控制工程基础郭美凤第二章1

1、控制工程基础控制工程基础清华大学清华大学 郭美凤郭美凤20072007年年一、控制系统的运动微分方程一、控制系统的运动微分方程二、非线性系统数学模型的线性化二、非线性系统数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换三、拉氏变换和拉氏反变换四、传递函数以及典型环节的传递函数五、系统函数方框图和信号流图五、系统函数方框图和信号流图六、控制系统传递函数推导举例六、控制系统传递函数推导举例八、小结八、小结、系统数学模型的基本概念、系统数学模型的基本概念第二章 控制系统的动态数学模型七、系统数学模型的七、系统数学模型的MATLABMATLAB实现实现本章要熟悉下列内容：本章要熟悉下列内容： 建立基本环节（质

2、量建立基本环节（质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统、电路网络阻尼系统、电路网络和电机）的和电机）的数学模型数学模型及模型的及模型的线性化线性化 重要的分析工具：重要的分析工具：拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换 经典控制理论的数学基础：经典控制理论的数学基础：传递函数传递函数 控制系统的图形表示：控制系统的图形表示：方块图方块图及信号流图及信号流图 建立实际机电系统的传递函数及方块图建立实际机电系统的传递函数及方块图 系统数学模型的系统数学模型的MATLABMATLAB实现实现第二章 控制系统的动态数学模型、数学模型的基本概念l 系统的数学模型系统的数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部

3、各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 第二章 控制系统的动态数学模型动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括

4、：微分方程，传递函数和状微分方程，传递函数和状态方程态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。l 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章 控制系统的动态数学模型l 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差 分方程、状态

5、方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 第二章 控制系统的动态数学模型一、控制系统的运动微分方程l 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排第二章 控制系统的动态数学模型l 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个

6、要素： 质量mfm(t)参考点x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 控制系统的动态数学模型 弹簧kfk(t)fk(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)1212( )( )( )( )( )( )( )kttf tk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt第二章 控制系统的动态数学模型对于弹簧，各点受力相同，变形量不同。 阻尼1212( )( )( )( )( )( )( )DftD v tv tDv tdx tdx tDdtdtdx tDdtDfD(t)fD(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章 控制系统的动态控制系统的动态

7、数学模型q 机械平移系统22( )( )( )( )( )( )( )( )iDkokoDodf tftf tmx tdtf tkx tdftDx tdtmmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t)机械平移系统及其力学模型fD(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响第二章 控制系统的动态数学模型22( )( )( )( )oooiddmy tDy tky tf tdtdt式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 第二章 控制系统

8、的动态数学模型第二章 控制系统的动态数学模型C2C2独立不独立q 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)kD弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。 ( )( )( )ooidDx tkx tf tdt( )( )( )iDkf tftft第二章 控制系统的动态数学模型q 机械旋转系统ki(t)o(t)00Tk(t)TD(t)D粘性液体齿轮JJ 旋转体转动惯量；k 扭转刚度系数；D 粘性阻尼系数柔性轴第二章 控制系统的动态数学模型22( )( )( )( )( )( )( )( )kioDookDT tkttdTtDtdtdJtT tTtdt22( )( )( )( )oooiddJtDt

9、ktktdtdt第二章 控制系统的动态数学模型 电气系统 电阻( )( )u tR i t电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章 控制系统的动态数学模型 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 控制系统的动态数学模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络第二章 控制系统的动态数学模型一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdL

10、Ciooo若L=0，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo第二章 控制系统的动态数学模型)()(0)(21titituaq 有源电路网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 控制系统的动态数学模型q 电动机 tedttdiLtiRtemaaaai tiKtTaT dttdKteoem 22dttdJdttdDtToo电磁感应定律电磁感应定律基尔霍夫定律基尔霍夫定律牛顿第二定律牛顿第二定律根据磁场对载流根据磁场对载流线圈的作用定律线圈的作用定律( )( )( )( )aoaaoaTeoTiL JtL

11、 DR JtR DK KtK e t为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。当电枢电感较小时，通常可忽略不计，当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为系统微分方程可简化为 )()()(teKtKKDRtJRiToeTaoa 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础； 第二章 控制系统的动态数学模型 通常

12、情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容等）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就 多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。 第二章 控制系统的动态数学模型 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 控制

13、系统的动态数学模型用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。q 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 第二章 控制系统的动态数学模型q 线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 控制系统的动态数学模型二、非线性数学模型的线性化l 线性化问题的提出

