BB二重积分在直角坐标系的计算PPT课件

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第十讲第1页/共21页2第二节第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、交换积分次序二、交换积分次序 二重积分在直角坐标系的计算法 第八章 第2页/共21页3曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的截柱体对应薄片的体积： 第3页/共21页4同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第4页/共21页5一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第5页/共21页6计算

2、二重积分的步骤：计算二重积分的步骤：一、 画积分域 D 二、选择积分次序三、定积分限四、计算若D为 X 型区域 若D为Y 型区域左右夹，从下向上穿上下夹，从左向右穿计算二重积分的基本思想将其化成两次定积分来计算。将其化成两次定积分来计算。定内限域中一线穿定外限域边两线夹（是常数是常数）第6页/共21页7说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区型区域域 , 为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 第7页/共21页8例例1. 计算计算其中D 是直线 y1, x

3、2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X型区域, 则解法解法2. 将D看作Y型区域, 则第8页/共21页9例例2. 计算计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 求交点及直线则 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,第9页/共21页10例例3. 计算计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第10页/共21页11注：注：本题计算中若先本题计算中若先对对后对积分;由于的原函数不能用初等函数来表示，则本题只能采用先对后对积分。例例4 计算其中 D 是由直线所

4、围成。第11页/共21页12例例4 计算计算其中 D 是由直线所围成。解：解：画域第12页/共21页13例例5 计算计算解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 第13页/共21页14例例6. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则第14页/共21页15交换二次积分的积分次序的步交换二次积分的积分次序的步骤：骤：1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域D，并画出D的图形。2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另一种二次积分。第15页/共21页16例例7: 计算计算解解: 先画D域由:将D域分为D1和D2第16页/共21页17例例8. 计算计算其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,第17页/共21页18内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则第18页/共21页19(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式（两边夹，一线穿）第19页/共21页20作业作业P487 1 (2);