二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1、第1页 第三十四讲二元一次不等式第三十四讲二元一次不等式( (组组) )与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题第2页 回归课本回归课本1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地一般地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0表示直线表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平某一侧所有点组成的平面区域面区域(半平面半平面)不包括不包括边界直线边界直线,不等式不等式Ax+By+C0所表所表示的平面区域示的平面区域(半平面半平面)包括包括边界直线边界直线.第3页 (2)(2)对于直线对于直线Ax+By+C=0Ax+By+C

2、=0同一侧的所有的点同一侧的所有的点(x,y),(x,y),使得使得Ax+By+CAx+By+C值的符号相同值的符号相同, ,也就是位于同一半平面的点也就是位于同一半平面的点, ,其坐其坐标适合标适合Ax+By+C0Ax+By+C0; ;而位于另一半平面的点而位于另一半平面的点, ,其坐标适合其坐标适合Ax+By+C0Ax+By+C0(Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)Ax+By+C0(0(1a1且图象在过且图象在过A A、C C两点的图象之两点的图象之间间. .当图象过当图象过A A时时,a,a2 2=10,=10, 当图象过当图象过C C时时,a,a3 3=8,a=2,=8,a=2,

3、故故a a的取值范围为的取值范围为 故选故选B.B.10,a 2, 10.第40页 剖析剖析 结合指数函数的图象知结合指数函数的图象知, ,图象应在过图象应在过B B、C C两点的图象两点的图象之间之间, ,为避免错误为避免错误, ,也可把图象过也可把图象过A A、B B、C C时的时的a a值求出值求出, ,再再作比较得出作比较得出a a的范围的范围. . 正解正解 作出平面区域作出平面区域M M同上同上. .求得求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).A(2,10),C(3,8),B(1,9).由图可知由图可知, ,欲满足条件必有欲满足条件必有a1a1且图象在过且图象在过B B、C

4、 C两点的图象之两点的图象之间间. .当图象过当图象过B B时时,a,a1 1=9,a=9.=9,a=9.当图象过当图象过C C时时,a,a3 3=8,a=2.=8,a=2.故故a a的取值范围为的取值范围为2,9.2,9.故选故选C.C. 答案答案CC第41页 错源二错源二 平面区域不明致误平面区域不明致误2,0,2 ,(,k_.)_1,_1_yyxyk x【典例 】在直角坐标系中 若不等式组表示一个三角形区域 则实数 的取值范围是第42页 剖析剖析 题目给出的区域边界两题目给出的区域边界两“静静”一一“动动”, ,可以画出可以画出区域区域, ,利用数形结合解决利用数形结合解决. .本题很容

5、易在分析动直线的位置本题很容易在分析动直线的位置时出错时出错, ,这个错误就出现在当直线这个错误就出现在当直线y=k(x-1)-1y=k(x-1)-1的斜率为正的斜率为正值时值时, ,误以为三条直线仍然能够构成三角形误以为三条直线仍然能够构成三角形, ,这样做的结果这样做的结果是是k k的取值范围是的取值范围是(-,-1)(0,2)(2,+).(-,-1)(0,2)(2,+).第43页 正解正解 如图所示如图所示, ,直线直线y=k(x-1)-1y=k(x-1)-1过定点过定点(1,-1),(1,-1),当这条直当这条直线斜率为负值时线斜率为负值时, ,该直线与该直线与y y轴的交点必须在坐标

6、原点上方轴的交点必须在坐标原点上方, ,即直线的斜率为即直线的斜率为(-,-1),(-,-1),可构成三角形区域可构成三角形区域; ;当直线的当直线的斜率为正值时斜率为正值时,yk(x-1)-1,yk(x-1)-1所表示的是直线所表示的是直线y=k(x-1)-1y=k(x-1)-1及及其下方的半平面其下方的半平面, ,这个区域和另外两个半平面的交集是一这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域个无界区域, ,不能构成三角形不能构成三角形; ;当直线斜率为当直线斜率为0 0时时, ,构不成平构不成平面区域面区域. .因此因此k k的取值范围是的取值范围是(-,-1).(-,-1).第44页 答