14、线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 第二章 控制系统的动态数学模型 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作 范围内具有线性特性； q 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； q 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理，能 够满足实际需要。 第二章 控制系统的动态数学模型l 非线性系统数学模型的线性化非线性系

15、统数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 控制系统的动态数学模型)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = Kx， 其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。第

16、二章 控制系统的动态控制系统的动态数学模型增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 第二章 控制系统的动态数学模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 控制系统的动态数学模型 滑

17、动线性化切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化A线性化增量方程为：y y =xtg切线法是泰勒级数法的特例。第二章 控制系统的动态数学模型l 系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 步骤 q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程； 第二章 控制系统的动态数学模型 实例：单摆运动线性化 .2( )sin( )( )iooT tmgltmlt解解：根据牛顿第二定律：0osino将非线性项将非线性项在在 点附近泰勒展开点附近泰勒展开.2( )( )( )ooimltmglt

18、T t第二章 控制系统的动态数学模型 实例：阀控液压缸阀控液压缸LQLp x 阀芯位移输入； y 液压缸活塞位移输出； 负载流量； 负载压差； M 负载质量 )(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKdtydAADKdtydAMKqc22c)()()(txKtyAADKtyAMKqcc 液压腔工作腔流动连续性方程为：液压腔工作腔流动连续性方程为：液压腔力平衡方程为：液压腔力

19、平衡方程为： 线性化方法：线性化方法：假设变量相对于某一工作状假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为 简写为简写为 。如果系统的工作平衡点。如果系统的工作平衡点为为 ，则方程可以在，则方程可以在 点附近台劳展开点附近台劳展开 如果如果 很小，可以忽略其高阶项，因很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式此上述方程可写成增量方程形式 其中其中 ， ，( )( ( )y tf x t)(xfy yx,x222( )1( )( )( )()()2df xd f xyf xf xxxxxdxdxxx yK x ( )yyyy

20、f x xxx x xdfKdxl 线性化处理的注意事项线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围； 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。 第二章 控制系统的动态数学模型inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第二章 控制系统的动态数学模型LaplaceLaplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、（拉普

21、拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！时不变系统的重要工具！l 拉氏变换拉氏变换 三、拉氏变换和拉氏反变换设函数f(t) (t0) 时，f(t)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）为复变数；0)()()(dtetftfLsFst第二章 控制系统的动态数学模型 0tft edt f(t)是指数级的0dtest称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。s 的量纲是时间的倒数。l 拉氏反变换拉氏反变换 0,

22、)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。第二章 控制系统的动态数学模型l 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数0100)( 1ttt01( )1( )11 0ststLtt edtess 第二章 控制系统的动态数学模型q 指数函数( )1( )atf tet（a为常数）指数函数0tf(t)10()0 1 atatsts a tL eeedtedtsa第二章 控制系统的动态数学模型q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst

23、0coscosdtettLst由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 控制系统的动态数学模型00221sin21112j tstj tstLteedteedtjjsjsjs从而：22cossstL同理：第二章 控制系统的动态数学模型q 单位脉冲函数(t) 0tf(t)单位脉冲函数100(0)( )1lim(0)tttt或)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：0( )lim1ss eLts所以：第二章 控制系统的动态数学模型q 单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1

24、000)(ttttf0002( )1stststL f ttedteetdtsss第二章 控制系统的动态数学模型q 单位加速度函数02100)(2ttttf2031( )21stL f tt edts单位加速度函数0tf(t)第二章 控制系统的动态数学模型q 幂函数第二章 控制系统的动态数学模型 ttn1 11001!1nnstnunnnL ttt edtu e dussl 拉氏变换积分下限的说明拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0还是0+，并相应记为：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLd

25、tetftfLstst第二章 控制系统的动态数学模型l 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章 控制系统的动态数学模型 实微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 控制系统的动态数学模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()

26、()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章 控制系统的动态数学模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章 控制系统的动态数学模型据此，可将微分方程变换为代数方程。当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+) f(0)，则：)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL第二章 控制

27、系统的动态数学模型 复微分定理 222( )( )( )( )( )( 1)( )(1, 2,3,)nnnndL tf tF sdsdL t f tF sdsdL t f tF snds 若Lf(t)=F(s)，则除了在F(s)的极点之外，有：第二章 控制系统的动态数学模型 积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：若f(0+) f(0)，则：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 控制系统的动态数学模型证明证明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(

