通过S的磁通量增加时，在线圈的磁通量增加时，在线圈L上的感应上的感应电动势与我们规定的电动势与我们规定的L的围绕方向相反，因此用负号表示。的围绕方向相反，因此用负号表示。如图如图:

15、 L为闭合线，为闭合线，S为为L所所围的一个曲面，围的一个曲面， dS为为S上上的一个面元。的一个面元。我们规定：我们规定：L的围绕方向的围绕方向与与dS的法线方向成右手的法线方向成右手螺旋关系。螺旋关系。国际单位制中，电磁感应定律为：国际单位制中，电磁感应定律为：感应电流表明空间中存在着电感应电流表明空间中存在着电场。电磁感应现象的实质是变场。电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。互作用的一个方面。（3.1）BEE ESttSB ddddd2. 磁场激发的电场强度：磁场激发的电场强度：因

16、此电磁感应定律可写为因此电磁感应定律可写为感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，即感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，即若回路若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中的对是空间中的一条固定回路，则上式中的对t的全微商的全微商可代为偏微商：可代为偏微商：LlEd感E ESLtSBlEdddd感SLtSBlEdd感化为微分形式后可得：化为微分形式后可得：这是磁场对电场作用的基本规律。由上式可以看出，这是磁场对电场作用的基本规律。由上式可以看出，感应电场是有旋场。感应电场是有旋场。感应电场是由变化着的磁场激发的窝旋状的场，所以场线感应电场是由变化着的磁场激发的窝旋状的场，所以场线是闭合的，即所

17、谓的横场。是闭合的，即所谓的横场。0E感由于场线闭合，所以由于场线闭合，所以, 由此由此, 我们得到我们得到t BE感t BEEE）（感静0/(）感静EEE二、变化电场激发磁场二、变化电场激发磁场在第二节中我们指出，恒定电流线是闭合的，但在交变在第二节中我们指出，恒定电流线是闭合的，但在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约。情况下，电流分布由电荷守恒定律制约。一般说来，在非恒定情况下，电荷分布随时间变化，由一般说来，在非恒定情况下，电荷分布随时间变化，由电荷守恒定律有：电荷守恒定律有：0tJJxB0)(1.的适用条件：的适用条件：所以，电流线一般不再是闭合的所以，电流线一般不再是闭合的。现在

18、我们考察电流激发的磁场所满足的方程：现在我们考察电流激发的磁场所满足的方程：两边取散度，左边两边取散度，左边因此只有当因此只有当但是，在非恒定电流情形下，一般有但是，在非恒定电流情形下，一般有JxB0)(0)(B0 J时等式才能成立。时等式才能成立。0 J所以，方程所以，方程JxB0)(只适用于恒定电流激发的磁场只适用于恒定电流激发的磁场。2.位移电流的引入位移电流的引入把上述情况推广的一个方案是假设存在一个称为位移电把上述情况推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量流的物理量JD，它和电流，它和电流J合起来构成闭合的量，即合起来构成闭合的量，即并假设位移电流并假设位移电流JD与电流与

19、电流J 一样产生磁效应，即把（一样产生磁效应，即把（2.11)式修改为式修改为此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。0)(DJJ)()(0DJJxB根据上述假定可找到定义根据上述假定可找到定义JD的方法。的方法。以及电荷密度与电场散度的关系式以及电荷密度与电场散度的关系式两式联立，得：两式联立，得：0tJ0/ E0)(0EJt由电荷守恒定律由电荷守恒定律0)(0tEJ由上式可知，位移电流实质上是电场的变化率，它是麦克由上式可知，位移电流实质上是电场的变化率，它是麦克斯韦首先引入的。位移电流假设的正确性由以后关于电磁斯韦首先引入的。位移电

20、流假设的正确性由以后关于电磁波的广泛实践所证明。波的广泛实践所证明。tDEJ0是位移电流的最佳定义，由此是位移电流的最佳定义，由此可见，可见，tDEJJJB0000)(关于磁场的另一规律关于磁场的另一规律0 B，由于不存在自由磁核，由于不存在自由磁核而仍然成立。而仍然成立。三、麦克斯韦方程组三、麦克斯韦方程组1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组t BE0 Bt EJB0000 E(1)(2)(3)(4)2.麦克斯韦方程组的特点和物理意义麦克斯韦方程组的特点和物理意义特点：特点：a. 它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律。磁场内部运动的

