第十一章_能量方法(Y)

1、一、概一、概 述述二、变形能的计算二、变形能的计算三、互等定理三、互等定理四、卡氏定理四、卡氏定理五、虚功原理五、虚功原理六、单位载荷法六、单位载荷法莫尔积分莫尔积分七、计算莫尔积分的图乘法七、计算莫尔积分的图乘法一、概述一、概述四种基本变形四种基本变形强度计算强度计算刚度计算刚度计算组合变形及复杂的刚架、桁架结构组合变形及复杂的刚架、桁架结构强度计算强度计算1 1、几何法：、几何法：2 2、能量法、能量法组合变形及复杂的刚架、桁架结构组合变形及复杂的刚架、桁架结构变形计算用能量法变形计算用能量法应应 力力应应 变变变变 形形外外 力力物理方程物理方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程（变形协调

2、方程）（变形协调方程）实验实验能量法出发点：能量法出发点：能量守恒与转换原理。能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功，荷载做功，W弹性体变形弹性体变形储存变形能（应变能）储存变形能（应变能）， U略去在该过程中的微量能量损耗，则由略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：能量守恒与转换原理，得： 外力功外力功 = = 变形能变形能 W = U能量法即从能量与功的关系入手。能量法即从能量与功的关系入手。能量法能量法由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法。由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法。PABLL二、变形能的计算二、变形

3、能的计算1 1、轴向拉伸与压缩、轴向拉伸与压缩PABLL静载：静载： 荷载：荷载：0P缓慢缓慢加力点加力点B 的位移：的位移：0L缓慢缓慢变力做功：变力做功：)()(ldlPdW对于对于线弹性材料线弹性材料LB对于线弹性材料，变形能为：对于线弹性材料，变形能为：212NLUEALlPOdwd(l)12P LpPLP21)()(0ldlPWLEANLL PABLLLPWU21公式适用范围：公式适用范围：（1 1）材料在线弹性范围内时（比例极限）公式可用，）材料在线弹性范围内时（比例极限）公式可用，p（2 2）在杆件长度）在杆件长度L L 范围内，轴力范围内，轴力N、抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度E

4、A 均为常均为常 数时公式才可用。数时公式才可用。EANll 212NLUEA（3 3）若计算杆件的变形）若计算杆件的变形 时，在时，在分段分段 内内， 均为常数，则应分段计算各段的变形能，然后求代数和。均为常数，则应分段计算各段的变形能，然后求代数和。iiiAEN,lilniiiiAElNUi122（4 4）在杆长范围内）在杆长范围内N、EA有一个是有一个是x的函数时，有：的函数时，有：lxEAdxxNU)(2)(2（5 5）单位体积的变形能称为比能：）单位体积的变形能称为比能：212ALLPVUuLPWU212 2、扭转变形能、扭转变形能对于线弹性材料，变形能为：对于线弹性材料，变形能为：

5、TdTWU21)(0TOTTL L（2 2）单位体积的变形能称为比能：）单位体积的变形能称为比能：21ulPxGIdxxTU)()(212（1 1）若）若T、GIp是是x的函数时，有：的函数时，有：3 3、弯曲变形能、弯曲变形能MOM（1 1）纯弯曲）纯弯曲MML L对于线弹性材料，变形能为：对于线弹性材料，变形能为：MWU21EILMU221 LLM LE I （2 2）横力弯曲）横力弯曲Q(x)总变形能总变形能 = = 剪切变形能剪切变形能 + + 弯曲变形能弯曲变形能EIdxxMdU2)(2一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：U 弯曲变形能弯曲

6、变形能 .LEIdxxMU2)(2M(x)dx4 4、变形能的普遍表达形式、变形能的普遍表达形式MdxNTMNTEAdxNGIdxTEIdxMdUP222222LLPLEAdxNGIdxTEIdxMU222222如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。用用“内力内力”表示的变形能的普遍表达式表示的变形能的普遍表达式M、T、N所有外力所有外力P1、P2、P3共同作用引

