微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt

1、（一）（一） 无穷大量无穷大量绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大量无穷大量.时的变化趋势。时的变化趋势。当当我们讨论我们讨论111 xxy越大。越大。就越来就越来时，时，越来越接近越来越接近当当|11|1 xx.lim|8 . 2 yyEyyE记记做做是是无无穷穷大大量量，恒恒成成立立，则则称称后后，不不等等式式个个时时刻刻以以有有那那么么一一个个时时刻刻，在在那那在在其其变变化化过过程程中中，总总，变变量量数数如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正定定义义特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或

2、注意注意 11lim1xx可以证明可以证明 2021limlglim)1(1limxxxxxx注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx （二）无穷小量（二）无穷小量定义定义2.9:以以0为极限的变量，称为为极限的变量，称为无穷小量无穷小量.无无穷穷小小量量。为为恒恒成成立立，则则称称变变量量

3、以以后后，不不等等式式一一个个时时刻刻，在在那那个个时时刻刻变变化化过过程程中中，总总有有那那么么的的，如如果果在在变变量量正正数数亦亦即即，对对于于任任意意给给定定的的yyy |, 021lim nn.21是是无无穷穷小小量量时时，变变量量当当nnyn 例如例如, 01lim xx.1时的无穷小量时的无穷小量是当是当函数函数 xxy, 0lim20 xx.02时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性

4、必要性,)(limAxf 设设，对对于于任任意意给给定定的的0 总有那么一个时刻，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，在那个时刻以后，与一个无穷小量的和。与一个无穷小量的和。可以表示为可以表示为变量变量是是为极限的必要充分条件为极限的必要充分条件以以变量变量定理定理AyAy:5 . 2恒成立。恒成立。不等式不等式 |Ay是一个无穷小量，是一个无穷小量，因此因此Ay , AyAy即即，则，则记为记为的和。的和。与无穷小量与无穷小量是是所以所以 Ay充分性充分性. 0lim, 其其中中设设Ay个时刻以后，个时刻以后，有那么一个时刻，在那有那么一个时刻，在那则对任意的则对任意的, 0 恒成立。恒成立。

5、不等式不等式 |恒恒成成立立。即即 |AyAy lim故故是是无无穷穷小小量量。变变量量则则是是有有界界变变量量是是无无穷穷小小量量，变变量量如如果果变变量量定定理理yy ,6 . 2在这一时刻以后，恒有在这一时刻以后，恒有变量，所以，存在变量，所以，存在在某一时刻以后是有界在某一时刻以后是有界设设证明：证明：, 0 MyMy |时刻以后，恒有时刻以后，恒有那么一个时刻，在那个那么一个时刻，在那个，总有，总有于任意的于任意的是无穷小量，所以，对是无穷小量，所以，对又因为又因为0 M |有有中较晚的时刻以后，恒中较晚的时刻以后，恒于是，在上述两个时刻于是，在上述两个时刻 MMyy|是无穷小量。是

6、无穷小量。成立，故成立，故y 推论推论常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量xxx1sinlim40求求例例是有界变量。是有界变量。，即，即而而因为因为解解xxxx1sin1|1sin|. 0lim0 01sinlim0故故xxx（三）无穷小与无穷大的关系（三）无穷小与无穷大的关系定理定理2.7.1)1(是无穷小量是无穷小量是无穷大量，则是无穷大量，则如果如果yy.01那那个个时时刻刻以以后后，恒恒有有总总有有那那么么一一个个时时刻刻，在在意意给给定定的的是是无无穷穷大大量量，则则对对于于任任）设设（证证明明 y在变量在变量 y 的变化过程中，的变化过程中，.1)0(

7、)2(是无穷大量是无穷大量是无穷小量，则是无穷小量，则如果如果yy |1|1|yy即即同同理理可可证证是是无无穷穷小小量量。因因此此，)2(1y 无穷小量虽然都是趋于无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的的变量，但不同的无穷小连量趋于无穷小连量趋于0的速度却不一定相同。的速度却不一定相同。（四）无穷小量的阶（四）无穷小量的阶下表：下表：的速度却不一样。请看的速度却不一样。请看趋于趋于都是无穷小量，但它们都是无穷小量，但它们时时例如当例如当0,2 ,02xxxx x1 0.5 0.1 0.01 0.001 02x2 1 0.2 0.02 0.002 0 x21 0.25 0.01 0.0001

8、0.0000001 0显然，显然，x2比比x与与2x趋于趋于0的速度快得多。的速度快得多。快慢是相对的，是相互比较而言。因此有快慢是相对的，是相互比较而言。因此有穷小量，穷小量，是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无，设设定义定义 10. 2)(, 0lim o 记做记做较高阶的无穷小量，较高阶的无穷小量，是比是比则称则称如果如果。无无穷穷小小量量，记记做做是是等等价价的的与与时时，称称无无穷穷小小量量。特特别别当当是是同同阶阶的的是是比比则则称称为为常常量量）（如如果果 1,0lim ccc较低阶的无穷小量。较低阶的无穷小量。是比是比则称则称如果如果 ,lim )(0, 0limlim22

9、020 xoxxxxxxxxx 无穷小量，可以记做无穷小量，可以记做较高阶的较高阶的比比时，时，当当因为因为较较低低阶阶的的无无穷穷小小量量。是是比比时时，反反之之，当当20 xxx 无无穷穷小小量量。是是同同阶阶的的与与时时，当当xxxxxxx20,2121lim2lim00 小结小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;三个定理三个定理;一个推论一个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数

10、；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思考题思考题若若0)( xf，且且Axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空题一、填空题: :1 1、 凡凡无无穷穷小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _为为极极限限. .)(,_2的水平渐近线的水平渐近线是函数是函数直线直线条件下条件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能使能使应满足什么条件应满足什么条件问问是无穷大是无穷大函数函数时