21、规律。b. 在在和和J为零的区域，电场和磁场通过本身的互相为零的区域，电场和磁场通过本身的互相激发而运动传播。激发而运动传播。物理意义：物理意义：a. 麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律。麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律。b. 它也揭示了电磁场可以独立于电荷与电流之外而它也揭示了电磁场可以独立于电荷与电流之外而存在。存在。四、洛伦兹力公式四、洛伦兹力公式麦氏方程组反映了电荷电流激发场以及场内部运动的规律，麦氏方程组反映了电荷电流激发场以及场内部运动的规律，而场对电荷体系的作用，则由洛伦兹公式给出。而场对电荷体系的作用，则由洛伦兹公式给出。对于带电粒子系统来说对于带电粒子系统来说 , 若粒

22、子电荷为若粒子电荷为e , 速度为速度为v , J等于等于单位体积内单位体积内ev 之和。把电磁作用力公式用到一个粒子上，之和。把电磁作用力公式用到一个粒子上，得到一个带电粒子受到磁场的作用力得到一个带电粒子受到磁场的作用力)(BvEBJEf)BvEFee已知一个电荷系统的偶极矩定义为已知一个电荷系统的偶极矩定义为( )(, )dVttVpxx利用电荷守恒定律证明：利用电荷守恒定律证明：d(, )ddVtVtpJ x证：证：dd(, )dddVtVttpxx( )(, )dVttVpxx因为因为所以所以 (, )dVtVtxx(, )dVtVtxx()dVV J x11d()ddVee Vt

23、pJ x1()dVx V J)()()(111JJJ xxx因为因为JJJ)()()(111xxx所以所以111d()d()ddVVexVxVt pJJ因为闭合曲面因为闭合曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这个为电荷系统的边界，所以电流不能流出这个边界，故边界，故11dddxVeJVtp从而从而VxSVJxdd)(11SJ0d)(1SxSJ22dddxVeJVtp同理同理33dddxVeJVtp所以所以dddVVtpJdd(, )dddVtVttpxx( )(, )dVttVpxx因为因为所以所以 (, )dVtVtxx(, )dVtVtxx()dVV J x方法方法II:根据并矢的散度

24、公式根据并矢的散度公式gfgffg)()()(，得：，得：所以所以JxJxJxJxJ)()()()(JxJxJ)()(d()dddVVVVt pJxJVSVdd)(JSxJVVdJ第四节第四节 介质的电磁性质介质的电磁性质 关于介质的概念关于介质的概念 介质的极化介质的极化 介质的磁化介质的磁化 介质的麦克斯韦方程组介质的麦克斯韦方程组Electromagnetic Property in Medium介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但因介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但因分子的无规则热运动，在物理小体积内的平均电偶极矩为分子的无规则热运动，在物理小体积内的平均电偶极矩

25、为零，故没有宏观上的电偶极矩分布。零，故没有宏观上的电偶极矩分布。一、介质的概念一、介质的概念1.概念：概念：介质由分子组成。从电磁学观点看来，介质是一个带电粒介质由分子组成。从电磁学观点看来，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。2.电介质的分类：电介质的分类：介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极矩。介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极矩。3. 介质的极化和磁化现象介质的极化和磁化现象分子是电中性的。没有外场时，介质内部的宏观磁场为零。分子是电中性的。没有外场时，介质内部的宏观磁场为零。有外场时

26、，介质中的带电粒子受到场的作有外场时，介质中的带电粒子受到场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子的取向以及分子电用，正负电荷发生相对位移，有极分子的取向以及分子电流的取向呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现流的取向呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。象。由于极化和磁化，介质内部及表面出现宏观的电荷电流分由于极化和磁化，介质内部及表面出现宏观的电荷电流分布，即束缚电荷和磁化电流。宏观电荷电流反过来又激发布，即束缚电荷和磁化电流。宏观电荷电流反过来又激发起附加的宏观电磁场，从而叠加外场而得到介质内的总电起附加的宏观电磁场，从而叠加外场而得到介质内的总电磁场。磁场。介质的极化：介质

