第四章 动量定理与动量守恒定律

1、安徽大学出版社ANHUI UNIVERSITY大学物理学 安徽大学出版社安徽大学出版社 大学物理学 May 9, 2022Page2ANHUI UNIVERSITY 41 质点和质点系的动量定理 42 动量守恒定律 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20223 41 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理一、力的冲量一、力的冲量 质点的动量定理质点的动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律. 分离变量对一段时间积分分离变量对一段时间积分tmtpFd(ddd)v)( dddvmptF122121ddppp

2、tFpptt冲量冲量(impulse) 作用力作用力在在作用时间作用时间内的累积量内的累积量.(.(矢量矢量) )21d)(ttttFI单位单位(SI): 牛顿牛顿秒秒 (NS )恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20224质点动量定理质点动量定理(theorem of momentum) 物体物体在运动过程中在运动过程中所受合外力的冲量所受合外力的冲量, ,等于等于该物体该物体动量的增量动量的增量. .说明说明ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmt

3、FImmtFI000000dddvvvvvv (1)冲量的方向与动量增量的方向一致冲量的方向与动量增量的方向一致.是变力是变力Fdt 矢量和矢量和 (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量，动量定理中的动量和冲量都是矢量，分量式分量式: 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20225 (3) 在碰撞或冲击问题中在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用牛顿定律无法直接应用, 而动而动量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. (4) 动量定理仅适用于惯性系

4、动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关且与惯性系的选择无关.例例 如图如图, 一一重重锤从高度为锤从高度为h =1.5m的地方由的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的末速度为零末速度为零. 若打击时间分别为若打击时间分别为10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，试计算这几种情形下平均冲力试计算这几种情形下平均冲力与重力的比值与重力的比值.解解: 取取如图坐标系如图坐标系, 设重锤质量为设重锤质量为m .重锤初速度重锤初速度 , gh20v末速度为末速度为0. . 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守

5、恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20226000d)(vmtmgFt对重锤应用动量定理对重锤应用动量定理, 平均冲力为平均冲力为 FghmtmgtF2由此解得由此解得 tghtmgF55. 01211计算结果如下计算结果如下 10 10-1s-1s 10 10-2s-2s 10 10-3s-3s 10 10-4s-4s 6.5 6.5 56 56 551 551 5501 5501tmgF / 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20227二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理1m

6、2mimexiFiniF 对质点系中第对质点系中第i 个质点运用牛个质点运用牛顿第二定律顿第二定律.(i)(e)ddiiiiFFFtp合内力合内力合外力合外力求和求和, 有有(i)(e)ddddiiiiFFpttp因为内力成对出现因为内力成对出现, 上式可写为上式可写为:(e)ddiiFpt*合外力等于总动量对时间的变化率合外力等于总动量对时间的变化率. 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20228积分可得积分可得:121221(e)dPPPPtFiitti 质点质点系系动量定理动量定理 作用于质点系的作

7、用于质点系的合外力的冲量等于合外力的冲量等于系系统统动量的增量动量的增量. .合外力的冲量合外力的冲量系统末动量系统末动量系统初动量系统初动量说明说明 (1) 内力的内力的作用不改变系统的总动量作用不改变系统的总动量, 但内力做功却但内力做功却可以改变系统的总动能可以改变系统的总动能. (2) 变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程:Futmtmddd)(dv 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 20229例例1 1 如图用传送带如图用传送带A输送煤粉输送煤粉, 料斗口在料斗口在A上方上方高高h=0.5m

8、处，处，煤粉自料斗口自由落在煤粉自料斗口自由落在A上上. 设料斗口连续卸煤的流量为设料斗口连续卸煤的流量为q=40kg/s, A以以v = 2.0m/s的水平速度匀速向右移动的水平速度匀速向右移动. 求装煤的求装煤的过程中过程中, 煤粉对煤粉对A的作用力的大小和方向的作用力的大小和方向. (不计相对传送带静不计相对传送带静止的煤粉质量止的煤粉质量.) hAv 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202210 解：解：煤粉对煤粉对A A的作用力即单位时间内落下的煤粉给的作用力即单位时间内落下的煤粉给A A的的

9、平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。ghmmppmppyx2)(00012vv设设 时间内落下的煤粉时间内落下的煤粉质量为质量为 则有则有tm由动量定理由动量定理ptFtFItt21dxy1p初动量初动量2p末动量末动量ppp12 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202211可得煤粉所受的平均冲力为可得煤粉所受的平均冲力为)N(2 .1252)N(80ghqtpFqtmt