7、案答案(-,-1)(-,-1)第45页 评析评析 一条直线一条直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0把平面分成两个半平面把平面分成两个半平面, ,在每个在每个半平面内的点半平面内的点(x,y)(x,y)使使Ax+By+CAx+By+C值的符号一致值的符号一致, ,判断判断Ax+By+CAx+By+C的符号可以采用特殊点等的符号可以采用特殊点等. .在解决平面区域问题时要结合在解决平面区域问题时要结合直线的各种情况进行分析直线的各种情况进行分析, ,不要凭直觉进行解答不要凭直觉进行解答, ,如本题看如本题看似简单似简单, ,实际上在考试中做对并不容易实际上在考试中做对并不容易, ,两条定直线构

8、成一两条定直线构成一个三角形区域个三角形区域, ,但对于那条动直线但对于那条动直线, ,当斜率为正和为负时当斜率为正和为负时, ,是很容易弄错的是很容易弄错的. .第46页 技法一技法一最优整数解问题最优整数解问题对于线性规划问题中的最优整数解的问题对于线性规划问题中的最优整数解的问题, ,当解方程组得到当解方程组得到的解不是整数时的解不是整数时, ,可用下面方法求解可用下面方法求解: :(1)(1)平移找解法平移找解法: :先打网格先打网格, ,描整点描整点, ,平移直线平移直线l,l,最先经过或最最先经过或最后经过的整点便是最优整点解后经过的整点便是最优整点解, ,这种方法应充分利用非整这

9、种方法应充分利用非整点最优解的信息点最优解的信息, ,结合精确的作图才行结合精确的作图才行, ,当可行域是有限区当可行域是有限区域且整点个数又较少时域且整点个数又较少时, ,可将整点坐标逐个代入目标函数可将整点坐标逐个代入目标函数求值求值, ,经比较得到最优解经比较得到最优解. .第47页 (2)(2)调整优值法调整优值法, ,先求非整点最优解及最优值先求非整点最优解及最优值, ,再借助不定方再借助不定方程的知识调整最优值程的知识调整最优值, ,最后筛选出整点最优解最后筛选出整点最优解. .(3)(3)由于作图示有误差由于作图示有误差, ,有时仅由图形不一定就能准确而迅速有时仅由图形不一定就能

10、准确而迅速地找到最优解地找到最优解, ,此时可将整个可能解逐一检查即可得到答此时可将整个可能解逐一检查即可得到答案案. .第48页 【典例【典例1 1】某工厂要在】某工厂要在4 4米长的角铁上米长的角铁上, ,截取长度为截取长度为7070厘米厘米和和5252厘米的甲厘米的甲 乙两种毛坯乙两种毛坯, ,问怎样截取才能使铁的残料问怎样截取才能使铁的残料最少最少? ?第49页 x,y,x,y.,O,O5.7A,7.7B,A B,AOB.7052400,yxxN yN解 设需截取 个乙个甲能使残料最少 则满足作出可行域如图 在方格纸上适当选一整点作为原点从 向上数格得 点向左数格得点 连结 两点 位于

11、内部或边上任一整点都代表一种截取方案第50页 3849640038240095.57.7,5.7,C42,400(4702 52)16,%;D1,6,18,%;MAB,0.,ABM5,2,5,2.xyxN yN 例如点代表截取 个甲 个乙的截法 残料为厘米 材料利用率为点代表截个甲 个乙的截取方法 残料为厘米 材料利用率为整点恰在上 代表残料为 的最佳方案综上 在可行域内离直线最近的整点即为所求的最优解 即截 个乙个甲能使残料最少第51页 技法二借用截距巧求规划问题,zaxbyy,.,ayxbzzbb 在线性规划解题中 若将目标函数作变换把看作直线在 轴上的截距 从而把待求目标函数最值化归为求直线在坐标轴上截距的最值这种借用截距求最值的方法往往有事半功倍的效果第52页 136,2 .2xy