27、中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。传导电流

28、：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。二、介质存在时电场的散度和旋度方程1 1、极化强度、极化强度 VpPiVlim02 2、极化电荷密度、极化电荷密度 PPSVPSdPdV由于极化，分子或原子的正负电荷发由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移，体积元内一部分电荷因极化生位移，体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部，同时外部也有电荷而迁移到的外部，同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷（又称为束缚有可能出

29、现净余的电荷（又称为束缚电荷）。电荷）。 二、介质的极化二、介质的极化1.介质的极化介质的极化 电极化强度矢量电极化强度矢量P ：在外场作用下，电介质内部出现：在外场作用下，电介质内部出现VipP宏观电偶极矩分布，用电极化强度矢量宏观电偶极矩分布，用电极化强度矢量P描述。描述。介质介质1pi = pP = n pSSdPSdpnSdlnq二、介质的极化二、介质的极化束缚电荷密度束缚电荷密度p和电极化强度和电极化强度P之间的关系之间的关系如右图：我们用简化模型来描如右图：我们用简化模型来描述介质中的分子。设每个分子述介质中的分子。设每个分子由相距为由相距为l 的一对正负电荷的一对正负电荷q 构成

30、。构成。由图可见，当偶极子的负电荷处由图可见，当偶极子的负电荷处于体积于体积l dS内时，同一偶极子内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面的正电荷就穿出界面dS外边。外边。设单位体积内分子数为设单位体积内分子数为n，则穿，则穿出出dS外面的正电荷为：外面的正电荷为：对包围区域对包围区域V的闭合界面的闭合界面S积分，则由积分，则由V 内通过界面内通过界面S穿出去穿出去的正电荷为：的正电荷为：SPSpSldddnnqSSP d由于介质是电中性的，它也等于由于介质是电中性的，它也等于V 内净余的负电荷。即有内净余的负电荷。即有SVVSP ddP把面积分化为体积分，可得上式的微分形式把面积分化为体积分，可

31、得上式的微分形式PP 两介质分界面上的束缚电荷的概念两介质分界面上的束缚电荷的概念在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种物质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。两种物质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。n 两介质分界面上的束缚电荷的概念两介质分界面上的束缚电荷的概念(P1 P2) dS ，以，以P表示表示侧面进入介质侧面进入介质2的正电荷为的正电荷为P2 dS ，由介质，由介质1通过薄层左侧通过薄层左侧进进SPPd)(d21PS由此，由此，n为分界面上由介质为分界面上由介质1指向介质指向介质2的法线。的法线。)(21PPPnSPS

32、pSldddnnq如图：由公式如图：由公式可知，通过薄层右可知，通过薄层右入薄层的正电荷为入薄层的正电荷为P1 dS ，因此，薄层内出现，因此，薄层内出现的净余电荷的净余电荷为为束缚电荷面密度，有束缚电荷面密度，有Sd)(21nPP2.介质与场的相互作用介质与场的相互作用介质与场的作用是相互的介质与场的作用是相互的.介质对宏观场的作用就是通过束缚介质对宏观场的作用就是通过束缚在实际问题中在实际问题中,束缚电荷不易受实验条件限制束缚电荷不易受实验条件限制,我们我们电荷激发电场电荷激发电场.因此因此,在麦氏方程中的电荷密度包括自由电荷在麦氏方程中的电荷密度包括自由电荷Pf0 Ef0)(PE引入电位

33、移矢量引入电位移矢量D，定义为，定义为PED0可以得可以得f D密度密度和束缚电荷密度和束缚电荷密度,故有故有可以将其消去可以将其消去,得：得： D和和E之间的实验关系之间的实验关系对于一般各向同性线性介质，极化强度和电场对于一般各向同性线性介质，极化强度和电场e称为介质的极化率。称为介质的极化率。EP0e，EEEPED000)1 (re，0re1r之间有简单的线性关系之间有简单的线性关系于是于是在没有外场时，介质不在没有外场时，介质不出现宏观电流分布，在出现宏观电流分布，在外场作用下，分子电流外场作用下，分子电流出现有规则分布，形成出现有规则分布，形成了宏观电流密度了宏观电流密度JM 1.磁

