13因式分解复习课

1、14.3.3因式分解复习课1 .内容和内容分析（1）内容因式分解的概念，提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）（2）内容分析因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系.因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具提公因式法是因式分解的基本方法.通过逆向运用分配律，将多项式中各项的公因式提到括号外边，从而把多项式分解为此公因式与多项式剩余部分所组成的因式的积.其中，公因式可以是单项式，也可以是数或多项式.提公因式法分解因式的关键是找准公因式.运用公式法进行因式分解是逆

2、向运用平方差公式、完全平方公式将多项式转化成几个整式相乘的形式，其关键是分析多项式结构特征选用适当的公式进行因式分解2 .学情分析（1）学生的知识技能基础：学生在八年级上册第十四章中已经学习过了整式乘法和因式分解，在整式乘法的学习过程中已掌握了平方差公式和完全平方公式，在因式分解的过程中也已经经历了平方差公式和完全平方公式的逆运用过程，但灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解还有所欠缺（2）学生活动经验基础：通过基于智慧教室的整式乘法和提公因式法、公式法因式分解的学习，学生积累了一定的学习经验，本节课基于智慧教室的学习模式与前面学习模式基本相同：课前小测（辨析因式分

3、解、分析公式的结构特征）、针对训练（提公因式法、公式法，变式训练）、综合提高（自由组合、几何验证），这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验基于以上分析，确定本节课的教学目标.3 .教学目标(1)知识与技能：进一步理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系，并能正确判别因式分解；根据多项式的项数和特点会灵活运用提公因式法、运用公式法来分解因式，注意因式分解的彻底性；通过借助电子白板进行拼图实验，用几何图形面积验证平方差公式、完全平方公式，从“形的角度理解数”的恒等变形，从而掌握部分多项式的因式分解.(2)过程与方法：通过关于因式分解问题串，发展数学的运算能力和

4、运用因式分解解决问题的应用意识；通过基于智慧教室的问题解决过程中的数据分析，有针对性地解决因式分解中的疑难问题，熟练掌握运用三种方法进行因式分解；通过电子白板进行拼图实验，借助几何直观理解部分多项式的因式分解，初步体会数形结合思想.(3)情感态度价值观：通过运用逆向思维解决问题过程，克服思维定势，形成代数意识和严谨的学习态度；通过基于智慧教室的互动交流，发展竞争意识和合作意识4 .教学重、难点(1)教学重点：掌握提公因式法、公式法进行因式分解，并能根据题意灵活选择运用用几何图形的拼图实验验证平方差公式、完全平方公式（2）教学难点：根据多项式的形式和特征，恰当地选择提公因式法、公式法进行因式分解

5、；用几何图形的拼图实验验证两数差的完全平方公式5 .教学过程5.1 知识回顾本章我们已学习了因式分解的相关知识，请回忆一下，回答以下问题：问题1.什么叫做因式分解？因式分解与整式乘法有何区别？把一个多项式化成了几个整式的积的形式，你这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项分解因式.（提示语：请抢答，其他同学还要补充吗？）问题2.目前，已学了哪些因式分解的方法？因式分解的方法：提公因式法、公式法一一平方差公式、完全平方公式.因式分解是将整式的和”化为整式的积”的恒等变形，它与整式乘法是互为逆变形关系.整体代换数学方法因式分解数学思想概念t“整数的和"LJttL“整数的积”

6、'提公因法tma+mbL4B3L工m（a+b）单项式乘以多项式基本方法%、一a2-b2|.JSlt工（a+b）（ab）平方差公式1a2±2ab+b214Q3£X（a土b）2完全平方公式先看是否能用提公因法；一般步骤1再看是否能用公式；!因式分解是否彻底.数形结合思想:从左到右红色（因式分解）；从右往左蓝色总结，并板书：彩色粉笔，方向上加以区别（整式乘法）下面我们一起带着这些问题进行复习.5.2 知识复习反馈问题1课前检测1 .下列各等式中，从左边到右边的变形属于因式分解的是()A.6a2bD.x-2xy+y三项式，符合完全平万公式的特征；总结：(1)断能否使用平方差

