专题06 一次函数背景的最值-线段之差最值（解析版）中考数学通用函数专题满分突破之一次函数篇

1、初中数学函数专题-一次函数第6节 一次函数背景的最值-线段之差最值 内容导航方法点拨一、求线段之差的最值（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PAPB|最大；（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PAPB|最大；（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PAPB|最小（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示： 例题演练例11如图所示，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点M、N，以线段MN为直角边在第一象限内作等腰RtMNC，NMC90°（1）求点M、N的坐标；（2）求点C的坐标；（3）若点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），是否

2、存在这样的点P，使得|PNPC|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点P的坐标【解答】解：（1）由直线，令y0，得x4，令x0，得y3，则点M的坐标为（4，0），点N的坐标为（0，3）；（2）如图所示，过点C作CDx轴，垂足为点D，MNC是等腰直角三角形，MNMC，NMC90°，NMO+CMD90°，MCD+CMD90°，NMOMCD，又MNMC，MONCDM90°，MONCDM（AAS），ONDM，CDOM，ODOM+MDOM+ON4+37，点C的坐标为（7，4）；（3）存在这样的点P，延长CN交x轴于点P，此时|PNPC|的值最大设直线

3、CN的解析式为ykx+b，将C（7，4）、N（0，3）代入，得，解得：，所以直线CN的解析式为，令y0，得，解得：x21，P点坐标为（21，0），即存在这样的点P，使得|PNPC|的值最大，此时P点坐标为（21，0）练1.1如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，AB4，BC3（1）求直线AC的解析式；（2）作直线AC关于x轴的对称直线，交y轴于点D，求直线CD的解析式并结合（1）的结论猜想并直接写出直线ykx+b关于x轴的对称直线的解析式；（3）若点P是直线CD上的一个动点，试探究点P在运动过程中，|PAPB|是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出|PAPB

4、|的最大值及此时点P的坐标【解答】解：（1）四边形ABCO是矩形，ABOC4，OABC3，A（0，3），B（4，0），设直线AC的解析式为ykx+b，则有，解得，直线AC的解析式为yx+3（2）由题意，点A，D关于原点对称，D（0，3），设直线CD的解析式为ymx+n，则有，解得，直线CD的解析式为yx3由（1）可知，直线ykx+b关于x轴的对称直线的解析式为ykxb（3）如图，由题意|PAPB|AB，当P，A，B共线时，|PAPB|的值最大，最大值为4，此时P（8，3）练1.2如图，平面直角坐标系中，直线ykx+b与x轴交于点A（10，0），与y轴交于点B，与直线yx交于点C（a，7）（1）

5、求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图，在（1）的条件下，过点E作直线lx轴，交直线yx于点F，交直线ykx+b于点G，若点E的坐标是（15，0）求CGF的面积；点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PMPC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；【解答】解：（1）将点C（a，7）代入yx，可得a3，点C的坐标（3，7），将点C（3，7）和点A（10，0）代入ykx+b，可得，解得，直线AB的解析式为yx+10；（2）点E的坐标是（15，0），当x15时，y35，y15+105，点F的坐标为（15，35），点G的坐标为（15，5），SCGF；存在，证明：由三角形

6、的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PMPC的值最大，令x0，则y10，点B的坐标（0，10），点M为y轴上OB的中点，点M的坐标为（0，5），设直线MC的解析式为yax+5，将C（3，7）代入得：73a+5，解得：a，直线MC的解析式为yx+5，当x15时，y，点P的坐标为（15，15），PMPCCM；练1.3如图，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+2与直线AC：yx+8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于点B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D（1）求点A的坐标；（2）在y轴左侧作直线FGy轴，分别交直线AB、直线AC于点F、G，当FGDE；时，过点G作直线GHy轴于点H，在

7、直线GH上找一点P，使|PFPO|的最大，求出点P的坐标及|PFPO|的最大值；【解答】解：（1）由，解得，A（4，6）（2）如图1中，设F（m，m+2），则G（m，m+8）D（0，8），E（0，2），OE2，OD8，DE6，FGDE，m+2（m+8）×6，m10，F（10，12），G（10，3），H（0，3），作点O关于GH的对称点O，作直线FO交直线GH于点P，此时|PFPO|的值最大，最大值为FO的长，F（10，12），O（0，6），FO2，直线FO的解析式为yx+6，y3时，3x+6，解得x5，P（5，3）点P的坐标为（5，3），|PFPO|的最大值为2例21如图1，直线yx