10、pFyyxxvv(N)14922yxFFF4 .57802 .125tanarctanarcxyFF1pxy2pppp12FOF 煤粉给传送带的平均冲力为煤粉给传送带的平均冲力为6 .1224 .57180N149F方向由如图夹角表示方向由如图夹角表示方向由如图夹角表示方向由如图夹角表示 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202212 例例 2 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .链条放在桌上链条放在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,

11、其余部分堆在小孔周围其余部分堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落求链条下落速度与落下距离之间的关系下距离之间的关系 . 设链与各处的摩擦均略去不计设链与各处的摩擦均略去不计,且认为链且认为链条软得可以自由伸开条软得可以自由伸开 . 解解 以竖直悬挂的链条和桌以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统面上的链条为一系统,建立如图建立如图坐标坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex则则 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSI

12、TY May 9, 202213则则tddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202214 42 动量守恒定律(law of momentum conservation)0(e)(e)iiFFiipp恒矢量恒矢量定义定义 系统所受合外力为零时系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变系统的总动

13、量保持不变.说明说明 (1) 系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必各物体的动量必须须相对于同相对于同一惯性参考系一惯性参考系 . (2) 守恒条件守恒条件: 合外力为零合外力为零. 有些情况外力不为零有些情况外力不为零, 比比如如在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中, 内内力力外力外力, 则则可略去外力可略去外力, 任为系统动量守恒任为系统动量守恒. 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHU

14、I UNIVERSITY May 9, 202215 (3) 若系统所受外力的矢量和不为零，但合外力在若系统所受外力的矢量和不为零，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，总动量虽不守恒某个坐标轴上的分矢量为零，总动量虽不守恒, 但动量但动量守恒可在某一方向上成立守恒可在某一方向上成立.zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0(e)(e)(e) (4) 动量守恒定律只在惯性参考系中成立动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界是自然界最普遍最普遍, 最基本的定律之一最基本的定律之一 , 即使即使在微观高速范围仍适用在微观高速范围仍适用. 大学物理学Page第

15、四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202216例例1: 如图所示，两部运水的卡车如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，在水平面上沿同一方向运动，B的速度为的速度为u ，从，从B上以上以6kg/s的速率将水抽至的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，时，A车的质量为车的质量为M，速度为，速度为v 。求求 时刻时刻 t ，A 的瞬时加速度的瞬时加速度?解解: 选选A车车M和和 t时间内抽至时间内抽至A车的水车的水

16、m为研究系统，水平为研究系统，水平方向上动量守恒方向上动量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvvvvuMmvvvuMMutmtat6ddlim0ABuvA 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202217 例例 2 设有一静止的原子核设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子已知电子和中微子的运动方向互相垂直的运动方向互相垂直,且电子动量为且电子动量为1.210-22 kgms-1,中中微子的动量

17、为微子的动量为6.410-23 kgms-1 . 问新的原子核的动量问新的原子核的动量的值和方向如何的值和方向如何?解解inexiiFF 0Neppp即即 epNppniimp1iv恒矢量恒矢量 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202218又因为又因为epp )(2122eNppp9 .61arctanepp122Nsmkg1036. 1p代入数据计算得代入数据计算得系统动量守恒系统动量守恒 , 即即 0Neppp epNpp122esmkg102 . 1p123smkg104 . 6p 大学物理学Pa

18、ge第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202219 例例 3 一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以 2.5 103 ms-1 的速率相对地面的速率相对地面沿水平方向飞行沿水平方向飞行 . 设空气阻力不计设空气阻力不计. 现由控制系统使火箭分现由控制系统使火箭分离为两部分离为两部分, 前方部分是质量为前方部分是质量为100kg 的仪器舱的仪器舱, 后方部分是后方部分是质量为质量为 200kg 的火箭容器的火箭容器 . 若仪器舱相对火箭容器的水平速若仪器舱相对火箭容器的水平速率为率为1.0 103 ms-1 . 求求 仪器舱和火箭

19、容器相对地面的速度仪器舱和火箭容器相对地面的速度 .xzyo x z ys s ovv 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202220 xzyo x zys s ovv1m2m已知已知13sm1052 .v13sm100 . 1v求求 ,1v2vkg2002mkg1001m解解 vvv210exixF221121)(vvvmmmm131sm10173 .v132sm10172.vvvv2112mmm则则 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERS

20、ITY May 9, 202221 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202222 43 质心质心(center of mass) 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心 在研究多个物体组成的系统或有限广延体时在研究多个物体组成的系统或有限广延体时, 质心质心是个重要的概念是个重要的概念, 对于质点系运用动量定理对于质点系运用动量定理, 有有:)(2211).(ddennFmmmtvvv可写为可写为:)(221122).(ddennFrmrmrmt即即:)(2122112221).(dd).(ennnn

21、Fmmmrmrmrmtmmm 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202223)(22ddecFtrm令令: 为质点的总质量为质点的总质量, 并令并令immmrmriic则有则有 质心质心 我们把前式定义的位置矢量我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的的矢端处的几何点几何点C, 称为质点系的质量分布中心称为质点系的质量分布中心, 简称质心简称质心.cr质心运动方程质心运动方程1) 离散分布的质点系的质心位置离散分布的质点系的质心位置(直角坐标系直角坐标系)MzmzMymyMxmxriiciiciicc,质点系

22、质点系 “质点质点” 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 2022242) 质量连续分布的质点系的质心位置质量连续分布的质点系的质心位置MmzzMmyyMmxxmmrrccccd,d,dd说明说明 (1) 质心是由质量分布所决定的一个特殊的几何点质心是由质量分布所决定的一个特殊的几何点, 不一定在质点上不一定在质点上. (2) 根据质心定义根据质心定义 a.两质点的质心在其连线上两质点的质心在其连线上,质心质心到两质点的距离与质量成反比到两质点的距离与质量成反比; b.两质点系的质心两质点系的质心, 即为即

23、为将两质点系质量集中于各自质心而构成的两个假想质点将两质点系质量集中于各自质心而构成的两个假想质点的质心的质心; c.密度均匀的对称物体密度均匀的对称物体, 质心在其几何中心质心在其几何中心. 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202225例例 已知一半圆环半径为已知一半圆环半径为 R，质量为，质量为M解解 建坐标系如图建坐标系如图yO d ddRl ddRRMm sin cosRyRx0cx2dsind0RMRRMRMmyyc取取 dldm = dl几何对称性几何对称性求求 它的质心位置它的质心位置 大

24、学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202226二、质心运动定理二、质心运动定理 (theorem of motion for center of mass) 质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动量的时间变化率时间变化率.22ddddtrtacccv)(ecFam引入质心后引入质心后,mmmrmttriiiiccvvdddd所以质点系的动量所以质点系的动量ciiniimmPPvv1 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHU

25、I UNIVERSITY May 9, 202227三、质心参考系三、质心参考系 柯尼希定理柯尼希定理 所谓所谓质心参考系质心参考系, 就是就是质点系的质心质点系的质心与坐标原点重与坐标原点重合且坐标轴的方向相对于原惯性系保持不变的坐标系合且坐标轴的方向相对于原惯性系保持不变的坐标系. 在质心参考系中在质心参考系中, , 因而质点系的总动量为零因而质点系的总动量为零.0cv因此又称为因此又称为零动量参考系零动量参考系或或动量中心系动量中心系.质点系相对于质心参考系的运动具有质点系相对于质心参考系的运动具有特殊性特殊性: (1) 质心系中质心系中, 质点系的总动量恒为零质点系的总动量恒为零;(2

26、) 质点系相对于质心系的角动量定理与质点系在惯性系质点系相对于质心系的角动量定理与质点系在惯性系中相对于某定点的角动量定理具有相同的形式中相对于某定点的角动量定理具有相同的形式.(3) 下面将要介绍的柯尼希定理下面将要介绍的柯尼希定理. 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202228icivvv 质点系中任一质点质点系中任一质点mi 相对于某一惯性系相对于某一惯性系K 速度是速度是 ,相对质点系质心的速度是相对质点系质心的速度是 , 质点系质心相对于质点系质心相对于K系的速系的速度是度是 , 则由伽利略速度变换式则由伽利略速度变换式, 有有:cviviv质点系相对质点系相对K 系总动能系总动能为为:22k)(2121 iciiiiimmEvvv222)2(21iicciimvvvv)(2121 22iiciiiciimmmvvvv 大学物理学Page第四章第四章动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 ANHUI UNIVERSITY May 9, 202229)(2121 22iiciiiciimmmvvvv= 0222121 iiiciimmvvkrkcEE 质心动能质心动能相对动能相对动能柯尼希定理柯尼希定理 质点系相对质点系相对惯性系惯性