2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期中数学试卷-带答案详解

2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分。每小题只有一个正确选项）1．（4分）用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量的值以相等间隔的值增加时，函数所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是A．506 B．380 C．274 D．1822．（4分）函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是A． B． C．或 D．或3．（4分）如图，的弦、相交于点，若，，，则长为A．16 B．24 C．12 D．不能确定4．（4分），过、两点画半径为的圆，能画的圆的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个5．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．米 C．2米 D．米6．（4分）木条、、如图用螺丝固定在木板上且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述错误的是A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转7．（4分）下列语句中，正确的有①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（4分）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为A． B． C． D．9．（4分）如图，在中，是延长线上一点，与、分别交于点、，则下列说法错误的是A． B． C． D．10．（4分）下列事件中属于不可能事件的是A．在足球比赛中，弱队战胜强队 B．任取两个正整数，其和大于1 C．抛掷一硬币，落地后正面朝上 D．用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象．12．（5分）已知点，则点绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为．13．（5分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是．14．（5分）如图，作的任意一条直径，分别以、为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点、和、，顺次连接、、、、、，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为．15．（5分）如图，若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为．16．（5分）如图所示，为的直径，，是的半径，，点在上，，点是上一动点，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（第17-19题，每题8分，共24分。第20-21题每题10分，共20分，第22题12分，第23题14分，满分共80分）17．（8分）已知：如图，中弦．求证：．18．（8分）如图，已知，求证：．19．（8分）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是多少？20．（10分）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点，在近岸分别取点、、、，使点、、在一条直线上，且，点、、也在一条直线上，且．经测量米，米，米，求河的宽度为多少米？21．（10分）如图，已知正方形，，连接，交、分别于点、，求证：．22．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．探究如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．探究如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．探究在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．23．（14分）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将绕点顺时针旋转．（Ⅰ）当旋转至如图①的位置时，，求此时点的坐标；（Ⅱ）如图②，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，求的长；（Ⅲ）当旋转到使得的度数最大时，求的面积．（直接写出结果即可）

2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分。每小题只有一个正确选项）1．（4分）用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量的值以相等间隔的值增加时，函数所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是A．506 B．380 C．274 D．182【分析】因为的值以相等间隔的值增加，所以只要设出相邻的两个自变量的值为、代入求出差值，再由具体的计算看是否成规律变化找出即可．【解答】解：设相邻的两个自变量的值为、，代入，计算差值为：，因此函数值之间的差值间隔是相等的，即含有公因数，计算各个差值为；；；；；；，36、54、72都含有公因数3，即，而92不含有因数3，可以断定是274错误了．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（4分）函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是A． B． C．或 D．或【分析】直接利用函数图象得出当时，或3，进而得出答案．【解答】解：如图所示：当时，或3，故使成立的的取值范围是：．故选：．【点评】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确利用数形结合分析是解题关键．3．（4分）如图，的弦、相交于点，若，，，则长为A．16 B．24 C．12 D．不能确定【分析】由相交线定理可得出，再根据，，，可得出的长，从而得出即可．【解答】解：，，，，，，．故选：．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．4．（4分），过、两点画半径为的圆，能画的圆的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【分析】先作的垂直平分线，交于点，然后以为圆心，以为半径作圆即可；【解答】解：这样的圆能画1个．如图：作的垂直平分线，交于点，然后以为圆心，以为半径作圆，则为所求；故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．5．（4分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A．1米 B．米 C．2米 D．米【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．【解答】解：连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，故选：．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．6．（4分）木条、、如图用螺丝固定在木板上且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述错误的是A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，，，故不符合题意；．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，，，故不符合题意；．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，，，故不符合题意；．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，木条和木条重合，与不平行，故符合题意．故选：．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．7．（4分）下列语句中，正确的有①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．8．（4分）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：连接、，点、、、都是上的点，，，，，点、、、都是上的点，，，故选：．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，在中，是延长线上一点，与、分别交于点、，则下列说法错误的是A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解【解答】解：四边形是平行四边形，，，故正确故错误即故正确，，故正确故选：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键10．（4分）下列事件中属于不可能事件的是A．在足球比赛中，弱队战胜强队 B．任取两个正整数，其和大于1 C．抛掷一硬币，落地后正面朝上 D．用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、在足球比赛中，弱队战胜强队，属于随机事件，不符合题意；、任取两个正整数，其和大于1，属于随机事件，不符合题意；、抛掷一硬币，落地后正面朝上，属于随机事件，不符合题意；、用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形，属于不可能事件，符合题意；故选：．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）将函数的图象向左平移3个单位，可得到函数的图象．【分析】用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，即，，再根据两个函数的对称轴求得答案．【解答】解：，，两个函数的对称轴分别是，，，故答案为3．【点评】本题考查二次函数的一般式转化为顶点式问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．12．（5分）已知点，则点绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为．【分析】画出平面直角坐标系，然后作出点绕原点顺时针旋转的点的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．【解答】解：如图所示，点绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．13．（5分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是．【分析】先用列表法得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：列表如下：12322463369由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．14．（5分）如图，作的任意一条直径，分别以、为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点、和、，顺次连接、、、、、，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为．【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为与面积之和，进一步确定、是正三角形，从而求出阴影部分的面积，即可求解．【解答】解：连接，，设的半径为，的面积，弓形，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，图中阴影部分的面积，，、是正三角形，阴影部分的面积，的面积与阴影区域的面积的比值为，故答案为：．【点评】本题考查圆与多边形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为等边三角形的面积是解题的关键．15．（5分）如图，若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为．【分析】直接利用二次函数的对称性得出点坐标即可．【解答】解：抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，，两点到对称轴的距离相等，点的坐标为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．16．（5分）如图所示，为的直径，，是的半径，，点在上，，点是上一动点，则阴影部分周长的最小值为．【分析】是关于的对称点，连接则就是的最小值．根据已知条件可以知道，由于是直径，所以，解直角三角形求出，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：如图，连接，，．根据已知得是关于的对称点，所以就是的最小值，，而弧的度数是的弧，的度数是，，是直径，，而，，的长，的最小值是，阴影部分的周长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（第17-19题，每题8分，共24分。第20-21题每题10分，共20分，第22题12分，第23题14分，满分共80分）17．（8分）已知：如图，中弦．求证：．【分析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由，得，再等量减去等量还是等量知弧弧弧弧，即．【解答】证明：，，，．【点评】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弧对等弦求解．18．（8分）如图，已知，求证：．【分析】根据，得到，根据相似三角形的性质得到，根据角的和差得到，推出，即可得到结论．【解答】解：，，，，，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．（8分）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是多少？【分析】根据平行线的判定得到，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：，，，，，，，答：楼高是．【点评】本题考查了相似三角形的应用，证得是解题的关键．20．（10分）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点，在近岸分别取点、、、，使点、、在一条直线上，且，点、、也在一条直线上，且．经测量米，米，米，求河的宽度为多少米？【分析】先证明，利用相似比得到，然后根据比例的性质求的长度．【解答】解：，，，即，．答：河的宽度为20米．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．21．（10分）如图，已知正方形，，连接，交、分别于点、，求证：．【分析】绕点顺时针旋转得到，连接，可得，，，，利用证明△，得到，在△中，由勾股定理得，进而求证．【解答】证明：将绕点顺时针旋转得到，连接，，，，，四边形为正方形，，，，，，，在△和中，，△，，，在△中，由勾股定理得，，．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是将绕点顺时针旋转得到，使所求三边置于同一直角三角形中．22．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．探究如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．探究如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．探究在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【分析】探究如图1，设，由旋转的性质得出，，证明△，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，