28、dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 控制系统的动态数学模型)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：当初始条件为零时：第二章 控制系统的动态数学模型 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 控制系统的动态数学模型 衰减定理衰减定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 控制

29、系统的动态数学模型 初值定理 证明证明：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 控制系统的动态数学模型 终值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：)(limtft存在。则：第二章 控制系统的动态数学模型证明证明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss终值定理说明f(t)稳定值与s

30、F(s)在s=0时的初值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 控制系统的动态数学模型)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：如果sF(s)有极点位于虚轴或位于右半s平面内，f(t)将分别包含振荡的或按指数规律增长的时间函数，因而 将不存在。如果f(t)是正弦函数 ，有位于虚轴上的极点 ，因此 不存在，所以终值定理不适用于这类函数。)(limtftsj sint)(limtft第二章 控制系统的动态数学模型 卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)

31、()()()()(*)(若t0时， f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第二章 控制系统的动态数学模型证明证明：0)()()()(dtetgtftgtfLst00)()(dtedtgfstt0)()(dsGefs00)()(dtedtgfst00)()(ddtetgfst)()(sGsF第二章 控制系统的动态数学模型 时间比例尺的改变0constant)(aasaFatfL例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat第二章 控制系统的动态数学模型l 求解拉氏反变换的部分分式法求解拉氏反变换的部分分式法 部分分

32、式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章 控制系统的动态数学模型0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s

33、)写成下面的形式：式中，p1，p2，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。 第二章 控制系统的动态数学模型 F(s)只含有不同的实数极点niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。nitpiniiiieApsALsFL1111)(于是：第二章 控制系统的动态数学模型例例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF3

34、1)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA第二章 控制系统的动态数学模型54) 3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssF即：第二章 控制系统的动态数学模型 F(s)含有共轭复数极点 nnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)()(pspspspsAsApspssF或或假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程

35、，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章 控制系统的动态数学模型niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此， A1和A2也为共轭复数。ipsiipssFA)()(第二章 控制系统的动态数学模型例例：求的原函数。10,)2()(222nnnssssF解解：)1)(1()(222nnnnnssssF21nd令：，则： sAjsjsAsAjsjsssFdndndndnn3212)()()(第二章 控制系统的动态数学模型dndnjsjsnAsAs212根据：dndnnjAAAj1212有

36、：dndnjAAAj121即：nddnnAAAAA2; 121121由上式两边实部和虚部分别相等，得：第二章 控制系统的动态数学模型2222)()(1)(dnndnnsssssF1022223sssAnnn而：sjsjsssFdndnn1)(2)(所以：22222)(1)(1dnddnnssss2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat第二章 控制系统的动态数学模型tetetfdtdtnnsin1cos1)(2查拉氏变换表得：cos,sin1221 arctg令，即：0),sin(11)(2ttetfdtn于是：0,sincos11122ttteddtn第二章 控制系统的动

37、态数学模型例例：求的原函数。) 1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss第二章 控制系统的动态数学模型0, 123)(2321)(21212121AAAAAA即：所以：11)(2sssssF2223211sss第二章 控制系统的动态数学模型22222321212321211ssss2222232123312321211ssss第二章 控制系统的动态数学模型查拉氏变换表得：tetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos233212

38、0,6023sin3212ttet第二章 控制系统的动态数学模型 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA第二章 控制系统的动态数学模型0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr第二章 控制系统的动态数学模型tpnnentpsL0)!

39、1()(1101注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：第二章 控制系统的动态数学模型例例：求的原函数。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA第二章 控制系统的动态数学模型21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：第二章 控制系统的动态数学模型l 应

40、用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第二章 控制系统的动态数学模型原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章 控制系统的动态数学模型 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()0()()(2

41、22ooooxsxsXsdttxdL第二章 控制系统的动态数学模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 控制系统的动态数学模型stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：第二章 控制系统的动态数学模型61065121sssA212) 3(12sssA313)2(13

42、sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 控制系统的动态数学模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章 控制系统的动态数学模型零状态响应零输入响应q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积

43、分常数的值就可得到微分方程的全解(补充解和特解，相对于古典法）。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见：第二章 控制系统的动态数学模型四、传递函数以及典型环节的传递函数l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数 第二章 控制系统的动态数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；)()()(sXsXsGio)()()()()()(