34、化电流密度与磁化强度的引入磁化电流密度与磁化强度的引入三、介质的磁化三、介质的磁化宏观磁化电流密度宏观磁化电流密度JMmi=mM=n m1.磁化电流密度与磁化强度的引入磁化电流密度与磁化强度的引入三、介质的磁化三、介质的磁化分子电流可以用磁偶极矩描述，把分子电流看作载有电分子电流可以用磁偶极矩描述，把分子电流看作载有电流流i的小线圈，线圈面积为的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩，则与分子电流相应的磁矩为为m=ia，介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁，介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度化强度M，其定义为：，其定义为：磁化强度磁化强度MVimM2.磁化电流密度与磁化磁化电

35、流密度与磁化强度的关系强度的关系由图可见，若分子电流被边由图可见，若分子电流被边界线界线L链环着链环着,这分子电流就这分子电流就对对S的电流有贡献。在其他的电流有贡献。在其他情形下情形下,或者分子电流根本不或者分子电流根本不通过通过S,或者从或者从S背面流出来背面流出来后再从前面流进后再从前面流进,所以对所以对IM没没贡献。因此贡献。因此,通过通过S的总磁化的总磁化电流电流JM 等于边界线等于边界线L所链环所链环着的分子数目乘上每个分子着的分子数目乘上每个分子的电流的电流i。图示边界线图示边界线L上的一个线元上的一个线元dl。设。设分子电流圈的面积为分子电流圈的面积为a.由图可见，由图可见，若

36、分子中心位于体积为若分子中心位于体积为a dl 的柱的柱体内，则该分子电流就被体内，则该分子电流就被dl所穿过。所穿过。因此，若单位体积分子数为因此，若单位体积分子数为n，则，则被边界线被边界线L链环着的分子电流数目链环着的分子电流数目为为此数目乘上每个分子的电流此数目乘上每个分子的电流 i 即得即得从从S背面流向前面的总磁化电流背面流向前面的总磁化电流以以JM表示磁化电流密度，有表示磁化电流密度，有Lnla dLLLnniIlMlmladddMLSlMSJddM把线积分变为把线积分变为M的面积分，由的面积分，由S的任意性可得微分形式的任意性可得微分形式3.极化电流极化电流JP 定义：定义：当

37、电场变化时，介质的极化强度当电场变化时，介质的极化强度P发生变化，这发生变化，这种变化产生另一种电流种变化产生另一种电流,称为极化电流。称为极化电流。 由由xi是是V内每个带电粒子的位置，其电荷为内每个带电粒子的位置，其电荷为ei 。MJMVeiixPPJvxPVeVettiiii可得极化电流密度的表示式可得极化电流密度的表示式是通过诱导电流是通过诱导电流JP+JM激发磁场。因此，麦氏方程中的激发磁场。因此，麦氏方程中的J包括自由电流密度包括自由电流密度JP和介质内的诱导电流密度和介质内的诱导电流密度JP+JM在在内，则在介质中的麦氏方程为内，则在介质中的麦氏方程为利用利用得得4.介质和磁场的

38、相互作用介质和磁场的相互作用介质与磁场是相互作用、相互制约的。介质对磁场的作用介质与磁场是相互作用、相互制约的。介质对磁场的作用t EJJJB0PMf01MJMt /PPJPED0t DJMBf0引入磁场强度引入磁场强度H，定义为，定义为改写上式为改写上式为 B和和H之间的实验关系之间的实验关系实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M和和H之之间有简单的线性关系间有简单的线性关系M称为磁化率。称为磁化率。MBH0t DJHfHMMHHHMHBr0M000)1（称为磁导率，称为磁导率， r为相对磁导率。为相对磁导率。由此可得：由此可得：四、介质中的麦

