梁的挠和转角PPT学习教案

1、会计学1梁的挠和转角梁的挠和转角(zhunjio)第一页，共76页。四、刚度条件四、刚度条件提高梁弯曲刚度提高梁弯曲刚度的措施的措施五、用变形比较法解简单的超静五、用变形比较法解简单的超静定梁。定梁。第1页/共76页第二页，共76页。一、弯曲(wnq)变形的量度及符号规定第2页/共76页第三页，共76页。 梁的挠度梁的挠度(nod)和转角和转角 ypxccwx1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线(zhu xin)上的点在垂直于梁轴线(zhu xin)方向的所发生的线位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角。第

2、3页/共76页第四页，共76页。 梁的挠度梁的挠度(nod)和转角和转角 ypxccwx（2）挠度(nod)的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形(bin xng)前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。W（-） （- -）第4页/共76页第五页，共76页。二、挠曲线及其近似(jn s)微分方程第5页/共76页第六页，共76页。轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲弯曲(wnq)后梁的轴线后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）第6页/共

3、76页第七页，共76页。MABMCD0MBCconst答案答案(d n) D(d n) D2、挠曲线的特征：光滑(gung hu)连续曲线(1)第7页/共76页第八页，共76页。FA0FB0MCDconst答案答案(d n) D(d n) DABCD第8页/共76页第九页，共76页。pplpplpplpplFA0pplABCDMBDconstFBP答案答案(d n)C(d n)CplMMBB第9页/共76页第十页，共76页。纯弯曲纯弯曲 横力弯曲横力弯曲(wnq)（ lh5）3、挠曲线的近似(jn s)微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系第10页/共76页第十一页，共76页。.0175.

4、010maxrador横力弯曲横力弯曲max（0.010.001）l ；MEId2 2d dx2（x）第11页/共76页第十二页，共76页。2 2owxMM0022Mdxdw选取如图坐标系，则选取如图坐标系，则弯矩弯矩M与与 恒为同号恒为同号22dxd(2)挠曲线近似微分方程(wi fn fn chn)符号及近似解释MEId2 2d dx2（x）近似(jn s)解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。第12页/共76页第十三页，共76页。2 22 2(3)选用(xunyng)不同坐标系下的挠曲线近似微分方程第13页/共76页第十四页，共76页。 三、计算(j

5、 sun)弯曲变形的两种方法第14页/共76页第十五页，共76页。凡载荷有突变处（包括(boku)中间支座），应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为(zuwi)分段点；中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；第15页/共76页第十六页，共76页。)(1)(cdxxMEIdxdxDcxdxxMEIx)(1)(第16页/共76页第十七页，共76页。)(xM分2段，则积分(jfn)常数2x2=4个第17页/共76页第十八页，共76页。 边界条件积分(jfn)常数2n个=2n个 连续条件第18页/共76页第十九页，共76页。00AA右左右左BB

6、BB边界条件： 连续(linx)条件：第19页/共76页第二十页，共76页。000CAA右左右左右左BBDDDD解：边界条件： 连续(linx)条件： 第20页/共76页第二十一页，共76页。oEICoEIDmaxmax第21页/共76页第二十二页，共76页。AqBLA例例题题 悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。AXyx取参考取参考(cnko)坐标系坐标系Axy。解：解：1、列出梁的弯矩方程、列出梁的弯矩方程(fngchng)221)(qxxM)0(Lx 2、22dxdzEIxM)(221qxEI积分积分(jfn)一次：一次：CqxEIEI361积分二次：积分二次：DCxq

7、xEI4241（1）（2）第22页/共76页第二十三页，共76页。3、确定、确定(qudng)常数常数C、D.由边界条件：由边界条件：0,Lx代入（代入（1）得：）得：361qLC0,yLx代入（代入（2）得：）得：481qLD代入（代入（1）（）（2）得：）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI第23页/共76页第二十四页，共76页。EIqLA630 x代入得：代入得：将将（与（与C比较知：比较知： ）CEIAEIqLA84（与（与D比较知：比较知： ）DEIA常数常数C C表示起始截面表示起始截面(jimin)(jimin)的转角刚度的转角刚度(EI)(

