折迭问题专题讲座ppt课件

1、 图形折叠问题图形折叠问题 二二 处理翻折问题处理翻折问题 我们把翻折问题分为两类：我们把翻折问题分为两类：“依点翻折和依点翻折和“依线翻折。依线翻折。一一 认识翻折问题认识翻折问题 1.关注关注“两点一线两点一线 在翻折过程中，我们应关注在翻折过程中，我们应关注“两点，即对称点，思索两点，即对称点，思索自问自问“哪两个点是对称点哪两个点是对称点? ；还应关注；还应关注“一线，即折线，一线，即折线，也就是对称轴。这是处理问题的根底。也就是对称轴。这是处理问题的根底。 2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等重合的线段相等

2、,重合的角相等，这是处理问题的关键。重合的角相等，这是处理问题的关键。图形的翻折是图形的运动方式之一图形的翻折是图形的运动方式之一 在一张长方形在一张长方形ABCDABCD纸片纸片中，中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 点点E E，F F分别为分别为CDCD，ABAB的中点，现将这张纸的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求片按图示方式折叠，求DAHDAH的大小及的大小及EGEG的长。的长。浙教版九下浙教版九下P17题题6BCE FHGAD2010203030303031031025例例1.将矩形将矩形ABCD纸对折，设折痕为纸对折，设折痕为EF，再把，再把B点折到点折

3、到折痕线折痕线EF上见图点上见图点B，假设，假设 ，那么，那么EB=_ 3AB B AB G D C E F3303030232323例例2、有一个数学活动，其详细操作过程是：、有一个数学活动，其详细操作过程是：第一步：对折矩形纸片第一步：对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展开，把纸片展开如图如图1；第二步：再一次折叠纸片，使点第二步：再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段同时得到线段BN如图如图2请解答以下问题：请解答以下问题：1如图如图2，假设延伸，假设延伸MN交交BC于于

4、P，BMP是什么三角是什么三角形？请证明他的结论形？请证明他的结论图图1图图2p1BMP是等边三角形是等边三角形 证明：连结证明：连结AN, EF垂直平分垂直平分AB AN BN.由折由折叠知叠知 :AB BNAN AB BN ABN为等边三角形为等边三角形ABN 60 PBN 30 又又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60BMP 60MBP BMP BPM 60BMP为等边三角形为等边三角形 306030例例2、2在图在图2中，假设中，假设ABa，BCb，a、b满足什么关系，才干在矩形纸满足什么关系，才干在矩形纸片片ABCD上剪出符合上剪出符合1

5、中结论的三角形纸片中结论的三角形纸片BMP ？图图1图图2p。样的等边时，在矩形上能剪出这当中，在，则上剪出等边要在矩形纸片BMPbabaabaBPPBNaBABNBNPRtBPBCBMPABCD23,23,30cos,30cos,30,)2(000aba3323设矩形设矩形ABCD的边的边AB2，BC4，并建立如图，并建立如图3所示的直所示的直角坐标系角坐标系. 设直线设直线BM/为为y=kx，当当M/BC60时，求时，求k的值的值.此时，将此时，将ABM沿沿BM折叠，折叠，点点A能否落在能否落在EF上上E、F分别分别为为AB、CD中点？为什么？中点？为什么？例例2、第一步：对折矩形纸片、第

6、一步：对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片，把纸片展开如图展开如图1；第二步：再一次折叠纸片，使点第二步：再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段同时得到线段BN如图如图2图图1图图2图图3A/H上。落在），（，中，在，。于，交作过，内的点为落在矩形折叠后，点沿设中，得。代入中，在EFAABHBAHABHARtMBAMBHBHAABBAMABMBAMABBHAHBCBCHAAAABCDAMBMABkkxyMMAABMAMABAMABRtMABBC3)2,3

7、32(,33230tan2,tan306090,60)3(00000001 ,3xy33030230例例3. 如图，先把一矩形如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为纸片对折，设折痕为MN，再把再把B点叠在折痕线上，得到点叠在折痕线上，得到ABE.过过B点折纸片使点折纸片使D点叠在直线点叠在直线AD上，得折痕上，得折痕PQ.(1)求证：求证：PBEQAB；(2)他以为他以为PBE和和BAE类似吗？假设类似给出证类似吗？假设类似给出证明，如不类似请阐明理由；明，如不类似请阐明理由；(3)假设沿直线假设沿直线EB折叠纸片，点折叠纸片，点A能否能叠在直线能否能叠在直线EC上？为什么？上？为什么？例

8、例4.如图，长方形如图，长方形ABCD沿沿AE折叠，使折叠，使D落落在边在边BC上的上的F点处，假设点处，假设BAF=60，那，那么么DAE= A BCD FE根据折叠的规律：可证根据折叠的规律：可证ADE AFE,从而从而DAE=FAE =(90-60)2 = 1515601515ABCDFE透过景象看本质透过景象看本质: :折折叠叠轴轴对对称称本质本质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴折痕垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴折痕垂直平分.由折叠可得：由折叠可得