7、起的内力共同作用引起的内力。P=P1+P2LL=L1+L2EA21212121222122122121)(2121UUEALPPUUEALPPEALPEALPEALPPEALPU（1）变形能不能叠加）变形能不能叠加P1和和P2同时加载同时加载4 4、变形能的讨论、变形能的讨论EALPU21121EALPU22221P1和和P2单独加载单独加载P1LL1EAP2L2（2 2）变形能只与力或位移的终值有关，与加载）变形能只与力或位移的终值有关，与加载 过程和过程和加载的先后加载的先后次序无关。次序无关。EALPU21121先加先加P1、再加、再加P2EALPU22221213LPU加载过程中加载过

8、程中P1在在P2产生的位移上做的功产生的位移上做的功EALPL22EALPPEALPEALPU2122212121123LPU加载过程中加载过程中P2 在在P1产生的位移上做的功产生的位移上做的功变形能不能叠加的力学本质：变形能不能叠加的力学本质：一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。P1LL1EAP2L2EALPU21121EALPU22221先加先加P2 、再加再加P1产生的位移上做的功产生的位移上做的功EALPPEALPEALPU2122212121EALPL11例：例：求求图示简支图示简支梁中点的挠梁中点的挠度度 fC解：解：CPfW21)20

9、( 2)(LxxPxM2022022)2(222LLEIxPEIdxMUEILP9632PEIL/2L/2（3）利用变形能求位移）利用变形能求位移2P2PxUW EILPPfC9621 32EIPLfC48 3正号表示正号表示 fC 的方向与外力的方向与外力P 的指向相同。的指向相同。CfLEIdxxMU2)(2三、互等定理三、互等定理符号说明：符号说明：:iFi表示表示“力力”的作用点的位置。的作用点的位置。荷载荷载位移位移:ijfi ：位移发生的位置。：位移发生的位置。 j ：位移发生的原因，：位移发生的原因，j 点的点的“力力”引起的引起的位移。位移。1F1211f21f2F1212f2

10、2fijf线位移线位移iF集中力集中力iF集中力偶集中力偶ijf角位移角位移ijf广义位移广义位移iF广义力广义力现在梁上现在梁上 1、2 两点加荷载两点加荷载 、 ，采用两种不同的方式，采用两种不同的方式: :1F2F第一种加载方案：第一种加载方案： 1 1、2 2 两点同时加两点同时加 12FF、由叠加原理，由叠加原理，1 点总的位移为：点总的位移为：1211ff2221ff2 点总的位移为：点总的位移为：)(21)(21222121211111ffFffFWU1211ff1F122F2221ff第二种加载方案：第二种加载方案：先加先加 ，然后再加，然后再加1F2F121222111222

11、121fFfFfFWU先加先加 ， 做功为：做功为：11121fF1F1F再加再加 ， 做功为：做功为：22221fF2F2F在加在加 的过程中的过程中 已是常数，常数作功为：已是常数，常数作功为： 121fF2F1F11f1F122F22f12f线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。21 UU12122211122212121112121)(21)(21fFfFfFffFffF121212 fFfF功的互等定理功的互等定理F2 在在F1 引起的引起的2 2点位移上所做的功等于点位移上所做的功等于F1 在在F2 引起的引起的1

12、1点位移上所做的功。点位移上所做的功。当当F1 和和F2 在数值上相等时，由功的互等定理可得到：在数值上相等时，由功的互等定理可得到：1221ff位移互等定理位移互等定理第第1 点的荷载引起的第点的荷载引起的第2 点的位移等于点的位移等于在第在第2 点作用同样大小的荷载引起的第点作用同样大小的荷载引起的第1点的位移。点的位移。12122F1M1221f212121fFM功互等功互等当当 M1 与与F2 数值上相等时：数值上相等时：2112f位移互等（数值上相等）位移互等（数值上相等）例：例：互等定理成立的条件：互等定理成立的条件：线弹性、小变形线弹性、小变形212121MM功互等功互等当当 M

13、1 与与 M2 在数值上相等时：在数值上相等时：2112位移互等（数值上相等）位移互等（数值上相等）1M122112122M四、虚功原理四、虚功原理1 1、虚位移、虚位移虚位移虚位移约束所允许的微小位移。约束所允许的微小位移。0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F实际位移：实际位移：是在某一瞬时真正发生的位移，它与时间、主是在某一瞬时真正发生的位移，它与时间、主 动力、运动的初始条件及约束条件都有关。动力、运动的初始条件及约束条件都有关。 虚位移：虚位移：只是在约束容许的条件下人为假想的一个可能只是在约束容许的条件下人为假想的一个可能 发生的位移。并不是真正发生的位移，它与时发生的位移。并