7、公式进行因式分解，判断的依据：是一个二项式(或可看成一个二项式)；每项可写成平方的形式；两项的符号相反.(2)判断能否使用完全平方公式进行因式分解，判断的依据：多项式是三项式(或可看成一个三项式)；其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；另一项是这两数或两式乘积的2倍.【活动形式】采用IRS反馈系统，一题一个PPT页面，限时统计，即时统计学生的作答情况，请选对的同学说一说，如何解决问题，其他同学补充(提示语：其他同学还有补充吗？)=2a23b3b,a2a1=(a1)2422.2C.(a2)(a-2)=a-4d,a-8a-9=a(a-8)-92.3解析：a.6a2b3是单项式，因

8、式分解的对象是多项式；B.正确选项；等式左边是三项式，符合完全平方公式的特征；2,C. (a+2)(a2)=a4是整式的乘法；2D. a28a9=a(a-8)9恒等变形，等式右边仍为整式的和的形式.2,下列各式不.熊用公式法进行因式分解的是()22222222A.xyB.-xyC,x2xyyD.x-2xy+y解析：A,正确选项,两项式，平方和但不符合平方差公式特征；2222B,两项式-x+y=y-x符合平万差公式特征.；22C.x+2xy+y三项式，符合完全平万公式的特征【设计意图】知识的灵活应用，必须对已有知识的理解后才能内化为自己的思维活动，然后做出相应的判断.题1复习因分解的意义，通过本

9、题练习，让学生明确：因式分解是将整式的和”化为整式的积”的恒等变形，它与整式乘法是互为逆变形关系；题2巩固平方差公式和完全平方公式进行因式分解.问题2针对训练1 .将下列多项式因式分解一3一2-3a-6aa32,(2)2x(x-y)-3y(y-x)追问，若改为2x(xy)-3y(y-x)如何处理总结：提公因式的方法：公因式的系数取各项整数系数的绝对值的最大公约数；第一项的系数为负，最好把负号也提出；公因式公因式可以是单项式或多项式；公因式只相差符号的多项式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式.(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置统一公因式注意根据次数奇变偶不变.

10、)【活动形式】采用IRS反馈系统，两题一个PPT页面，限时训练，学生板演，执手机巡视，记录学生的典型错误，请其他同学帮忙纠错【设计意图】第一道学生易出现漏1的错误；第二题设计公因式是多项式的问题，需要统一公因式，公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式.(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置统一公因式注意根据次数奇变偶不变.)2 .因式分解及其应用(1)a2-b2变式1.x2-116、.、22变式2.(xy)-4(x-y)变式3.-1+x416变式4.计算9582-422视情况追问：变式5.x3

11、-x(2)a2+2ab+b2a2-2abb2变式1.a22a12变式2.(xy)2(xy)12244变式3.2xy-x-y变式4.计算372+26父37+132视情况追问变式5.x3-2x2+x视情况追问变式6.(x+2)2-8x追问，若改为(x+1)(x-5)+9如何处理总结：运用公式法因式分解：若两项(或看成两项)，试一试平方差公式；若三项(或看成三项，试一试完全平方公式；因式分解一般步骤：先看能否用提公因式法，再看能否用运用公式法，最后看因式分解是否彻底.【活动形式】第(1)、(2)题的原题、变式题均同行逐个直接呈现学生集体口答，并说明用了哪一个公式，快速解决，学生说教师写；从变式3起，

12、第1、2组优先做第一个题组，第3、4题优先做第二个题组，学生对应抢权上台板演，限时训练，教师执手机巡视，拍摄学生的典型错误，然后上传至教室大屏，请其他同学帮忙纠错.第2个题组变式5,学生解完后再追问进行变式6,可点到即止.【设计意图】学以致用，运用公式法解决相关问题.第一个题组、第二个题组变式1直接运用平方差公式、完全平方公式；变式2将x+y、x-y看成一个整体，整体换元解题；变式3运用因式分解进行简便运算；变式4两次运用公式法进行因式分解；变式5涉及平方差公式、完全平方公式的乱序，易出现因式分解不彻底的情况；进行对比变式训练，培养学生的整体思想，引导学生进行题型归类.问题3综合提高一.一22

