第六章自旋与全同粒子

1、（一）（一）Stern-Gerlach Stern-Gerlach 实验实验 ( (二）光谱线精细结构二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设（三）电子自旋假设 （四）回转磁比率（四）回转磁比率 1 电子自旋的实验证据电子自旋的实验证据第六章第六章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 赣南师范学院物理系赣南师范学院物理系（1）实验描述）实验描述 Z 处于处于 S S 态的态的氢原子氢原子 （2）结论）结论 I。氢原子有磁矩。氢原子有磁矩 因而在非均匀磁场中发生偏转因而在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的即空间量子化的 基态的氢原子束流，经非基态的

2、氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。上呈现两条分立线。 NS（一）（一）Stern-Gerlach 实验实验 （3）讨论）讨论 中中的的势势能能为为：向向外外场场则则原原子子在在，外外磁磁场场为为设设原原子子磁磁矩矩为为BZBM coszMBBMU 磁矩与磁磁矩与磁场之夹角场之夹角 原子原子 Z Z 向受力向受力 coszBMzUFzz 分析分析 若原子磁矩可任意取向，则若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带之间连续变化，感光板将呈现连续带但是实验结果是：出现的两条分立线对应但是实验结果是：出

3、现的两条分立线对应 cos = -1 和和 +1 ，处于，处于 基态的氢原子基态的氢原子 =0，没有轨，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。自旋磁矩。3p 3s 5893 3p3/2 3p1/2 3s1/2 D1 D2 5896 5890 钠原子光谱中的一条亮钠原子光谱中的一条亮黄线黄线 5893，用高分辨率，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。条谱线组成。 其他原子光谱中也可以其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些发现这种谱线由更细的一些

4、线组成的现象，称之为线组成的现象，称之为光谱光谱线的精细结构线的精细结构。该现象只有。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到考虑了电子的自旋才能得到解释解释 （二）光谱线精细结构（二）光谱线精细结构 乌伦贝克乌伦贝克 和和 高斯密特高斯密特1925年根据上述现象提出年根据上述现象提出了电子自旋假设了电子自旋假设 （1 1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：向上的投影只能取两个数值： 2 zSS（三）电子自旋假设（三）电子自旋假设 （2 2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系

5、为：关系为： SeMS自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：值： 2S zBeMM Bohr 磁子磁子 （1 1）电子自旋回转磁比率）电子自旋回转磁比率 2LeML 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是： S zzMeS （2 2）轨道回转磁比率）轨道回转磁比率 则，轨道回转磁比率为：则，轨道回转磁比率为： 2e可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍二倍 （四）回转磁比率（四）回转磁比率 2 自旋算符和自旋波函数自旋算符和自旋波函数 （一）含自旋的状态波

6、函数（一）含自旋的状态波函数 （二）自旋算符（二）自旋算符 （三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数（五）自旋波函数 （六）力学量平均值（六）力学量平均值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变三个坐标变量外，还需要一个自旋变量量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：），于是电子的含自旋的波函数需写为： ),(tSzyxz 由于由于 S

7、Z 只取只取 /2 两个值，两个值， 所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量： ),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr （一）含自旋的状态波函数（一）含自旋的状态波函数 若已知电子处于若已知电子处于Sz = /2或或Sz = - /2的自旋态，则波函的自旋态，则波函数可分别写为：数可分别写为： ),(00),(212121trtr 写成列矩阵写成列矩阵 ),(),(21trtr 规定列矩阵规定列矩阵 第一行对应于第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于第二行对应于Sz = - /2。自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 自旋角动量也是一个力学量，但是它

8、和其他力学量有着根本的差别通常的力学量都可以表通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数: : ),(prFF 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为写，记为 S（二）自旋算符（二）自旋算符 自旋角动量自旋角动量 轨道角动量轨道角动量 异同点异同点: : 与坐标、动量无关与坐标、动量无关 pr 不适用不适用

9、同是角动量同是角动量 满足同样的角动量对易关系满足同样的角动量对易关系 yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL, 自旋角动量自旋角动量轨道角动量轨道角动量由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取 /2 /2 两个值两个值所以所以 zyxSSS的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方，其平方为为 /2/22 2 2S算符的本征值是算符的本征值是 2432222zyxSSSS仿照仿照 22) 1( llL2223142(1)Ss sshh=+=自旋量子数自旋量子数s s 只有一个数值只有

10、一个数值 （1） SZ的矩阵形式的矩阵形式 电子自旋算符（如电子自旋算符（如SZ）是）是作用于电子自旋波函数上作用于电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示的，既然电子波函数表示成了成了21 的列矩阵，那的列矩阵，那么，电子自旋算符的矩阵么，电子自旋算符的矩阵表示应该是表示应该是 22 矩阵。矩阵。 2zabScd因为因为1/2 描写的态，描写的态，SZ有确定值有确定值 /2，所以，所以1/2 是是 SZ 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 /2，即有：，即有：11222zS 矩阵形式矩阵形式 0),(20),(211trtrdcba （三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pa