14、不是真正发生的位移，它与时 间、主动力、运动的初始条件都无关。间、主动力、运动的初始条件都无关。2 2、虚功原理、虚功原理虚位移原理虚位移原理（2 2）弹性体的虚位移原理）弹性体的虚位移原理 对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移， 则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的虚功，称为则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的虚功，称为外力虚功外力虚功， 用用 表示；表示；作用在作用在弹性体的内力在相应的虚位移上所做的弹性体的内力在相应的虚位移上所做的虚虚 功，功，称为称为内力虚功，内力虚功，用用 表示表示。extWintW（

15、1 1）刚体的虚位移原理）刚体的虚位移原理 具有双面、定常、理想约束的质点系平衡的充具有双面、定常、理想约束的质点系平衡的充要要条件是：条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功 之和等于零。之和等于零。弹性体的虚功原理：弹性体的虚功原理：弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等 于内力虚功，即：于内力虚功，即：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xqMdxCq(x)NNM变形前变形前小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。小微段

16、上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。整个梁处于平衡状态整个梁处于平衡状态微段在外力和内力共同作用下也处于平衡状态微段在外力和内力共同作用下也处于平衡状态)(*xv将梁分成无数个长度为将梁分成无数个长度为dx 的微段，求出其中任一微段上外力和内力的微段，求出其中任一微段上外力和内力在虚位移上作的虚功，然后再求和，可求出整个梁上所有力在虚位移上作的虚功，然后再求和，可求出整个梁上所有力在虚位移在虚位移上作的虚功。上作的虚功。给图示梁一个虚位移给图示梁一个虚位移 。MdxCq(x)NNM变形前变形前C变形后变形后*()dl*d*d*d)(*xv（刚体虚位移）（刚体虚位移）+ +小微段

17、上的虚位移可分解为：小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。刚体虚位移（形心位移）和虚变形。（虚变形（虚变形）质点虚功原理：质点虚功原理：处于平衡状态下的力系（处于平衡状态下的力系（外外力和内力）力和内力）在刚体虚位移上的虚功之和等于在刚体虚位移上的虚功之和等于0。intextWW 弹性体平衡弹性体平衡)(*22*11lextdxxqvvFvFW0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xq每一微段的两侧与相邻微段的侧面内力等值、反向，而刚性虚位移相同，每一微段的两侧与相邻微段的侧面内力等值、反向，而刚性虚位移相同，所以内力在刚性上的虚功相互抵消，只剩下外力在刚性虚位移上

18、作的功。所以内力在刚性上的虚功相互抵消，只剩下外力在刚性虚位移上作的功。在给梁虚位移时，梁上的外力已经是常数，所以外力在虚位移上作的功是在给梁虚位移时，梁上的外力已经是常数，所以外力在虚位移上作的功是常力作功。常力作功。（1 1）外力只在刚性虚位移上作虚功外力只在刚性虚位移上作虚功。MdxCq(x)NNM)(*ld *QdWQd*MdWM d*TdWTd*d)(*d)(*d*)(TdQdMdlNddWNNQQMMTT（2 2）内力只在）内力只在虚位移引起的虚位移引起的虚变形上作功。虚变形上作功。)(lNddWN小微段上的虚功仅为力系在虚变形上做的功。小微段上的虚功仅为力系在虚变形上做的功。*)

19、(TdQdMdlNddW所有微段上的虚功之和所有微段上的虚功之和总的内力虚功。总的内力虚功。llllTdQdMdlNdW*int)(intextWWW)(*22*11lextdxxqvvFvFW六、单位载荷法六、单位载荷法莫尔积分莫尔积分以梁为例，由虚功原理来推导单位载荷法以梁为例，由虚功原理来推导单位载荷法为了求实际载荷作用下，为了求实际载荷作用下，i点的位移点的位移 ，在梁上考虑两种载荷系的作用，在梁上考虑两种载荷系的作用第一种载荷系：杆承受的实际载荷第一种载荷系：杆承受的实际载荷2P1PiP12iP1、P2、 Pi 杆杆承受的实际荷载承受的实际荷载1、 2、i 实际荷载引起各外力作用点的