13、1 .活动一：从x,4y,8x,16这四个单项式中任选几个单项式，用加减号连接成一个多项式，并说出其因式分解的结果.9.99一一一.2_2.2_2_.x-4y,x16,8x£16,4y£16,x±8x,4y<8x,x£8x162_.22_一.2x8x16-4y,x-8x16-4y视情况追加活动：请你根据要求写出一个属于因式分解的恒等变形等式（1）既要用到提公因式法，又要用到公式法的因式分解（仅限两步因式分解）；（2）既要用到平方差公式，又要用到完全平方公式的因式分解（仅限两步因式分解）.总结：（1）断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：是一

14、个二项式（或可看成一个二项式）；每项可写成平方的形式；两项的符号相反.（2）判断能否使用完全平方公式进行因式分解，判断的依据：多项式是三项式（或可看成一个三项式）；其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；另一项是这两数或两式乘积的2倍.【活动形式】分小组竞赛，学生上台自己书写.让出题人说出出题的意图.（提示语还有没有不同的组合，并说一说自己的组合用到了哪种因式分解的方法），教师适时点评.【设计意图】教师从学生的回答中因势利导梳理出对一个多项式进行因式分解的步骤.至IJ此，学生自己设计问题，自己解答，已完全巩固因式分解基本方法，让学生充分领悟到项数特征和项的符号特征与选择因式分解

15、方法两者之间的联系，深刻体验因式分解要彻底.2.活动二：几何验证.如平方差公式、完全我们知道，用平面几何图形的面积可表示一些代数的恒等变形式平方公式.现在我在电子白板上演示一下(1)如图，已知规格(长M宽)为mMa,mMb的两个小矩形，用其拼图验证:ma+mb=m(a+b)；教师演示拼图验证;(2)如图，已知规格(长m宽)为axa,aMb,bMb若干个小矩形，用其拼图验证:a2-b2=(a+b)(ab);教师演示拼图验证；a2+2ab+b2=(a+b)2；学生抢权拼图验证；a2-2ab+b2=(a-b)2；学生抢权拼图验证；2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b),学生抢权拼图验证;22通

16、过拼图实验将多项式a+3ab+2b因式分解；ab【活动形式】分小组合作、竞赛，小组合作在纸上画草图，学生上代表上台拼图展示，若遇困难，可求助同组学生上台帮忙，教师适时点评【设计意图】数学实验，剪拼图形，立足于教材的章节知识，起步于提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)，试图帮助学生理解因式分解的算理，缝合抽象思维的缝隙，也帮助学生累积实验经验，为后续学习发展奠定基础5 .小结反思本节课你有哪些收获，请你说一说.(1)知识结构：因式分解的意义、因式分解的基本方法、因式分解的一般步骤；(2)数学思想：数形结合，由图形中隐含的一个等量关系：拼接前后面积不变，得到了一个重要的数学公式，这种方法

17、类似地可以推广到一些代数式变形中；(3)数学方法：整体代换.【活动形式】采用IRS反馈系统，抢答功能，提出问题，稍顿，开启抢答功能，让得到抢权的学生说出自己的想法，其它同学补充(提示语：其它同学们还有没有不同意见，其它同学还有没有补充意见等).【设计意图】优化建构，让知识散点在思想方法统领下串成线，铺成面，织成稳定的知识方法之网，发展衍生了学生的思维内力又提升学生的数学运算的核心素养，让小结反思的具有实效性.结语：将教师板书、学生的解题全留在黑板上，以及学生的拼图，全通过拍照记录，并通hiteachtbl传至电脑大屏，这就是我们今天上课的内容，我以pdf文件保存在电脑内，科代表可将此发布在班级