39、克斯韦方程组四、介质中的麦克斯韦方程组对于导电介质对于导电介质0ffBDDJHBEtt，ED，0re1r，HB，0rM1r，EJ 麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用。克斯韦方程组不再适用。 因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。场强以及界面上电荷电流的关系。 第五节第五节 电磁场边值关系电磁场边值关系

40、 边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是面电荷、电流激发附关系。由于场量跃变的原因是面电荷、电流激发附加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，在两在两介质分界面上，应该用介质分界面上，应该用麦氏方程组的积分形式求解麦氏方程组的积分形式求解电磁场。边值关系就是电磁场。边值关系就是两介质分界面上经过化简以两介质分界面上经过化简以后的麦氏方程组的积分形式后的麦氏方程组的积分形式。 下面我们分别求出场量的法向

41、分量和切向分量下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量的跃变。的跃变。麦氏方程组的积分形式为：麦氏方程组的积分形式为：(1)(2)(3)(4)我们先从最简单的开始。在分界面上化简我们先从最简单的开始。在分界面上化简0dSB0dddddddddddfSVSSLSLVQtItSBSDSDlHSBlE当柱体的厚度趋于零时当柱体的厚度趋于零时,对侧面对侧面的积分趋于零的积分趋于零,对上下底面积分对上下底面积分得得(B2nB1n) S=0 。1. 关于磁感强度的边值关系：关于磁感强度的边值关系：0dSB将方程将方程应用到两介质应用到两介质2B1BB2n=B1n或矢量形式：或矢量形式：n(B2- -B1)

42、=0此式表示界面两侧此式表示界面两侧B的法向分量连续。的法向分量连续。由此得到：由此得到：分界面上的一个扁平状柱体表面。分界面上的一个扁平状柱体表面。上式左边的面积分遍及柱体的上上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面。下底和侧面。质边界上的一个扁平状柱体表质边界上的一个扁平状柱体表面。上式左边的面积分遍及柱面。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面。当柱体的体的上下底和侧面。当柱体的厚度趋于零时厚度趋于零时,对侧面的积分趋对侧面的积分趋于 零于 零 , 对 上 下 底 面 积 分 得对 上 下 底 面 积 分 得(D2nD1n) S 。2. 关于电位移的边值关系：关于电位移的边值关系：2D1D

43、将方程将方程应用到两介应用到两介fdQSD(D2nD1n) S =f S 即即D2nD1n=f n(D2- -D1)=f或矢量形式：或矢量形式：由此得到：由此得到：为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏方程方程:上式左边的面积分遍及柱体的上下上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面底和侧面,Qf和和Qp分别为柱体内的总分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷自由电荷和总束缚电荷,它们等于相它们等于相应的电荷面密度应的电荷面密度f 和和p乘以底面积乘以底面积S。当柱体的厚度趋于零时。当柱体的厚度趋于零时,对侧对侧Pf0dQQSE应用到两介质

44、边界上的一个扁平应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。状柱体。面的积分趋于零面的积分趋于零,对上下底面积分得对上下底面积分得0(E2nE1n) S 。如右图如右图:通过薄层右侧面进通过薄层右侧面进入介质入介质2的正电荷为的正电荷为:- -P2dS ，由介质，由介质1通过薄通过薄层左侧进入薄层的正电荷层左侧进入薄层的正电荷为为P1dS ，因此，薄层内，因此，薄层内出现的净余电荷为出现的净余电荷为(P2 P1) dS ，以，以P表示束缚电荷面密表示束缚电荷面密度，有度，有0(E2nE1n) S = Qf+Qp0(E2nE1n) =f+p SPPd)(d21PS)(21PPPn由此，由此，n为分界面上

45、由介质为分界面上由介质1指向介质指向介质2的法线。的法线。由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，Dn的跃的跃变与自由电荷面密度相关，变与自由电荷面密度相关，En的跃变与总电荷面密度相关。的跃变与总电荷面密度相关。P12nnPP与与0(E2nE1n) =f+p 相加，相加，将将利用利用得：得：nnnnnn22021101PEDPED，f12nnDD由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚电荷在边由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况下只给出自由电荷，值关系中所起的作用。由于在通常情况下只给出自由