20、相应位移。实际荷载引起各外力作用点的相应位移。i梁内各段实际载荷引起的弯矩方程用梁内各段实际载荷引起的弯矩方程用 表示。表示。( )M xi2P1P1PiP12i第二种载荷系：在求位移处加上与位移相应的单位载荷第二种载荷系：在求位移处加上与位移相应的单位载荷ii梁内各段由单位载荷引起的弯矩方程用梁内各段由单位载荷引起的弯矩方程用 表示。表示。( )M x在欲求位移处加上与位移相在欲求位移处加上与位移相应的单位载荷应的单位载荷实际荷载引起的位移作为虚实际荷载引起的位移作为虚位移加在梁上。位移加在梁上。1P12ii（1 1）将原荷载系统的位移作为单位力系统的虚位移）将原荷载系统的位移作为单位力系统

21、的虚位移1P12iiextintWWextiiWP ( )( )intllWMx dQ x d对于细长梁剪力所作的虚功一般很小可忽略对于细长梁剪力所作的虚功一般很小可忽略( )0lQ x d( )intlWMx d( )ilMx d对于线弹性材料对于线弹性材料( )( )dlM x M xxEI 是实际载荷的位移是实际载荷的位移d（2 2）由虚功原理）由虚功原理 推导单位载荷法推导单位载荷法 LLM LE I EIdxxMd)(单位载荷法讨论单位载荷法讨论（1 1）建立单位力系统：）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点 沿该方向加相应的单

22、位力，作为单位力系统。沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。“相应相应”：线位移：线位移集中力集中力 角位移角位移集中力偶。集中力偶。对应的单位力系统对应的单位力系统ABaa1求图示结构求图示结构B点沿点沿a-a方向的线位移方向的线位移ABaa( )( )dlM x M xxEI 对应的单位力系统对应的单位力系统AB1求图示结构求图示结构B点的角位移点的角位移（2 2）无论欲求结构上位移点处有无与位移对应的实际载荷，）无论欲求结构上位移点处有无与位移对应的实际载荷， 均要在欲求位移处加上与位移相应的单位载荷力。均要在欲求位移处加上与位移相应的单位载荷力。（3）单位载荷法）单位载荷法既适用于线

23、性系统，也适用于非线性系统。既适用于线性系统，也适用于非线性系统。AB( )( )dlM x M xxEI 对于桁架：对于桁架：( )( )lNx Nx dxEA 对于轴：对于轴：( )( )lPTx Tx dxGI 对于梁：对于梁：( )( )lMx Mx dxEI 对于线性结构：对于线性结构：对于杆：对于杆：1nii iiiiN N lE A 对于组合变形：对于组合变形：llpldxEAxNxNdxGIxTxTdxEIxMxM)()()()()()(lAEI2qlqBxABx1解：解： （1 1）建立单位力系统和坐标系：）建立单位力系统和坐标系： 无论实际结构中无论实际结构中A点有无与点有

24、无与 相应的外力，都必须建立单位力系统。相应的外力，都必须建立单位力系统。 （2 2）求内力：）求内力：例：例：求图示结构求图示结构 A 截面的转角截面的转角 。AA( )1M x 22( )2qxM xql （3 3）求）求 ：A2233300( )( )7266llAqxqlM x M x dxqlqlqldxEIEIEIEIEI 前的负号表示前的负号表示 的转向与单位力的转向与单位力 的转向相反。的转向相反。AA1M 求：求：该曲杆该曲杆A点的水平位移。点的水平位移。 sinFN解：解：写出曲杆的实际内力方程和写出曲杆的实际内力方程和单位力系统内力方程单位力系统内力方程FRmmF N Q

25、 M cosFQ sinFRM已知已知: : EI，F，R。A1 )cos1 ( RMEIFRRdEIRFRRdEIMMxA2)cos1 (sin)()(32020例：例：图示结构，图示结构，求求: :A、B 两点的相对位移和相对转角。两点的相对位移和相对转角。PEI2aaPDCBAx1x2x3axPxxMaxPaxMaxPxxM333221110 )(20 )(0 )(解：解：11)(xxMaxM)(233)(xxM1EI2aa1DCBAx1x2x3PEI2aaPDCBAx1x2x3 )( )( )(33211PxxMPaxMPxxMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIxMx

26、MdxEIxMxMdxEIxMxMaaaaaaAB38 )()()()()()(30323202201210333202220111PEI2aaPDCBAx1x2x3 )( )( )(33211PxxMPaxMPxxM1)(1xM1)(2xM1)(3xMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIxMxMdxEIxMxMdxEIxMxMaaaaaaAB203320201103332022201113 )()()()()()(和相对转角。和相对转角。解：解：（1 1）写出实际载荷的内力方程）写出实际载荷的内力方程)0()(222RxFxxMCE：段)0(0)(11RxxMAC：段段)20

27、()sin1 ()(FRMEG：段段1x2x1x2x1x2x)0()(222RxFxxMCE：段)0(0)(11RxxMAC：段段)20()sin1 ()(FRMEG：段段（2 2）写出）写出单位载荷的内力方程单位载荷的内力方程)0()(111RxxxMAC：段段)0()()(222RxxRxMCE：段)20()sin2()(RMEG：段段2002220111)()(2)()(2)()(2RdEIMMdxEIxMxMdxEIxMxMRRAB253233EIFRAB200222)sin2()sin1 (2)()(20 RdEIRFRdxEIxRFxRAB2002220111)()(2)()(2)

28、()(2RdEIMMdxEIxMxMdxEIxMxMRRAB22)(FxxMCE：段0)(1xMAC：段段)sin1 ()( FRMEG：段段11)(xxMAC：段段)()(22xRxMCE：段)sin2()( RMEG：段段（3 3）写出）写出单位载荷的内力方程单位载荷的内力方程1x2x)0()(222RxFxxMCE：段)0(0)(11RxxMAC：段段)20()sin1 ()(FRMEG：段段)0(1)(11RxxMAC：段段)0(1)(22RxxMCE：段)20(1)(MEG：段段2002220111)()(2)()(2)()(2RdEIMMdxEIxMxMdxEIxMxMRRAB1x

29、2x2002220111)()(2)()(2)()(2RdEIMMdxEIxMxMdxEIxMxMRRAB22)(FxxMCE：段0)(1xMAC：段段)sin1 ()( FRMEG：段段)0(1)(11RxxMAC：段段)0(1)(22RxxMCE：段)20(1)(MEG：段段200221)sin1 (2)1()(20 RdEIFRdxEIFxRAB)3(2EIFRAB例：例：图示结构，图示结构，求求: : B截面的相对转角。截面的相对转角。BB解：解：求反力求反力 （1 1）BC段段2FFFCB（2 2）列弯矩方程）列弯矩方程1x2x3x2333221122)(2)(2)(xqxFxMxF

30、xMxFxM已知：已知：F=qlEIFldxEIlxxqxFdxEIlxxFdxEIlxxFdxEIxMxMdxEIxMxMdxEIxMxMllllllBB220332330222011120333022201114)21 ()22(22)21 (2)()()()()()(2333221122)(2)(2)(xqxFxMxFxMxFxMlxxMlxxMlxxM21)(2)(21)(3322113xB2x3x1x1x2xl 21已知：已知：由由5 根杆组成的根杆组成的桁桁架结构，每根杆的抗拉、架结构，每根杆的抗拉、 压刚度压刚度EA均相同。均相同。 求：求：在在P力作用下力作用下A点的垂直和水平

31、位移。点的垂直和水平位移。解：解：求反力求反力000- -PP2000- -12) 122() 1()(2221EAPaaPaPEAxA51iiiiiiAElNN000- -PP2EAPaaPEAyA) 1()(1000- -1051iiiiiiAElNN已知：已知：由杆系和梁组成的混合构架如图所示。设由杆系和梁组成的混合构架如图所示。设P 、a，EA， EI均为已知，不计构件自重。均为已知，不计构件自重。 求：求：C点的垂直位移点的垂直位移。2a解：解：（1 1）求反力）求反力630 033 022 011PNcos60NNXPN02asin60NPamPRaRPam02202BBBO（2

32、2）写出实际载荷的内力方程）写出实际载荷的内力方程6333 2 1PNPNPR2B1x2x2202211260sin)(2)(xPxNxMxPxM6333 1PNPN222022112160sin)(21)(xxNxMxxM6333 1NN2（3 3）写出单位载荷的内力方程）写出单位载荷的内力方程（4 4）用单位载荷法求解）用单位载荷法求解22112)(2)(xPxMxPxM6333 1PNPN2221121)(21)(xxMxxM6333 1NN2EAPaEIPaEAaPEAaPdxEIxxPdxEIxxPEAlNNdxEIxMxMdxEIxMxMyaaiiiiaaC67663632)33(

