斐波那契数列及帕斯卡三角形

1、斐波那契数列与斐波那契数列与 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 一、斐波那契数列1.斐波那契斐波那契 “斐波那契斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯 老师的指导下研究数学。他还曾在 埃及、 叙利亚、希腊、西西里和 普罗旺斯研究数学。2.斐波那契数列来源斐波那契数列来源 根据高德纳的计算机程序设计艺术，1150年印度数学家Gopala和Hema

2、chandra在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。 斐波那契这个数列来自他的算盘书中一道并不出名的问题 一個很有趣的數學問題一個很有趣的數學問題: 假假設設每一每一對對新生的小兔子新生的小兔子, ,两个两个月後便月後便會長會長大大, ,且每一且每一个个月都生一月都生一對對小兔子小兔子。已知每次新生的一。已知每次新生的一對對兔子都是一雄一雌兔子都是一雄一雌, ,而所有兔子都而所有兔子都沒沒有死去有死去, ,且且隔代的兔子不隔代的兔子不會會互相交配。互相交配。 若若現現有一有一對對小兔子小兔子, ,問問一年後共有兔子多小一年後共有兔子多小對對呢呢? ? month

3、 1 2 3 4 5 2331448955342113853211兔子兔子總總對數對數14489553421138532110大兔子大兔子對數對數895534211385321101小兔子小兔子對數對數13121110987654321月月數數一年後兔子的總數為一年後兔子的總數為 233 對對 3.斐波那契數列 斐波那契数斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、 数列中的每一项被称为斐波那契数(Fibonnaci Number) 以符号 表示。 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n（又叫“比

4、内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）（5表示根号5） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。4.斐波那契數列的奇特属性 （1）随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887 （2）从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 （3）如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差

5、某个值 （4）斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。 （5）斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2）的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+f(2n) =f(2n+1)-1 4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n)f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-+(-1)nf(n)=(-1)nf(n+1)-f(n)+1 6.f(m+n)=f(m-1)f(n-1)+f(m)

6、f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1)f(n+1) 8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm-1,且n1 5.相关的数学问题相关的数学问题 1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1

7、，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种走法。 2.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。 3.数列与矩阵 对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13.有如下定义F(n)=f(n-1)+f(n-2) F(1)=1 F(2)=1对于以下矩阵乘法 它的运算就是F(n+1)=F(n)+F(n-1)F(n)=F(n)可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义 可以用迭代得到可以用迭代得到:斐波那契数列的某一项斐波那契数列的某一项F

8、(n)=(BC(n-2)1这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.6.斐波那契数列的实例斐波那契数列的实例 （1）向日葵的种子 绿色绿色表示按順時針排列的種子表示按順時針排列的種子 紅色紅色表示按逆時針排列的種子表示按逆時針排列的種子植物植物学学家家发发現現： 某某种种向日葵的向日葵的种种子是子是按两组螺旋排按两组螺旋排列，列，其其数数目往往是目往往是连续连续的斐波那契的斐波那契數數 。 普通大小的向日葵：34条顺时针螺旋55条逆时针螺旋 较大的向日葵：条顺时针螺旋 条逆时针螺旋 （2）.植物分枝2358132358 (3)菠萝表皮 菠萝的中心軸 ： Z 轴 垂直于Z轴的平面： XOY 度量表皮上每

9、一个六角形 的中心与平面XOY的距离 其中三个方向是按等差数列其中三个方向是按等差数列 排列的： 0,5,10,15,20, 0,8,16,24,32, 0,13,26,39,52, 公差公差5813三个连续的斐波那三个连续的斐波那契数列契数列 （4）花瓣的数目 花瓣的数目：花瓣的数目： 斐波那契数列斐波那契数列8 133 521 （5）钢琴的琴键 在一个音阶中： 白色的键数为：8 黑色的键数为：5 两个连续的斐波那契数7.斐波那契数列的应用 （1）数学游戏一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方 形

10、地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！ （2）斐波那契弧线 斐波纳契弧线，第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以第二个点为中心画出，并在趋势线的斐波纳契水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。 斐波纳契弧线，是潜在的支持 点和阻力点水平价格。斐波那 契弧线和斐波纳契扇形线常常 在图表里同时绘画出。 支持点和阻力点就是由这些线 的交汇点得出。 （3）斐波纳契扇形线 斐波纳契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一

11、条“无形的(看不见的)”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点 的价格水平。为了能得到一个 更为精确的预报，建议和其他 斐波纳契工具一起使用。 （4）斐波纳契通道 斐波纳契通道利用几条趋势平行线建立。要创建这个工具，通道宽度是取自每个单位宽度。平行线价格数值处于斐波纳契数列相同的值。以0.618 开始为通道宽度，然后是1.000，1.618，2.618，4.236来画平行线。当第五根线画好后，与相应的趋势线相反方向的正确的线就画出了。 要正确创建斐波纳契通道必须 记住的是在当趋势线上升，基 本线限制住了通道最高点

12、， 当趋势线向下，基本线限制 住了通道的最低点。 （5）斐波纳契时间周期线 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。二、帕斯卡三角形 1.帕斯卡 帕斯卡(Blaise Pascal，16231662)是法国著名的数学家要不是由于宗教信仰，瘦弱的体质，以及无意单单为数学课题而耗尽全部精力，他本来可以成为一名伟大的数学家帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数学，希望帕斯卡能

13、在更宽阔的教育背景下发展，所以起初劝导他不要学数学，希望能引发他在其他方面的兴趣不料帕斯卡在12岁，便显露出几何方面的天赋，从而使他的数学志向在此后深受鼓舞16岁时便写下了一篇关于圆锥曲线的论文，这使当时的数学家们倍感惊奇在文章中帕斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理：一条圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点共线18岁时，帕斯卡发明了有史以来的第一台计算机但就在这个时候，他遭受到病魔的侵扰为此，他向上帝许愿，将停止自己的数学工作此后三年，他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的著作公元1654年11月 23日夜，帕斯卡经历了一场宗教仪式在仪式上他被要求献身于神学，并放弃数学和科学此后，除一个短暂的时

14、期外(16581659)，帕斯卡不再从事数学研究 2.帕斯卡三角形 斐波那契数列（1）掷硬币 假设将一枚硬币掷4次，可能出现16种不同的组合方式，如上所示其中第一栏为全是正面(H)，然后是3个正面、1个反面(T)，以此类推，直到没有正面出现为止 如此所形成的数列与帕斯卡三角形的第五行相同 （2）国际象棋18361203307921716 3432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678车1111111（3）11的乘方的乘方 110= 1 111= 1 1 112= 1 2 1 113=1 3 3 1 11的乘方至114时，仍满足帕斯卡三角形的形式115由于会进位，所以并不能对应帕斯卡三角形第六行的数字1、5、10、10、5、1 (4)二项式(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+