44、)()(111)(00111)(0txatxbtxbtxbtxatxatxatxaimimmiminonnononnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG11101110)()()( 设线性定常系统的微分方程为设线性定常系统的微分方程为 则零初始条件下，系统传递函数为则零初始条件下，系统传递函数为 它有以下特点：它有以下特点：它比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域内它比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域内复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算；复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算；当系统输入典型信号时，其输出与传递函数有当系统输入典型信号时，其输出与传递函数有一定对应关

45、系，当输入是单位脉冲函数时，输入一定对应关系，当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为的象函数为1，其输出象函数与传递函数相同；，其输出象函数与传递函数相同；令传递函数中的令传递函数中的s=j，则系统可在频率域内分，则系统可在频率域内分析（详见第四章）；析（详见第四章）；G（s）的零极点分布决定系统动态特性。）的零极点分布决定系统动态特性。表表2-2 2-2 等效弹性刚度说明等效弹性刚度说明力学模型力学模型时域方程时域方程拉氏变换式拉氏变换式等效弹等效弹簧刚度簧刚度弹簧弹簧kx(t) tkxtf skXsFk k阻尼阻尼器器Dx(t) txDtf sDsXsFDsDs质量质量Mx(t) txMt

46、f sXMssF22Ms表表2-3 2-3 复阻抗说明复阻抗说明第二章 控制系统的动态数学模型 传递函数求解示例 q 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 22( )( )( )( )oooiddmx tDx tkx tf tdtdt2( )( )( )( )oooims XsDsXskXsF s2( )1( )( )oiXsG sF smsDsk所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：第二章 控制系统的动态数学模型q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)

47、()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：第二章 控制系统的动态数学模型q 几点结论 传递函数是复数s域中的系统态数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。 第二章 控制系统的动态数学模型 传递函数的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatx

48、dtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：第二章 控制系统的动态数学模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。l 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 特征方程第二章 控制系统的

49、动态数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时： G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 第二章 控制系统的动态数学模型 零点和极点 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点

50、就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。第二章 控制系统的动态数学模型 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j第二章 控制系统的动态数学模型l 传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于

51、系统结构参数； 第二章 控制系统的动态数学模型 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 第二章 控制系统的动态数学模型l 脉冲响应函数脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)称为系统的脉冲响应函数

52、（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。第二章 控制系统的动态数学模型注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：)()()(sXsGsY知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，当t 0时，g(t) = x(t) = 0。第二章 控制系统的动态数学模型l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 第二章 控制系统的动态数学模型 环节的分类 )()

53、()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式：可见：b+2c = m v+d+2e = n第二章 控制系统的动态数学模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1对于实零点zi=i和实极点pj=j ，其因式可以变换成如下形式：第二章 控制系统的动态数学模型) 12(12)()(2222221ssssjsjszszs对于复零点对z=+j和z+1= j ，其因式可以变换成如下形式：2222,1式中，第二章 控制系统的动态数学模

54、型对于复极点对pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以变换成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 控制系统的动态数学模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系统的传递函数可以写成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，为系统放大倍数。第二章 控制系统的动态数学模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何

55、线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：第二章 控制系统的动态数学模型比例环节：K一阶微分环节：s+11222ss二阶微分环节：s1积分环节：11Ts惯性环节：12122TssT振荡环节：第二章 控制系统的动态数学模型)()(sXesXiso实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。第二章 控制系统的动态数学模型 典型环节示例 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=

56、Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。第二章 控制系统的动态数学模型KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(第二章 控制系统的动态数学模型q 惯性环节 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K环节增益（放大系数）；第二章

57、 控制系统的动态数学模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC第二章 控制系统的动态数学模型q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传递函数为：式中，微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。第二章 控制系统的动态数学模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：测速发电机uo(t) i (t)测 速 发 电 机式中， Kt为电机常数。 无负载时：第二章 控制系统的动态数学

58、模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 第二章 控制系统的动态数学模型) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。第二章 控制系统的动态数学模型q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的

59、积分。 tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：式中，T积分环节的时间常数。第二章 控制系统的动态数学模型AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。第二章 控制系统的动态数学模型如：有源积分网络 +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(第二章 控制系统的动态数学模型液压缸 Aqi

60、(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(第二章 控制系统的动态数学模型q 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio传递函数：第二章 控制系统的动态数学模型式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，0 p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型在在MATLAB中，用中，用num和和de