BBD微积分基本定理PPT课件

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第三十讲第1页/共23页2二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第六节第六节微积分基本定理 第三章 第2页/共23页3问题的提出：问题的提出：利用定积分的定义（计算和式的极限）计算定积分是比较麻烦的。因此必须寻求计算定积分简便而有效的方法。牛顿与莱布尼茨在数学分析上的最主要的功绩之一就是他们发现了定积分和不定积分这两个不同的概念之间的内在联系。从而得到求定积分的一般方法。为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数及速度之间的联系作进一步的研究。第3页/共23页4一、引

2、例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .这表明，以速度运动的物体，在时间间隔内通过的路程问题就转化为用的原函数在区间端点处的函数值与的差来描述。第4页/共23页5设则它是一个定数。若固定下限让上限在上变动，即取则在上也连续，从而存在。并称它为变上限的定积分。变上限的定积分。1、积分上限的函数及其导数、积分上限的函数及其导数第5页/共23页6，为了避免混淆起见，由于定积分的值与积分变量的记号无关。于是变上限的定积分就可以改写成显然，当上限在上变动时，对于每一个值，变上限的定积分就有一个确定的值因

3、此定义了一个的函数与它对应。确定的这里定积分的上限和积分变量均为这里定积分的上限和积分变量均为第6页/共23页7则变上限函数证证:则有定理定理1. 若若第7页/共23页8说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:同时也初步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。通过复合函数求导法有从而为通过被积函数的原函数计算定积分开辟了道路。第8页/共23页9解：解：例例1第9页/共23页10解解：例例2：求求根据复合函数的求导法则及求导公式有：第10页/共23页11例例4：例例5：设函数是由方程所确定，求解：解：方程两边同时对求导得：例例3：第11页/共23页12例例

4、6 求极求极限限解解第12页/共23页13例例7. 求求解解:原式第13页/共23页14确定常数 a , b , c 的值, 使解解:原式 = c 0 , 故又由, 得例例8. 第14页/共23页15例例9 已知已知解解因为积分变量是 t ，被积函数中的 x 相当于 t 而言是常数，根据定积分的性质， x 可以提到积分号外。第15页/共23页16三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理2.函数 ,则第16页/共23页17例例1：利用牛顿利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分莱布尼茨公式计算定积分说明：说明：在上连续，且当时是的一个原函数。所以上式成立。第17页/共23页18例例2. 计算计算解解:例例3. 计算正弦曲线的面积 . 解解:第18页/共23页19例例4 4：计算下列定积分计算下列定积分解：解：32第19页/共23页20例例5：求求解：解：）本例中应该注意：被积函数中含有绝对值和分段函数绝对值和分段函数的积分过程。第20页/共23页21内容小结内容小结则有1. 微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼兹公式第2