微积分：不定积分的分部积分法

1、一、基本内容一、基本内容二、小结二、小结三、思考题三、思考题第二十四节第二十四节 分部积分分部积分法法问题问题d?xxex 解决思路解决思路利用两个利用两个函数乘积函数乘积的求导法则的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu dd ,uv xuvu v xdd .u vuvv u分部分部积分积分(integration by parts)公式公式一、基本内容1)1)v 容易求得容易求得 ; ;xvuxvudd)2比容易计算容易计算 . .:)d(的原则或及选取vvu例例1 1 求积分求积分cos d .xx x 解（一）解（

2、一） 令令,cos xu 21ddd2x xxv cos dxx x 22cossin d22xxxx x 显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu cos ddsindx xxv cos dxx x dsinxx sinsin dxxx x .cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分2d .xx ex 解解,2xu ddd ,xxexev 2dxx ex 22dxxx exex .)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu ddxexv 总结总结 若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和正和正(余

3、余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数幂指数是正整数是正整数)u例例3 3 求积分求积分arctan d .xx x 解解令令,arctan xu 2ddd2xx xvarctan dxx x 22arctand(arctan )22xxxx 2221arctand221xxxxx 2211arctan(1)d221xxxx .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分3ln d .xx x 解解,ln xu 43ddd ,4xxxv 3ln dxx x 4

4、311lnd44xxxx .161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .uxxxxxd111) 1ln(练习 求.d) 1ln(2xxx解xxxd) 1ln(2)1(d) 1ln(xxxxxxx)d111() 1ln(.ln) 1ln() 1ln(Cxxxx)1d(d12xxx解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为把被积函数视为两类两类函数函数之积之积 ,按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的的顺序顺序,前者为前者为 后者

5、为后者为u.v例例5. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 则则,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数练习. 求.dcoscosln2xxx解解: 令令,coslnxu xv2cos1, 则则,tan xuxvtan原式原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxxtan练习 求.1)

6、dln(22xxx解xxx1)dln(2222d) 1ln(xxxxxxxxd12) 1() 1ln() 1(2222xxxxd2) 1ln() 1(22.) 1ln() 1(222Cxxx)1( 例例6 6 求积分求积分sin(ln )d .xx 解解sin(ln )dxx sin(ln )dsin(ln )xxxx 1sin(ln )cos(ln )dxxxxxx sin(ln )cos(ln )dcos(ln )xxxxxx sin(ln )cos(ln )sin(ln )dxxxxx sin(ln )dxx sin(ln )cos(ln ).2xxxC 例例7 7 求积分求积分sin

7、d .xex x 解解sin dxex x sin dxxe sind(sin )xxexex sincos dxxexex x sincos dxxexxe sin(cosdcos )xxxexexex (sincos )sin dxxexxex x sin dxex x .)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例8 8 求积分求积分2arctand .1xxxx 解解 ,1122xxx 2arctand1xxxx 2arctan d1xx 221arctan1d(arctan )xxxx 22211arctan1d1xxxxx 2211arctand1xxxx 令令txt

8、an 21d1xx 221secd1tant tt sec dt t Ctt )tanln(secCxx )1ln(22arctand1xxxx xx arctan12 .)1ln(2Cxx 解 练习 求 .d12xex令 , 12 xt则 ),1(212tx,ddttx xexd12ttetdtetdtetettdCetett.) 112(12Cexx. . 例9 .dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn 推导以下递推公式: 解 xxxnxxxnnd)sin(cos) 1(sincossin21xxxxnnsindcosdcos1),dcosdcos)(1(cossin

9、21xxxxnxxnnn.dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn循环提示：提示： 对对含自然数含自然数 n 的积分的积分, 通过分部积分建通过分部积分建立立递推公式递推公式 .于是 ) 32()() 1(2111222nnnInaxxnaI 解 当n1时, 用分部积分法, 有 例10 例 9 求nnaxdxI)(22, 其中 n 为正整数 dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1( 2)(222122122解 CaxaaxdxIarctan1221 )(1( 2)(211221nnnnIaIna

