牛顿莱布尼茨公式

1、2 2 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、猜想与发现一、猜想与发现例例1 1 讨论以下定积分与不定积分讨论以下定积分与不定积分: :0120( )().axdx a 220( )().baxdx ba 32( )xdx oxy2yx ab图图1 1解解: : 由图由图1 1得得012( )axdx 2a 22( )baxdx 22ba 而而32( )xdx 2xC 猜想与发现猜想与发现: :设设2( ),f xx 则则2( )F xx 为为f(x)的原函数的原函数, ,且且( )( )( )baf x dxF bF a 二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理9.19.1 若函数若函

2、数( )f x在在 , a b连续连续, ,且且( )F x为为( )f x在区间在区间 , a b上的原函数上的原函数, ,则则( )( )( )baf x dxF bF a 称之为牛顿称之为牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式, ,且常写成且常写成( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a 证明分析证明分析: :( )( )( )baf x dxF bF a 01| |lim()( )( )niiTifxF bF a 即要证即要证: :00, 当当|T 时有时有1|()( )( )|niiifxF bF a 其中其中012,.nTaxx xxb 注意到注意到10211( )(

3、)()()()()()()nnF bF aF xF xF xF xF xF x 证明分析证明分析: :( )( )( )baf x dxF bF a 01| |lim()( )( )niiTifxF bF a 即要证即要证: :00, 当当|T 时有时有1|()( )( )|niiifxF bF a 其中其中T T为区间为区间a,b上的分割上的分割: :012,.nTaxx xxb 注意到注意到10211( )( )()()()()()()nnF bF aF xF xF xF xF xF x 11( )( )()()niiiF bF aF xF x 1()niiiFx 1()niiifx 所以

4、所以1|()( )( )|niiifxF bF a 1| ()()|niiiiffx 1()()niiiiffx 11(,)iiiiiixxxx 所以所以1|()( )( )|niiifxF bF a 1| ()()|niiiiffx 1()()niiiiffx 11(,)iiiiiixxxx 因函数因函数( )f x在在 , a b连续连续, , 故故( )f x在在 , a b一致连续一致连续: :对对00,当当|xx 时有时有|()()|.f xf xba 故当故当|T 时有时有|,ii 进而有进而有1|()( )( )|niiifxF bF a 1|()()|niiiiffx 1nii

5、xba 1niixba 定理定理9.19.1 若函数若函数( )f x在在 , a b连续连续, ,且且( )F x为为( )f x在区间在区间 , a b上的原函数上的原函数, ,则则( )( )( )baf x dxF bF a 证证: :设设T T为区间为区间a,b上的分割上的分割: :012,.nTaxx xxb 则则1|()( )( )|niiifxF bF a 111|()()()|nniiiiiifxF xF x 由微分中值定理由微分中值定理, ,得得1()()()iiiiF xF xFx ()iifx 11 2(, ,)iiixxin 所以所以1|()( )( )|niiifx

6、F bF a 1| ()()|niiiiffx 1()()niiiiffx 11(,)iiiiiixxxx 因函数因函数( )f x在在 , a b连续连续, , 故故( )f x在在 , a b一致连续一致连续: :对对00,当当|xx 时有时有所以所以1|()( )( )|niiifxF bF a 1| ()()|niiiiffx 1()()niiiiffx 11(,)iiiiiixxxx 因函数因函数( )f x在在 , a b连续连续, , 故故( )f x在在 , a b一致连续一致连续: :对对00,当当|xx 时有时有|()()|.f xf xba 故当故当|T 时有时有|,ii

7、 进而有进而有1|()( )( )|niiifxF bF a 1|()()|niiiiffx 1niixba 1niixba 即即01| |( )lim()( )( )nbiiaTif x dxfxF bF a 定理证明的三个关键步骤定理证明的三个关键步骤: :(1) (1) 离散离散: :1|()( )( )|niiifxF bF a 111|()()()|nniiiiiifxF xF x (2) (2) 微分中值定理、原函数概念微分中值定理、原函数概念: :1()()()iiiiF xF xFx ()iifx 11 2(, ,)iiixxin (3) (3) 函数一致连续性概念函数一致连续

8、性概念: :因函数因函数( )f x在在 , a b连续连续, , 故故( )f x在在 , a b一致连续一致连续: :对对00,当当|T 时有时有1 2|()()|(, , )iiffinba 三、应用三、应用例例2 2 计算下列定积分计算下列定积分: :(1) ()bnax dx n为正整数2(2) (0)badxabx(3) bxae dx0(4) sin xdx220(5) 4xx dx解解: : (1)(1)bnax dx11bnaxn111()1nnban(2)(2)2badxx1bax 11ab(3)(3)bxae dx|xbaebaee(4)(4)0sin xdx0cos|x

9、 2(5)(5)2204xx dx1222201(4)(4)2xdx 22 301(4)3x 83四、定积分与和式极限四、定积分与和式极限例例3 3 求极限求极限11112lim()nnnnn解解: :11112lim()nnnnn111112111lim()nnnnnn 1111limnniinn 上述和式的极限可视为函数上述和式的极限可视为函数11( )f xx 在区间在区间0,1上作上作n n等分分割等分分割, ,取取1,iiixnn 所作的积分和的极限所作的积分和的极限, , 而函数而函数11( )f xx 在区间在区间0,1可积可积, ,故故11112lim()nnnnn1011dx

10、x 101ln()x 2ln . 定积分与和式极限定积分与和式极限: :设函数设函数( )f x在在 , a b可积可积, ,则则01| |( )lim()nbiiaTif x dxfx 取取21 ,(), bababaTa aaanbnnn1 2(, , )ibaaiinn 则则1 2(, , ),ibaxinn |,baTn 0(|)T ()n 故故01| |lim()niiTifx 1lim()nnibabaf ainn ( )baf x dx 例例4 4 求极限求极限: :222222lim()12nnnnnnnn解解: :222222lim()12nnnnnnnn2221111lim

11、()121 ( )1 ( )1 ( )nnnnnn2111lim1( )nniinn可看作函数可看作函数21( )1f xx在区间在区间0,1上作上作n n等分的分割等分的分割, ,取取1,iiixnn所作的积分和的极限所作的积分和的极限. .而函数而函数21( )1f xx在区间在区间0,1可积可积, ,故故110201111lim()|121ndxarctanxnnnnx4五、牛顿五、牛顿- -莱布尼茨公式的几点注记莱布尼茨公式的几点注记定理定理9.19.1 若函数若函数( )f x在在 , a b连续连续, ,且且( )F x为为( )f x在区间在区间 , a b上的原函数上的原函数,

12、 ,则则( )( )( )baf x dxF bF a 注注1:1: 1) 1) 对对F F可减弱为可减弱为: : 在在 , a b连续连续, ,在在( , )a b可导可导, ,且且( )( ),( , ).F xf xxa b2) 2) 对对f f还可减弱为还可减弱为: :( )f x在在 , a b可积可积( (不一定连续不一定连续).).问题问题: :已知已知bxae dx|xbae baee buae du |ubae.baee 3)3) 定积分只与被积函数定积分只与被积函数f与积分区间与积分区间 , a b有关有关, ,而与而与积分变量用什么符号表示无关积分变量用什么符号表示无关, ,即即( )baf x dx( )baf