18、的QQ群内，谢谢，今天的课就上到这.作业，活页P101102.下课，同学们再见！6 .板书设计6.1 知识结构黑板手写版整体代换数学方法概念t"整数的和"“整数的积提公因法tma+mbL屋仁也m(a+b).单项式乘以多项式因式分解基本方法彳,运用公式法«22a-b(a+b)(a-b).平方差公式a2±2ab+b21苣也JL(a±b)2完全平方公式卜整式的乘法数学思想先看是否能用提公因法;般步骤再看是否能用公式；、因式分解是否彻底.数形结合思想电脑投影版6.1知识1.必做题：活页P101-102;2.选做题：从边长为a的大正方形纸板裁掉一个小正方

19、形得到如左图所示图形，右图梯形是由其剪拼而成(无剩余边角料)由从左图到右图的剪拼实验过程，可验证的等式是;运用你所得到的结论，计算982-4(不用题(1)结论，直接计算不得分)设a=152X505,b=7072303：c=8532752；则数a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是avcvb.考点：因式分解的应用.分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918,再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大.解答：解：a=152X505=225>505,b=70723032=(707303)(707+303)=404M010=808>505,c=85327522=(753+652

20、)(853752)=1705X101=851>505,所以a<c<b.故答案为：avcvb.点评：本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是运用平方差公式进行化简得出一个因数为505.8.参考练习(1)下列各等式，从左边至右边是因式分解的是(.2A.4x+8x-1=4x(x+2)-1；22B.a-b1=(ab)(ab)1;C.t2-163t=(t4)(t-4)3t;2一，一一，一、D.x9=(x+3)(x-3).(2)下列各式中从左边到右边的变形，是因式分解的是()A.(a+3)(a-3)=a2-9B.x2+x-5=(x-2)(x+3)+1C.a2b+ab2=ab(a+b)D

21、.x2+1=x(x+)x(3)若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是;(4)分解因式：8a3b2-12ab3c6a3b2c8a(x-a)4b(a-x)-6c(x-a)-x5y3x3y54(a-b)2-16(ab)2-8ax216axy-8ay2(a21)2-4a2a2-4a4-c2m22n-mn-2m(5)(2014年福建厦门)设a=192x918,b=8882302,c=105327472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列，结果是a<c<b.考点：因式分解的应用.分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918,再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大.解：a=1

22、92>918=361>918,b=8882302=(88830)(888+30)=858X918,c=105327472=(1053+747)(1053747)=1800>306=600>918,所以a<c<b.故答案为：avcvb.点评：本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是运用平方差公式进行化简得出一个因数为918.(6)图中可验证的因式分解是；a2+ab=a(a+b)ab由从左图到右图的剪拼实验过程，可验证的因式分解是a2ab_2b2=(ab)(a-2b)口QN(7)我们知道，用平面几何图形的面积可表示一些代数恒等变形式.如图，由一个边长为a的小正

23、方形和两个长、宽分别为通过整个图形面积来验证的是()2A. a+3ab=a(a+3b)B. a2+2ab+b2=(a+b)2a、b小矩形组成的大矩形，下列因式分解中，不能C. a(a2b)ab=a(a3b)D.a(a3b)-ab=a(a2b)9.教学设计说明对因式分解的理解(1)对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形由整式和的形式”化为整式积的形式；(2)方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；(3)目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；(4)最终：把一个多项式分解到不能再分解为止本节课基于智慧教室的学习分析，以“学为中心”进行教学设计.“学为中心”的“学”有两层意思，一是以学生为中心，二是以“学习”为中心，教师是课堂学习的“首席”.“学为中心”的数学课堂构成有五个本要素：一是课堂以学生学习活动为主；二是以学情分析为教学依据(特别强调课中的学情，其要关注课堂生成，把课堂生成作为十分重要的教学资源)；三是以任务为学习活动基本组成单元；四是以促进学生有意义的思维为教学活动的目的；五是以学生主动而有质量的参与为效标.有位数学教育名家说过这样