8、EI)因此因此(ync)(ync)常数常数D D表示表示(biosh)(biosh)起始截面的挠度刚度起始截面的挠度刚度(EI)(EI)第24页/共76页第二十五页，共76页。例题例题(lt) (lt) 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xxmax,AALFCabAyFByFyx解：解：1、求支座、求支座(zh zu)反力反力,LFbFAyLFaFByx2、分段、分段(fn dun)列出梁的弯矩方程列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbEI)(LxaBC段段x)0 (ax AC段段B),()(2axFxLFbxM),(2axFxLFbEI第

9、25页/共76页第二十六页，共76页。,21211CxLFbEIEI)(LxaBC段段)0 (ax AC段段,)(2222222CaxFxLFbEIEI,61131DxCxLFbEI,)(6622332DxCaxFxLFbEI3、确定、确定(qudng)常数常数由边界条件：由边界条件：0, 0Ax（1）0,BLx（2）由光滑连续由光滑连续(linx)条件：条件：21 时，ax（3）21 时，ax（4）可解得：可解得：)(6221bLLFbC,2C021 DD第26页/共76页第二十七页，共76页。则简支梁的转角则简支梁的转角(zhunjio)方程和挠度方程为方程和挠度方程为),(36)(222

10、1bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (ax AC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbx,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbx4、求转角、求转角(zhunjio)0 x代入得：代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx 代入得：代入得：LEIaLFabLxB6)(2第27页/共76页第二十八页，共76页。5、求、求 。max0dxd由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx则由则由解得：解得：3

11、22bLx第28页/共76页第二十九页，共76页。)(1xy代入代入 得：得：EIbLFb39)(2322max2Lba若若 则：则：EIFLLx4832maxmax第29页/共76页第三十页，共76页。BBCC第30页/共76页第三十一页，共76页。8)(21qlxM2l)2(21)2(8)(2222lxlxqqlxM222)2(28lxqqllxl22一分段(fn dun)建立弯矩方程：二AB段： （0 x1 )BC段： （）第31页/共76页第三十二页，共76页。EIxMdxd)(121128)(211qlxMEI1111)()(cdxxmEIxEI1128cxql111111)(Dxc

12、dxdxxMEIxEI ）11121216Dxcxql二、分段建立近似微分方程(wi fn fn chn)，并对其积分两次： AB段：即： （1） （2）第32页/共76页第三十三页，共76页。22222)2(28)(lxqqlxMEI2322222)2(68)(clxqxqlEIxEI2224222222)2(2416)(DxclxqxqlEIxEIBC段： （3）（4）第33页/共76页第三十四页，共76页。01x0A01x0A三、利用边界条件、连续条件确定积分(jfn)常数由边界条件确定C1、D1：当当时， ,由（1）式得 C1=0 ；时， ,由（2）式得 D1=0 。由连续(linx)

13、条件确定C2、D2：第34页/共76页第三十五页，共76页。212lxx)()(12xx23212)22(62828CllqlqlClql021 CC212lxx)()(12xx1122224222)2(162)22(24)2(16DlClqlDlCllqlql当时，,即联立(1) 、(3)式子(sh zi)：，当时，即联立(2)、(4)式： 即得：D2=0第35页/共76页第三十六页，共76页。1218)(xqlxEI212116)(xqlxEI32222)2(68)(lxqxqlxEI422222)2(2416)(lxqxqlxEI四、分段建立转角方程(fngchng)、挠曲线方程(fng

14、chng)：AB段： （5） （6）BC段：（7）（8）第36页/共76页第三十七页，共76页。21lx EIqlB163EIqlB644lx 2EIqllqqlEIc485)2(681333EIqllqlqlEIc38423)2(24)(1614422五求梁指定(zhdng)截面上的转角和挠度当时，由（5）式得，由（6）式得， 当时，由（7）式得， 由（8）式得， 第37页/共76页第三十八页，共76页。 叠加法前提(qint)挠度、转角与载荷（如挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。轴向位移忽略不计。2、叠加法简捷方法 须记住梁在简单荷载作用下

15、的变形挠曲线方程、转角、挠度计算公式。第38页/共76页第三十九页，共76页。叠加法的两种处理(chl)方法：（1）荷载叠加： 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个(j )载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。数和。第39页/共76页第四十页，共76页。www：例题第40页/共76页第四十一页，共76页。www,2431EIqlBEIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC

16、48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(32第41页/共76页第四十二页，共76页。321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCwwwwEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql384114第42页/共76页第四十三页，共76页。例题例题 怎样怎样(znyng)(znyng)用叠加法确定用叠加法确定C C和和 wC ? wC ?w第43页/共76页第四十四页，共76页。wwww第44页/共76页第四十五页，共76页。w,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBB

17、CEIlq8)2(422lB第45页/共76页第四十六页，共76页。w21CCCwwwEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874第46页/共76页第四十七页，共76页。（2）逐段刚化法：21CCC)2(222lBBC第47页/共76页第四十八页，共76页。例题例题: :试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由(zyu)(zyu)端端C C 的挠度的挠度由于梁的抗弯刚度由于梁的抗弯刚度(n d)EI (n d)EI 在在B B 处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。

18、可用叠加法求解。处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。1.假定假定AB段刚化，研究自由端段刚化，研究自由端C 对截对截面面B的相对挠度的相对挠度;2. 解除解除AB段的刚化，并令段的刚化，并令BC段刚化。段刚化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1c)(243)2(331EIPlEIlPwc)(96522)2(2123)2(3232EIPlEIlplEIlPyBwBEIPlEIlPlEIlPB163222122)2(222PMB=Pl/2ABCwc2wBBBC 悬臂梁悬臂梁BCBC第48页/共76页第四十九页，共76页。由梁的变形连续条件，直线由梁

19、的变形连续条件，直线BC因因AB段的弯曲变形而移位到段的弯曲变形而移位到 的位置，使的位置，使C点有相应的挠度点有相应的挠度CB 将图（将图（b）和（）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由）两种情况的变形叠加后，即可求得自由(zyu)端端 C 的挠度的挠度 EIplEIplEIplwwwccc1634872433321 EIpllwwBBc487232APMB=Pl/2BCwc2wBBBC pcBwc1c第49页/共76页第五十页，共76页。pE第50页/共76页第五十一页，共76页。wE 1pwE 2pB第51页/共76页第五十二页，共76页。PPplEIlp323EAlp2EIlpl

20、222EAplEIpl21253WB2=CCWB3=CC第52页/共76页第五十三页，共76页。四、刚度条件 提高(t go)梁弯曲刚度的措施第53页/共76页第五十四页，共76页。刚度刚度(n d)条件：条件：,maxmaxw许用挠度许用挠度(nod)， 许用转角许用转角工程中，工程中， w w常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度(kud)l (kud)l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：750500ll对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：100005100003ll在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：rad

21、001.0第54页/共76页第五十五页，共76页。梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下(yxi)因素：因素：梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩 成反比；成反比；zI第55页/共76页第五十六页，共76页。例如例如(lr)受受q作用的简支梁：作用的简支梁：EIqly38454max)(,)(max明显yl方法方法(fngf)：LABqLABq第56页/共76页第五十七页，共76页。LABqLABq。可降低%60maxyzI )(常采用工字形、箱形截面，以提高常采用工字形、箱形截面，以提高(t go)惯性矩。与强度不同的是要惯性

22、矩。与强度不同的是要提高提高(t go)全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。第57页/共76页第五十八页，共76页。maxM方法方法(fngf)：使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担(chngdn)(chngdn)。例如：。例如：AlFCaEIFlwla48,5 . 03max时EIFlwla48572. 0,8 . 03max时。可降低%8 .42maxw第58页/共76页第五十九页，共76页。五、用变形(bin xng)比较法解简单超静定梁第59页/共76页第六十页，共76页。1、超

23、静定(jn dn)的概念2、用变形比较法解简单超静定(jn dn)梁的基本思想：(1)解除多余约束，变超静定(jn dn)梁为静定(jn dn)梁；(2)用静定(jn dn)梁与超静定(jn dn)梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；(3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定(jn dn)梁求解举列。第60页/共76页第六十一页，共76页。超静梁超静梁未知力的数目多于未知力的数目多于(du y)能列出的独立平衡方程的数目，能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或静不定问