10、xxI, 即dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122 dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1( 2)(222122122, 回归1nI解解( )dxfxx d( )xf x ( )( )d ,xf xf xx 2( )d,xf xxeC ( )d( ),f xxf x 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf ( )dxfxx ( )( )dxf xf xx 222xex .2Cex 二、不定积分在经济分析中的应用二、不定积分在经济分析中的应用例例1 已知某企业

11、的某种产品在产量为已知某企业的某种产品在产量为q（单位：（单位：千件）时的千件）时的边际成本边际成本函数为函数为单单位位：万万件件千千件件）(e2)(2 . 0qqC 且固定成本为且固定成本为90万元，求总成本函数。万元，求总成本函数。解：总成本函数一般形式：解：总成本函数一般形式： qqCqCd)()(CCqq 2 . 02 . 0e10e2 . 02qqde22 . 0 总成本等于可变成本与固定成本之和，当产总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本定成本90,即即C（0）90.代入总成本函数的代入总成本函数的一

12、般形式，有一般形式，有90102 . 02)0(02 . 0 CCeC所以，所以，C=80.总成本函数的表达式为总成本函数的表达式为8010)(2 . 0 qeqC21例例2 已知某集团公司生产的某种产品的已知某集团公司生产的某种产品的边际收入边际收入是是64q-q2 (单位：万元百台单位：万元百台)，其中，其中q是售出的产品数量是售出的产品数量（单位：百台），求其收入函数。（单位：百台），求其收入函数。解：收入函数一般形式解：收入函数一般形式qqRqRd)()( Cqqqqq 332d)64(322销售量为销售量为0时，收入为时，收入为0,即即R(0)=0.代入收入函代入收入函数的一般形式，

13、有数的一般形式，有030032)0(32 CR得，得，C=0收入函数的表达式为：收入函数的表达式为：332)(32qqqR 例例3 设某商品的需求量设某商品的需求量Q是价格是价格p的函数，该商品的的函数，该商品的最大需求是最大需求是1000（即当（即当p=0时，时，Q1000）。已知需）。已知需求量的变化率求量的变化率(边际需求边际需求)为为ppQ)31(3ln1000)( 求需求量求需求量Q与价格与价格p的函数关系。的函数关系。解：已知需求量的变化率解：已知需求量的变化率 ，求需求量，求需求量函数，即求不定积分。有函数，即求不定积分。有)(pQ ppQpQd)()(ppd)31(3ln100

14、0( CCpp )31(1000)31(31ln13ln100023由已知条件，由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得代入上式得C=0.得得到需求对价格的函数到需求对价格的函数ppQ)31(1000)( . 4例pq21000数为：设某产品的市场需求函),;(kgpkgq元表示价格，单位：表示需求量，单位：.15000,100)(固定成本为边际成本函数为：qqC入函数和利润函数。该产品的成本函数，收试求：) 1 (和最大利润。该产品的最大利润产量)2(际成本和边际收入。在最大利润产量时的边)3(解：qqC100)(由：dqqdqqCqC)100()()(有：0221100Cqq15000

15、,15000)0(0CC由条件：1500021100)(2qqqCqppq2150021000由：221500)21500()(qqqqqpqR函数）这是收入()()()(qCqRqL利润函数：)2110015000()21500(22qqqq150004002qq15000400)()2(2qqqL由：02)(,2400)( qLqqL)(20002400)(kgqqqL就是最大利润产量。)(200 kgq15000)200(200400)(2qLL最大元）(25000qqCqMC100)()() 3( 由：)(300200100100)(kgqqMC元qqqqRqMR500)21500()()(2)(300200500500)(kgqqMR元()(MC qMR q 注：在最大利润产量时，）()()MC qMR q 问题：在最大利润产量时，是否一定成立？合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu ,dduv xuvu v