9、：1.AFE ADE2.AE是是DF的中的中垂线垂线例例5.如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边AD，点，点D落在落在BC边的边的点点F处，知处，知AB=8cm, BC=10cm ,求求EC的长的长分析：设分析：设EC=x,那么那么EF=DE=8-x .在在RtABF中，中，AF=AD=10，AB=8，所以所以BF=6，FC=4RtPOERtBPA解得解得EC=3(cm) A BCD FE8101064FCECABBF3例例6. 如图如图1，把一张规范纸一次又一次对开，得到，把一张规范纸一次又一次对开，得到“2开纸、开纸、“4开纸、开纸、“8开纸、开纸、“16开纸开纸知规范纸的短边长为

10、知规范纸的短边长为a .1如图如图2，把这张规范纸对开得到的，把这张规范纸对开得到的“16开张纸按如下步骤折叠：开张纸按如下步骤折叠：第一步第一步 将矩形的短边将矩形的短边AB与长边与长边AD对齐折叠，点对齐折叠，点B落在落在AD上的点上的点B处，铺平处，铺平后得折痕后得折痕AE；第二步第二步 将长边将长边AD与折痕与折痕AE对齐折叠，点对齐折叠，点D正好与点正好与点E重合，铺平后得折痕重合，铺平后得折痕AF那么那么AD:AB的值是的值是 ，AD,AB的长分别是的长分别是 ， ABCDFEB4开开2开开8开开16开开图图1图图2a2“2开纸、开纸、“4开纸、开纸、“8开纸的长与宽之比能否都相等

11、？假设相等，开纸的长与宽之比能否都相等？假设相等，直接写出这个比值；假设不相等，请分别计算它们的比值直接写出这个比值；假设不相等，请分别计算它们的比值2a42a412相等，比值为相等，比值为 a41a41a42a42例例7. 2019年台州市如图，四边形年台州市如图，四边形OABC是一张放在平面是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点直角坐标系中的矩形纸片，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，将边轴上，将边BC折叠，使点折叠，使点B落在边落在边OA的点的点D处知折痕处知折痕 ，且且 (1)判别判别OCD与与ADE能否类似？请阐明理由；能否类似？请阐明理由；(2)求直线求直线CE与与x轴交点

12、轴交点P的坐标；的坐标；43tanEDAP6X8X3X4X5510X5X5X关键是找出对称点，并画出来。例8 知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如下图的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点不与B,C重合，过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E请探求：能否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？假设存在，求出点F的坐标；假设不存在，请阐明理由(0)kykx ,33k(4, )4k34k43k34K例例9.在平面直角坐标系中，正方形在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为的边长为6，两边，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点

13、分别落在坐标轴上，点E在射线在射线BC上，且上，且BE=2CE，将，将ABE沿直线沿直线AE翻转，点翻转，点B落在点落在点B1处。处。1请在图中作出点请在图中作出点B1及翻转后图形及翻转后图形.0CBAyx0CBAyEB12对于图对于图1，假设，假设E在在BC上，求点上，求点B1的坐标。的坐标。两种情况两种情况F利用类似，列出方程求解利用类似，列出方程求解E0CBAyB1x图图1图图264a6-a46例例10. 07湖北荆门如图湖北荆门如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片形纸片OABC，知，知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点，点P是是OA边上的边上

14、的动点动点(与点与点O、A不重合不重合)现将现将PAB沿沿PB翻折，得到翻折，得到PDB；再在再在OC边上选取适当的点边上选取适当的点E，将，将POE沿沿PE翻折，得到翻折，得到PFE，并使直线并使直线PD、PF重合重合(1)设设P(x，0)，E(0，y)，求，求y关关于于x的函数关系式，并求的函数关系式，并求y的最大的最大值；值；图图1 1解：解：(1)由知由知PB平分平分APD，PE平分平分OPF，且，且PD、PF重合，那么重合，那么BPE=90OPEAPB=90又又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP34xyx2114(4)333xxxx y= (0

15、x4) 即即 xy4-x3 (2)如图如图2，假设翻折后点，假设翻折后点D落在落在BC边上，求过点边上，求过点P、B、E的的抛物线的函数关系式；抛物线的函数关系式；图图2 2(2)由知，由知，PAB、POE均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，可得可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 故该抛物线上存在两点故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件满足条件 1,0,1643.cabcabc那么那么 1,23,21.abc y=213122xx例例11 . 直线直线 分别与分别与x轴、轴、y轴交于轴交于B、A两点两点.把把AOB以直线以直线AB为轴翻折，点为轴翻折，点O落在平面