33、)33(212212)()()()(3021101112102220111例：例：求图示结构求图示结构C点的竖直位移。点的竖直位移。aqEIaABCDEAaEI解解：（1 1）建立单位力系统如图。）建立单位力系统如图。 （2 2）建立坐标系如图。）建立坐标系如图。 荷载系统与单位力系统坐标荷载系统与单位力系统坐标 系要一致。系要一致。（3 3）求内力。）求内力。实际荷载系统：实际荷载系统：211()2qxMx 单位力系统：单位力系统：11()Mxx 单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。22)(xxM222)(xqaxM2qaN 1N（4 4）

34、利用单位力法求）利用单位力法求C点的竖直位移。点的竖直位移。符号为正表明符号为正表明 的指向与单位力的指向与单位力 的指向相同。的指向相同。CfCf1F211()2qxMx 11()Mxx 222)(xqaxM22)(xxMEAqaEIqaEAaqadxEIqaxdxEIqxEAaNNdxEIxMxMdxEIxMxMfaaaaC2247222)()()()(2402220131022201111N2qaN 解：解：（1 1）写出实际载荷的内力方程）写出实际载荷的内力方程)cos1 ()cos()(sin)(PRRRPTMPRMMty)cos1 ()(sin)(PRTMPRMMty)cos1 (

35、)(sin)(RTMRMMtyGIPREIPRRdGIRPRRdEIRPRRdGITTRdEIMMAB33202020203)cos1 ()cos1 ()sin()sin()()()()(解：解：（1 1）写出实际载荷的内力方程）写出实际载荷的内力方程1x2xAB段：段：11)(FxxMFaxTFxxM)()(222BC段：段：（2 2）求求A端铅垂位移端铅垂位移写出单位载荷的内力方程写出单位载荷的内力方程1x2xAB段：段：11)(FxxMFaxTFxxM)()(222BC段：段：1x2xAB段：段：11)(xxMaxTxxM)()(222BC段：段：GIFaEIFadxGIaFadxEIx

36、FxdxEIxFxdxGIxTxTdxEIxMxMdxEIxMxMyaaaaaaA332022022201112022220222011123)()()()()()()()()()(（3 3）求）求A端绕端绕BC轴线的转角轴线的转角写出单位载荷的内力方程写出单位载荷的内力方程1x2xAB段：段：11)(FxxMFaxTFxxM)()(222BC段：段：1xAB段：段：1)(1xM1)(0)(22xTxMBC段：段：GIFaEIFadxGIFadxEIFxdxGIxTxTdxEIxMxMdxEIxMxMaaaaaBC22202011202222022201112210)1()()()()()()

37、()(例：例：图示简支梁，图示简支梁，求：求：距右铰支为距右铰支为l/4/4处处D点的挠度。点的挠度。解：解：)40( )4(2)()40( 2)()20( 2)(333222111lxxlPxMlxxPxMlxxPxM1x1x2x2x3x3x)40( )4(43)()40( 43)()20( 41)(3333222111lxxxlxMlxxxMlxxxM-七、计算莫尔积分的图乘法七、计算莫尔积分的图乘法公式推导以梁为例，公式推导以梁为例，对于梁：对于梁：对于最常见的均质等直杆，对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：莫尔积分变

38、为：( )( )Mx Mx dx( )( )lMx Mx dxEI 图乘法：图乘法：将积分号内的计算转化为将积分号内的计算转化为图形相乘。图形相乘。实际载荷引起的弯矩图：实际载荷引起的弯矩图：可能可能是直线段、折线段或曲线段。是直线段、折线段或曲线段。 单位力引起的单位力引起的弯矩弯矩图：图：可能可能是直线段或折线段。是直线段或折线段。（1 1）现考察任一段）现考察任一段梁梁AB，其上由实际荷载引起的弯矩图为曲线，其上由实际荷载引起的弯矩图为曲线， 而由单位力引起的弯矩图为斜直线。而由单位力引起的弯矩图为斜直线。Oxy( )M xABOxy( )M xAB（2 2）建立坐标系：）建立坐标系：以