8、+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，作点A关于y轴的对称点C，连接BC，作ABO的平分线交x轴于点D（1）求线段CD的长；（2）如图2，点E为直线AB位于y轴右侧部分图象上的一点，连接CE，当SBCE时，点F为直线BC上的一个动点，当|EFDF|的值最大时，求|EFDF|的最大值及此时点F的坐标；【解答】解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，3），C（3，0），在RtABO中，AO3，BO3，ABO60°，BD是ABO的平分线，DBO30°，在RtBDO中，DO，CD4（2）过E作EMBC，××AC×BO，SBCESBCE×BC&

9、#215;EM×6EM，EM，设E（m，m+3），ABOCBO60°，EBM60°，BE9，9，m，E（，），在DEF中，|EFDF|DE，|EFDF|EF时有最大值，BD平分ABO，DBO30°，OD，D（，0），DE；直线BC的解析式为yx+3，直线DE的解析式为y，两直线交点为F（，）练2.1如图1，在平面直角坐标系中，直线y3x+9与x轴交于点C，与直线AB：yx+b交于点A，且B（5，0），ADx轴于点D（1）若E是线段AB的中点，G是直线AB上方的一点，GEy轴，GFAB于点F，且GEF的周长是2+2一动点从E点出发先，到达x轴上的某点M，再

10、到达直线AD上的某点N，最后运动到点F当该动点运动的总路径最短时，在直线AB上有一点P，使|GPNP|最大，求|GPNP|的最大值；【解答】解：（1）将B（5，0）代入yx+b中，得05+b，b5所以直线AB解析式为yx+5联立，解得点A坐标为（1，6）ADx轴，点D坐标为（1，0）BD5（1）6AD，ABD为等腰RtDABDBA45°，ABAD6延长GE交x轴于点H，E为AB中点，由中点坐标公式可得，点E坐标为（2，3）GHx轴，DBA45°，BEH45°GEF又GFAB，FGE45°，EFG为等腰Rt设EFGFa，则EG2a，周长为a+a+2a2+2

11、解得a点G坐标为（2，5）在RtBEH中，BE3BFBE+EF3+4作FIx轴于点I，则FIADBFIBAD即，FI4把y4代入yx+5中，得x1点F坐标为（1，4）点E关于x轴的对称点E'，作点F关于AD的对称点F'，连接E'F'，交x轴于点M，交AD于点N，此时动点运动总路径EM+MN+NFE'F'最小如答图1则点E'坐标为（2，3），点F'坐标为（3，4）设过E'F'的直线解析式为ykx+b，解得yx令x1，则y；令y0，则x点N坐标为（1，），点M坐标为（，0）作点G关于直线AB的对称点G'，则由中

12、点坐标公式可得：xG'2×120，yG'2×453点G'坐标为（0，3）连接NG'并延长交AB与点P，则此时NG最大由两点距离公式，NG故的最大值为练2.2如图，在平面直角坐标系中，直线y3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，2），点D在x轴上，CDAB（1）点E在CD上，其横坐标为4，点F、G分别是x轴、y轴上的动点，连接EF，将DEF沿EF翻折得DEF，点P是直线BD上的一个动点，当|PAPC|最大时，求PG+GD的最小值；【解答】解：（1）对于y3x+6，令x0，则y6，令y3x+60，解得x2，故点A、B的坐标分别

13、为（2，0）、（0，6），OCOA2，CDAB，RtAOBRtCOD（HL），ODOB6，故点D（6，0），连接AC交BD于点P，则点P为所求点，理由：|PAPC|PAPCAC为最大，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为yx+2，同理可得，直线BD的表达式为yx+6，联立并解得，故点P（2，4），过点P作y轴的对称点P（2，4），过点E以DE为半径作圆E，连接PE交圆E于点D，交y轴于点G，则点G为所求点，此时，PG+GD最小，理由：PG+GDPG+GDPEDEPD为最小，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为yx+2，当x4时，yx+2，故点E的坐标为（4，），由点P、E的坐标得：PE，同

14、理可得DE，则PG+GD的最小值PEDEPEDE；练2.1如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：yx+与x轴交于点B，与直线l1：yx+b交于点C，C点到x轴的距离CD为2，直线l1交x轴于点A（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；练2.2如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l2与直线yx平行，交x轴于点B（7，0），交l1于点C（1）直线l2的解析式为 yx+，点C的坐标为 （1，3）；（2）若点P是线段BC上一动点，当SPAB时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且MN2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；练2.3如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为yx+4，与x轴交于点C直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点（1）求直线AB