46、电荷，因而实际上主要应用关于因而实际上主要应用关于Dn的边值关系式。的边值关系式。面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，我们可面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向分量生跃变。以证明面电流分布使界面两侧磁场切向分量生跃变。面电流分布面电流分布:面电流实际上是在靠近表面面电流实际上是在靠近表面的相当多分子层内电流的平的相当多分子层内电流的平均宏观效应。均宏观效应。3. 关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系：我们先说明表面电流分布的概念。我们先说明表面电流分布的概念。图示为界面的一部分，其上有面图示为界面的一部分，其上有面电流，其线密度为电

47、流，其线密度为，l为横截为横截线，垂直流过线，垂直流过l段的电流为段的电流为:I=l关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系：旁取一狭长形回路，回路的一长边旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质在介质1中，另一长边在介质中，另一长边在介质2中。中。长边长边l与面电流与面电流正交。正交。定义电流线密度定义电流线密度，其大小等于垂，其大小等于垂直通过单位横截线的电流。直通过单位横截线的电流。由于存在面电流，在界面两侧的磁由于存在面电流，在界面两侧的磁如图，在界面两如图，在界面两场强度发生跃变。场强度发生跃变。在狭长形回路上应用麦氏方程：在狭长形回路上应用麦氏方程：SLtISDlHddddf取回

48、路上下边深入到足够多分子层取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全通过回路内部。内部，使面电流完全通过回路内部。其中其中t表示沿表示沿l的切向分量。的切向分量。lHHL)(d1t2tlHIf=fl由于回路所围面积趋于零，由于回路所围面积趋于零，而而D/t为有限量，因而为有限量，因而0dddStSD从宏观来说回路短边的长度仍从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零，因而有可看作趋于零，因而有通过回路内的总自由电流为通过回路内的总自由电流为把这些式子代入把这些式子代入得得:SLtISDlHddddff12tt HH上式可以用矢量形式表示。设上式可以用矢量形式表示。设l为为界面上任一线元，界面

49、上任一线元，t为为l方向上的单方向上的单位矢量。流过位矢量。流过l的自由电流为的自由电流为对于狭长形回路，应用对于狭长形回路，应用得得lnlnfffISLtISDlHddddflnlHHlHff12)(dIL由于由于l为界面上任一矢量，因此为界面上任一矢量，因此上式再用上式再用n叉乘叉乘注意到注意到这就是磁场切向分量的边值关系。这就是磁场切向分量的边值关系。nHHf/12)()()(12/12HHnHHn0fn得到得到f12)(HHn式中式中/表示投射到界面上的矢量。表示投射到界面上的矢量。4. 关于电场强度的边值关系：关于电场强度的边值关系：即即E2tE1t=02E1EnlSLtSBlEdd

50、dd同理，应用同理，应用可得电场切向分量的边值关系。可得电场切向分量的边值关系。此式表示界面两侧此式表示界面两侧E的切向分量连续。的切向分量连续。0)(d1t2tlEELlE对应的矢量形式为：对应的矢量形式为：0)(12EEn以后在公式中出现的以后在公式中出现的和和, 除特别声明者外，都代表自由除特别声明者外，都代表自由电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标f。这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实

51、质上是边界上的场方程。边界上的场方程。0)()()(0)(12121212BBnDDnHHnEEnnnnntttt12121212BBDDHHEE或或总括我们得到的边值关系为：总括我们得到的边值关系为：同样，把边值关系应用到上板与介质同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得界面上得无穷大平行板电容器内有两层介质无穷大平行板电容器内有两层介质(如图如图)，极板上面电荷，极板上面电荷密度密度f，求电场和束缚电荷分布。，求电场和束缚电荷分布。例例:解解:由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边值关系应由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边值关系应用于下板与介质用于下板与介质1界面上，因导体内