16、上的点落在平面上的点C处，再把处，再把BOC以直线以直线BC为轴翻折得为轴翻折得BCE，求点，求点E的坐标的坐标.133xy由由1知知 OA1， OB ， OBA30. ABC和和ABO关于关于AB成轴对称，成轴对称， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 过点过点C作作CMx轴于轴于M，如图，那么在，如图，那么在RtBCM中，中，.)23,233(点的坐标为E图形翻折实践上是轴对称变换，图形翻折实践上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。变换前后的对应线段相等、对应角相等。经常与角平分线、中线、线段中垂线、等经常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联络。处理翻

17、折的动态几腰三角形的高相联络。处理翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或类似三角形的有关知识，全面寻觅图形或类似三角形的有关知识，全面寻觅图形运动过程中的不变量。形运动过程中的不变量。 ABCD例例12. 08山东东营：将一正方形纸片按以下顺序山东东营：将一正方形纸片按以下顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是三角形将纸片展开，得到的图形是 C例例13将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是形小洞后展开铺

18、平，得到的图形是 C例例14.如图如图,有一矩形纸片有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片将纸片折叠，使折叠，使AD边落在边落在AB边上，折痕为边上，折痕为AE，再将，再将AED以以DE为折痕向右折叠，为折痕向右折叠，AE与与BC交于点交于点F，那么，那么CEF的面积为的面积为EDCBADCBAFEDCBAA4 B6 C8D10C 图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研讨图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研讨之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点阅历：的讨论中可以得到以下几点阅历：1图形的翻

19、折部分在折叠前和折叠后的外形、大小不图形的翻折部分在折叠前和折叠后的外形、大小不变，是全等形；变，是全等形；2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；成轴对称；3处理折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关处理折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而系，从而 进一步发现其中的数量关系；进一步发现其中的数量关系；4充分发掘图形的几何性质，将其中的根本的数量关充分发掘图形的几何性质，将其中的根本的数量关系，用方程的方式表达出来，并迅速求解，这是解题时系，用方程的方式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。常用的方法之一。

20、一一.标题来源标题来源九年级下，九年级下，P17页第页第6题题 如图，在一张长方形纸片如图，在一张长方形纸片ABCD中，中，AD=25cm，AB=20cm，点，点E,F分别是分别是CD和和AB的中点。现将这张纸片的中点。现将这张纸片按图示方式折叠，求按图示方式折叠，求DAH的大小及的大小及EG的长准确到的长准确到0.1cm。HGFEDCBA轴对称轴对称 P B D C B A F B D C B A B E D C B A F B E D C B A A A B C D E F A A B C D E B F A A B C D E B F变变式式变式一变式一变式二变式二变式三变式三变式四变式

21、四变式五变式五变式六变式六在长为在长为4宽为宽为3的矩形纸片的矩形纸片ABCD中，先沿对中，先沿对角线角线BD对折，点对折，点C落在落在C位置，位置，BC交交AD于于G(如图如图5-(1).再折一次，使点再折一次，使点D与点与点A重重合，得折痕合，得折痕EN(如图如图5-(2)，EN交交AD于于M.求折痕求折痕EN的长的长.知矩形纸片知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，将纸片折叠，使顶点使顶点A与边与边CD上的点上的点E重合重合.(1)假设折痕假设折痕FG分分别与别与AD、AB交与点交与点F、G(如图如图1)，求，求DE的长；的长； (2)假设折痕假设折痕FG分别与分别与CD、

22、AB交与点交与点F、G(如如图图2)，AED的外接圆与直线的外接圆与直线BC相切，求折痕相切，求折痕FG的长的长 在矩形纸片在矩形纸片ABCD中，中，AB=3，BC=6，沿沿EF折叠后，点折叠后，点C落在落在AB边上的点边上的点P处，处， 点点D落在点落在点Q处，处，AD与与PQ相交于点相交于点H，BPE=301求求BE、QF的长；的长；2求四边形求四边形PEFH的面积的面积(取一张矩形的纸进展折叠，详细操作过程如下：取一张矩形的纸进展折叠，详细操作过程如下：第一步：先把矩形第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为对折，折痕为MN(如图如图3-(1)；第二步：再把第二步：再把B点叠在折痕线点叠在折痕线MN上，折痕为上，折痕为AE，点点B在在MN上的对应点为上的对应点为B，得，得RtABE(如图如图3-(2)；第三步：沿第三步：沿EB线折叠得折痕线折叠得折痕EF(如图如图3-(3).利用展开图利用展开图3-(4)探求：探求：(1)AEF是什么三角形是什么三角形?证明他的结论；证明他的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法能否都能折出这种对于任一矩形，按照上述方法能否都能折出这种三角形三角形?请阐明理由请阐明理由. 如图，矩形纸片ABC