39、以 与与 x 轴的交点轴的交点O为坐标原点，为坐标原点， 设设 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为 。（3 3）公式推导公式推导( )M x( )M x ( ) ( )( ) ( ) ( ) llllMxx tgMx Mx dxMxx tgdxtgxMx dxtgxdOxy()CM xABOxy( )dM x dxABdx( )M xxxCl( )( )Mx Mx dxyClSxdx ( )( ) ( ) ( ) ()llllCCCMx Mx dxMxx tgdxtgxMx dxtgxdtgxx tgMxOxy()CM xABOxy( )dM x dxABdx( )M xxxCl( )Mx实际载荷

40、引起弯矩图实际载荷引起弯矩图 的面积。的面积。Cx( )Mx实际载荷引起弯矩图实际载荷引起弯矩图 形心的横坐标。形心的横坐标。()CCMxM单位力引起弯矩图单位力引起弯矩图上与上与实际载荷弯矩图实际载荷弯矩图 面积的形心面积的形心对应的值。对应的值。( )( )CMx Mx dxM23lh13lh二次抛物线二次抛物线图乘法注意要点：图乘法注意要点：（1 1）直杆方能图乘。）直杆方能图乘。（2 2） 和和 图绘制原则为同时画在受拉边，或图绘制原则为同时画在受拉边，或同时画在受压边。同时画在受压边。MM（3 3） 图必须为一条直线，为折线时应分段。图必须为一条直线，为折线时应分段。M（4 4）尽量

41、将）尽量将 图绘成面积及形心位置已知的图绘成面积及形心位置已知的图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。M（5 5） 与与 在基线同一侧时，在基线同一侧时， 为正，反为正，反之为负。之为负。MM CM例：例：求图示悬臂梁在自由端的挠度。求图示悬臂梁在自由端的挠度。BA1BlAEIF解解：（1 1）建立单位力系统：）建立单位力系统：（2 2）作荷载系统和单位）作荷载系统和单位力系统的弯矩图：力系统的弯矩图：l3lCxFlMMlCMl3lCxFlMMlCM（3 3）计算）计算 、 、 ：CMCxlFl 213lxC23CMl 23112()()233ACfME IF

42、 llE IF lE I“正号正号”表明表明 的指向与单位力的指向与单位力 的指向相同。的指向相同。Af1F 例：例：求图示外伸梁求图示外伸梁 A 截面的转角。截面的转角。FAEIBCal解解：（1 1）建立单位力系统：）建立单位力系统：1（2 2）作）作 、 图：图：( )M x( )M x1l31l211231C2C3CFaMM2CM3CM1CM281ql（3 3）图乘求）图乘求 ：A1122332321()()1()1211(1382212 )231()2423AlCCCMx Mx dxE IMMME IqllF aaE IF alqlF alE IE Ia1l31l21232C3CFa

43、2CM3CM1CM11CMM281ql 与与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。Fq 与与 在基线同一侧时，在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时，为正，在基线异侧时， 为负。为负。MM CM CM例：例：求图示简支梁求图示简支梁 C 点的挠度和点的挠度和 A 点的转角。点的转角。FEIl/2l/2ABC1（2 2）作）作 、 图：图：( )M x( )M x解解：（1 1）建立求）建立求 的单位力系统：的单位力系统：ACMFl41M1CMl/2l/2（3 3）求）求 ：A221248121()16CACF lF llMF l

44、ME IE ICMFl41M1CMl/2l/21FEIl/2l/2ABC（4 4）建立求）建立求 的单位力系统并作相应的的单位力系统并作相应的 图图：CfM11CMFl41Ml411CMl/2l/22CM2C2l/3l/3l/331122121()()2 24648CCCl FllFlfMMEIEIEI图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。M例：例：求图示悬臂梁求图示悬臂梁 C 点的挠度。点的挠度。1解解：（1 1）建立单位力系统：）建立单位力系统：（2 2）作）作 、 图：图：MMl/2FEIFl/2ABC将将 图分成易于确定面积和形心位

45、置的三个面积。图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。M2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lMM将三个面积分别与将三个面积分别与 图乘，然后相加：图乘，然后相加：M2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lMM21122223312 228132243413()2 222456CCCl F lF lMll F lF lMllF lF lF lMl21122223311 2 22833 2244135() 2 22246CCCl F lF lMll F lF lMllF lF lF lMl11223322231()135