52、场强为零，故得界面上，因导体内场强为零，故得由此可得：由此可得：f1D，f2 Df2D2f2E，1f1E束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处,f= 0，由，由0(E2nE1n) =f+p得：得：f1020120P)(EE在介质在介质1与下板分界处，由与下板分界处，由0(E2nE1n) =f+p得得10f10fP1E容易验证容易验证说明介质整体是电中性的。说明介质整体是电中性的。在介质在介质2与上板分界处，与上板分界处， 20f20fP1E0PPP 第六节 电磁场的能量和能流Energy and Energy Flow of Electromagnet

53、ic Field一、场和电荷系统的能量守恒定律一、场和电荷系统的能量守恒定律电磁场是一种物质，它具有内部运动，其能量按一定方电磁场是一种物质，它具有内部运动，其能量按一定方式分布于场内。而且由于场的运动，场的能量并不是固式分布于场内。而且由于场的运动，场的能量并不是固定地分布于空间中，而是随着场的运动在空间中传播。定地分布于空间中，而是随着场的运动在空间中传播。因此，各处的场，能量可能变化，我们需要引人两个物因此，各处的场，能量可能变化，我们需要引人两个物理量来描述。理量来描述。1. 场的能量密度场的能量密度 （用（用w表示）表示）2. 场的能流密度矢量场的能流密度矢量 （用（用S 表示）表示

54、）S描述能量在场内的传播，在数值上等于单位时间垂直描述能量在场内的传播，在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。它是场在单位体积内的能量。是坐标和时间的函数，记它是场在单位体积内的能量。是坐标和时间的函数，记作作w(x,t)。能量既不能凭空产生，也不能无缘无故地消失，它只能能量既不能凭空产生，也不能无缘无故地消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个地方转移到另从一种形式转化为另一种形式，或从一个地方转移到另一个地方。一个地方。能量守恒的积分形式能量守恒的积分形式:通过界面通过界面 流入流入V内的能量内的能量场对

55、电荷系统场对电荷系统作功的功率作功的功率V内场的能量内场的能量的增加率的增加率VwtVdddddvfS3. 场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式对于电磁场和电荷组成的系统，能量的转化和转移都是对于电磁场和电荷组成的系统，能量的转化和转移都是可能的。能量的转化由作功来描述，能量的转移由能流可能的。能量的转化由作功来描述，能量的转移由能流密度来描述。密度来描述。相应的微分形式相应的微分形式:如果如果V包括整个空间，则包括整个空间，则结论结论: 场对电荷作功的总功率等于场的总能量减小率，场对电荷作功的总功率等于场的总能量减小率，vfStwVwtVddddvf因此场

56、和电荷的总能量守恒。因此场和电荷的总能量守恒。0dS二二. 电磁场能量密度和能流密度矢量的表达式电磁场能量密度和能流密度矢量的表达式由洛伦兹力公式得由洛伦兹力公式得:EJvEvBvEvf)(t DEHEEJ)(t DHJ由上式可见，由上式可见，J 应是自由电流，用场量表示出来，得到：应是自由电流，用场量表示出来，得到：所以所以1. 一般表达式一般表达式t DEEHHE)()(ttBHDEHE)(代入代入vfStw将将ttBHDEHEEJvf)(HEStttwBHDEtttwBHDEHES)(得得所以，定义：所以，定义：2. 真空中真空中在真空中，相互作用的物质是电磁场和自由电荷，能在真空中，相

57、互作用的物质是电磁场和自由电荷，能量在两者之间转移。量在两者之间转移。因此因此BES01)1(212020BEwBH01ED0在真空中在真空中3. 介质中介质中在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁场、自在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁场、自由电荷、介质。由电荷、介质。场对自由电荷作功的功率密度为场对自由电荷作功的功率密度为J E，它或者变为电荷，它或者变为电荷的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束缚电荷所作的的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储存在介质中，也可能有一功转化为极化能和磁化能而储存在介质中，也可能有一部分转化为分子热运动（介质损耗）。当外场变化时，部分转化为分子热运动（介质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发生变化，如果不计及介质损耗，则极化能和磁化能亦发生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可逆的。这种变化是可逆的。介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定，一定的介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定，一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化状态，因此我们宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一起考虑，成为介质中的总把极化能和磁化能归入场能中一起考虑，成为介质中