24、题）。静不定问题）。超静次数超静次数=未知力的数目未知力的数目- 独立平衡独立平衡(pnghng)方程数方程数BqL4 4个约束个约束(yush)(yush)反力，反力，3 3个平衡方程，个平衡方程，静不定次数静不定次数=1=11、超静定的概念第61页/共76页第六十二页，共76页。2 、用变形(bin xng)比较法解简单超静定梁的基本思想：(1) (1) 确定超静定确定超静定(jn dn)(jn dn)次数。次数。(2) (2) 选择选择(xunz)(xunz)基本静定梁。基本静定梁。 静定梁静定梁(基本静定基基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应将超静定梁的多余约束解除，得到相

25、应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。及内力。 多余约束多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。或多余杆件。多余约束的数目多余约束的数目=超静定次数超静定次数BqL多余约束的数目多余约束的数目=1第62页/共76页第六十三页，共76页。静定静定(jn dn)梁梁(基本静定基本静定(jn dn)基基)选取选取( (2)2)解除解除A端阻止转动的端阻止转动的支座反力矩支座反力矩 作为多余约束作为多余约束, ,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。即选择两端

26、简支的梁作为基本静定梁。AMBqLAMA( (1)1)解除解除B支座的约束支座的约束, ,以以 代替，即选择代替，即选择A端固定端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。端自由的悬臂梁作为基本静定梁。ByFByFBqLA第63页/共76页第六十四页，共76页。(2) 基本静定基要便于计算基本静定基要便于计算(j sun)，即要有利于建立变形协调条，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取基本静定基选取(xunq)可遵循的原则：可遵循的原则：(1) 基本基本

27、(jbn)静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；第64页/共76页第六十五页，共76页。ABqLByFBqLABqLAMA3 3、列出变形协调、列出变形协调(xitio)(xitio)条件。条件。比较原静不定梁和静定基在解除约比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调要求，得到变形协调(xitio)条件。条件。0By0A第65页/共76页第六十六页，共76页。本例：本例： ( (1)1)4 4、用积分法或叠加法求变形、用

28、积分法或叠加法求变形(bin xng)(bin xng)，并求出多余未知力。，并求出多余未知力。仅有仅有q q作用作用(zuyng)(zuyng)，B B点挠度为：点挠度为：EIqlyBq84仅有仅有 作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：ByFEIlFyByBF33因此因此(ync)BqBFByyyEIql84EIlFBy330解得解得:)(83qlFByByFBqlA第66页/共76页第六十七页，共76页。5 5、根据静力平衡条件在基本、根据静力平衡条件在基本(jbn)(jbn)静定梁上求出其余的约束反力。静定梁上求出其余的约束反力。本例：本例： ( (1)1)ByFBqLAAyFAxFA

29、M0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ）第67页/共76页第六十八页，共76页。ByFBqLAAyFAxFAM(+)图sF(-)ql85ql83l85图M281ql21289qlBqL因此因此(ync)2max81qlMqlFQ85maxqlFQmax2max21qlM6 6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力(yngl)(yngl)和变形。和变形。第68页/共76页第六十九页，共76页。例题例题 图示静不定图示静不定(bdng)(bdng)梁，等截面梁梁，等截面梁ACAC的抗弯刚度的抗弯刚度EIEI，拉

30、杆，拉杆BDBD的抗拉的抗拉 刚度刚度EAEA，在，在F F力作用下，试求力作用下，试求BDBD杆的拉力和截面杆的拉力和截面C C的挠度的挠度 。BDBlwFl/2l/2ABCDl1 1、选择、选择(xunz)(xunz)基本静定梁。基本静定梁。解：解：Fl/2l/2ABCNF2 2、列出变形、列出变形(bin xng)(bin xng)协调条件。协调条件。NBFBFBwww而而)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）第69页/共76页第七十页，共76页。解得：解得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN3 3、在基本静定梁上由叠加法求、在基本静定梁上由叠加法求 。Cw)(33EIFlwCF在在F F力单独力单独(dnd)(dnd)作用下：作用下：在在 力单独作用下：力单独作用下：NF)(2411(9625)3 (62322AlIEIFlxlEIxFwlxNCFNFl/2l/2ABCNF第70页/共76页第七十一页，共76页。解得：解得：NCFCFCwww)241 (32251 323AlIE