46、()8344467 16CCCCfMMME IF llF llF llE IF lE I求求A端铅垂位移端铅垂位移求求A端绕端绕BC 轴线的转角轴线的转角EIFl3321iiCiiIEMAEIllFl342221EIllFl3221P33GIFlP)(2GIllFl21PiixCiiIGMA0)(23P3321P21GIFlEIFlIGMAIEMAiiCixiiiCiiBP33GIFlP)(2GIllFl21PiixCiiIGMA0EIFl33EIllFl342221EIllFl322121iiCiiIEMA0EIFl2221iiCiiIEMAEIlFl121P) 1(2GIlFl21Piix

47、CiiIGMA0P22GIFl0EIFl2221iiCiiIEMAEIlFl121P) 1(2GIlFl21PiixCiiIGMA0P22GIFlP222121P22GIFlEIFlIEMAIGMAiiCiiiixCiiAiiPP1P2P3P1 2 3 i四、卡氏定理四、卡氏定理无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载P1、P2、P3 且各外力作用点的位移分别为且各外力作用点的位移分别为1 1、2 2、3 3 结构的结构的变形能等于变形能等于外力功外力功: :012(,)nUfPPP当只给当只给 一个增量一个增量 ，其余荷载不发生变化时，其余荷载不发生变化时, ,i

48、PidP引起各外力作用点的位移分别为引起各外力作用点的位移分别为1 1、 2 2、 3 3 变形能变形能只与力或位移的终值有关，与加载过程和只与力或位移的终值有关，与加载过程和加载加载的先后的先后次序无关。次序无关。结构的总变形能为结构的总变形能为: :12iiUP iP1P2P3P1 2 3 i变力作功变力作功常力作功常力作功idP(1)(1)先加载荷先加载荷 ，再加荷载，再加荷载P1、P2、P3 1012iiiiUPUP iPi载荷载荷 变形能为变形能为: :idPiPi1231 2 3 (2)(2)先加载荷先加载荷P1、P2、P3 ，再加荷载再加荷载idPiP1P2P3P1 2 3 i2

49、012iiiiUUUPPP iP1P2P3P123i结构的总变形能为结构的总变形能为: :载荷载荷 变形能为变形能为: :idPiiUdUPPiUP整个整个结构变形能在结构变形能在 的改变下，引起的变形能的改变率。的改变下，引起的变形能的改变率。iPiiUPP在在 改变了改变了 时，引起的变形能的改变量。时，引起的变形能的改变量。iPiP2012iiiiUUUPPP 12UUiiiiUPPP (3)(3)变形能变形能与与加载的先后加载的先后次序无关次序无关1012iiiiUPUP iiUP卡氏定理卡氏定理卡氏定理：卡氏定理：变形能对任一载荷变形能对任一载荷 的偏导数，等于的偏导数，等于 作用作

50、用 点沿点沿 方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理iPiPiPiPi其中其中 与与 相对应。相对应。为集中力时，则为集中力时，则 为为 作用点沿作用点沿 作用方向的线位移。作用方向的线位移。iPi为集中力偶时，则为集中力偶时，则 为为 作用点作用点与与 相对应相对应的角位移。的角位移。iPiiPiPiPiP卡氏定理的适用范围卡氏定理的适用范围（1 1）卡氏定理的适用于一切结构形式。）卡氏定理的适用于一切结构形式。（2 2）卡氏定理只能用于线弹性结构。）卡氏定理只能用于线弹性结构。（3 3）对于材料力学研究的杆系结构，）对于材料力学研究的杆系结构，卡氏定理的表达形卡氏定理的表达形 式为：式为： 以梁为例进行推导以梁为例进行推导对于梁：对于梁：lEIdxMU22lliiliiidxEIMPMdxEIMPEIdxMPPU)2(222对于由对于由n 根杆根杆桁架：桁架：212niiiiiNlUE AnjjjjijiiEAlNPNPU1对于简单拉压对于简单拉压杆杆：22lN dxUEA对于轴：对于轴：lPGIdxTU22lPiiidxGITPTPU对于组合变形：对于组合变形：lPllGIdxTEAdxNEIdxMU222222lPililiiidxGITPTdxEANPNdxEIMPMPU