11、uli 矩阵矩阵 0111 ca 01ca同理对同理对1/2 处理，有处理，有 ),(02),(0222trtrdcba 2220 db 10db最后得最后得 SZ 的矩阵的矩阵形式形式 10012zSSZ 是对角矩阵，是对角矩阵，对角矩阵元是其本对角矩阵元是其本征值征值 /2。（2）Pauli 算符算符 1. Pauli 算符的引进算符的引进 2 S令令222xxyyzzSSS分分量量形形式式 2iSiSS 对对易易关关系系： yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：因为因为S Sx x, S, Sy y, S, Sz z的本征值都是的本征值都是 /2/2， 所以所以x

12、 x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 1222zyx2. 2. 反对易关系反对易关系 基于基于的对易关系，可的对易关系，可 以证明以证明各分量之间满各分量之间满 足反对易关系足反对易关系: : 000zxxzyzzyxyyx 证：证： 我们从对易关系我们从对易关系: xyzzyi2出发出发 左乘左乘y xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 xyyzyzi 2 右乘右乘y yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加 0 xyyx 同理可证同理可证:x, y 分量的反对易关系亦成立分量的

13、反对易关系亦成立.证毕证毕 xyyx 或或 y2=1 由对易关系和由对易关系和反对易关系还反对易关系还可以得到关于可以得到关于 Pauli 算符的如算符的如下非常有用性下非常有用性质：质： yzxxzxyzzyzxyyxiii 3. Pauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式 根据定义根据定义 2210100101zzzS求求Pauli 算符的其他两个分量算符的其他两个分量 令令 dcbax 利用反对利用反对易关系易关系 zxxz 10011001dcbadcba得得： dcbadcba 00daX 简化为：简化为： 00 xbc*20000 xcccc 22|00|ccI1|2 c令：令：c =

14、 expi (为实），则为实），则 00ixiee由力学量算由力学量算符厄密性符厄密性 000000*cbbccbxx 得：得：b = c* (或或c = b*) *00 xccx2 = I 求求y 的矩阵形式的矩阵形式 出出发发由由xzyxzyii 100010iyieie 得得： 00)()( iiee这里有一个相位不定性，习惯上取这里有一个相位不定性，习惯上取= 0，于是得到，于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：算符的矩阵形式为： 0101010001xyzii写成矩阵形式写成矩阵形式 从自旋算符与从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵

15、表示：矩阵表示： 0 101010001222xyziSSSi课堂练习：（1）由对易关系和反对易关系得出由对易关系和反对易关系得出 yzxxzxyzzyzxyyxiii （2）由自旋算符的矩阵形式得出上式。）由自旋算符的矩阵形式得出上式。（1 1）归一化）归一化 电 子 波 函电 子 波 函数表示成数表示成 ),(),(21trtr 矩阵形矩阵形式后，式后， 波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即积分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度

16、（2）几率密度）几率密度 ),(tr 2221| ),(),(21trtr 表示表示 t 时刻在时刻在 r 点附近点附近 单位体积内找到电子的几率单位体积内找到电子的几率 表示表示t时刻时刻r点处点处 单位体积内找到自旋单位体积内找到自旋 Sz= /2的电子的几率的电子的几率表示表示t时刻时刻 r点处单位点处单位 体积内找到体积内找到 自旋自旋 Sz = /2 的电子的几率的电子的几率 dtr),(1 在全空间找到在全空间找到Sz = /2的电子的几率的电子的几率 dtr),(2 在全空间找到在全空间找到 Sz = /2 的电子的几率的电子的几率波函数波函数 21 通常自旋和轨道运动之间是有相

17、互作用的，所以电通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，此时互作用很小时，可以将其忽略，此时可以写成如可以写成如下形式：下形式： ( , )( , ) ()zzr S tr tS（五）自旋波函数（五）自旋波函数 其中其中 是是 的本征函数，称为的本征函数，称为自旋波函数自旋波函数z zS Sz z( (S S ) )求：自旋波函数求：自旋波函数(Sz) SZ 的本征方程的本征方程 )(2)(zzzSSS 令令 的自旋波函数，即的自旋波函数，即和和分别为本征值分别为本征值和和2

18、2)()(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS 因为因为 Sz 是是 2 2 矩阵，所以在矩阵，所以在 S2, Sz 为对角矩阵的表象为对角矩阵的表象内，内，1/2, -1/2 都应是都应是 21 的列矩阵。的列矩阵。 43212121aaaa 代入本征方程得：代入本征方程得： 2121210012aaaa 2121aaaa 0211aaa由归一化条件确定由归一化条件确定a1 11|100111*1 aaaa所以所以 0121 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交 001102121 1021 同同理理引进自旋后，任一自旋