1.2常数项级数的概念和性质(2)ppt课件

1、第十二章第十二章无穷级数无穷级数 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质第一节第一节1. 常数项级数的定义常数项级数的定义 nuuuu321称为称为(常数项常数项)级数级数称为级数的部分和数列称为级数的部分和数列 n131211如如是一个级数，是一个级数，11us ，212uus ，nnuuus 21一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 ，：设设有有数数列列nnuuuu21按其次序求和按其次序求和 1nnu通通项项称称为为级级数数的的一一般般项项其其中中)(nu niinus1 11nn2. 级数的部分和与部分和数列级数的部分和与部分和数列其通项为其通项为.1n，设有级数设有级数 1

2、nnu项项的的和和其其前前 n称为级数的部分和称为级数的部分和 它所构成的数列它所构成的数列 ns3. 级数的敛散性级数的敛散性定义定义，设有级数设有级数 1nnu如果其部分和数列如果其部分和数列 收敛，收敛， ns，设设ssnn lim 1nnu则则称称级级数数收敛，收敛， 1nnus为级数为级数并称并称和，和，.1sunn 记作记作如果其部分和数列如果其部分和数列 发散，发散， ns 1nnu则则称称级级数数发散发散 发散的级数没有和发散的级数没有和 称为级数的余项称为级数的余项nnssr 令令 21nnuu 1iinu. )0lim( nnr显显然然，设设sunn 1，近近似似计计算算若

3、若以以ssn. |nr其误差为其误差为例例1若收敛求其和若收敛求其和是否收敛？是否收敛？问级数问级数 1)12)(12(1nnn解解 )12)(12(1751531311 nnsn)12112171515131311(21 nn)1211(21 n)1211(21limlim nsnnn.21 故故.21)12)(12(11 nnn级级数数例例2和和是否收敛？若收敛求其是否收敛？若收敛求其问级数问级数 11lnnnn解解 nnsn1ln34ln23ln2ln )134232ln(nn )1ln( n)1ln(limlim nsnnn. 故故发发散散级级数数 11lnnnn例例3 nnnaqaq

4、aqaaq20)0( a的敛散性的敛散性解解时，时，当当1 q12 nnaqaqaqasqqan 11 收敛 发散时，时，当当1| q，0lim nnq.1limqasnn 时，时，当当1| q， nnqlim.lim nns时，时，当当1 q，nasn .lim nns 发散时，时，当当1 qaaaasnn1)1( ，为为偶偶数数为为奇奇数数 nna0不存在不存在nns lim 综上所述 .,1|.1,1|0发发散散时时当当收收敛敛于于时时当当qqaqaqnn 发散例例4解解1344 nnnnu 1232故已知级数为等比级数，故已知级数为等比级数，其其公公比比34 q，1| q原原级级数数发

5、发散散的的敛敛散散性性判判定定级级数数 11232nnn解解 173 . 2 7531017101710173 . 2 03100110173 . 2nn等比级数等比级数10011110173 . 23 1001 q公公比比.4951147 表示为分数的形式表示为分数的形式31717. 2173 . 2 试试把把循循环环小小数数例例5二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质即即 级数的各项同乘一个不为零的常数，敛散性不级数的各项同乘一个不为零的常数，敛散性不变变即即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减性质性质1 ，如果如果sunn 1kskunn 1那么那么推论推

6、论 发发散散，如如果果 1nnu. )0(1 kkunn也也发发散散那那么么性质性质2 ，如如果果 11nnnnvsu svunnn)(1那那么么.11 nnnnvu.1 nnuk解解 结论是错误的结论是错误的发发散散，均均及及例例如如级级数数 111ln1lnnnnnnn例例6是收敛的是收敛的但级数但级数 101ln1lnnnnnn均发散，均发散，与与若级数若级数 11nnnnba)1987()(1是否必发散？是否必发散？则级数则级数nnnba 解解 .6)21)1(5(1 nnnn 11)111(5)1(5nnnnnn， nknkks1)111(5令令，)111(5 n例例7，5)111(

7、lim5lim nsnnn是是等等比比级级数数，又又 121nn.5)1(51 nnn即即，首项是首项是，公比公比21121| q211121211 nn.1 故故 1)21)1(5(nnnn的和的和求级数求级数性质性质3 级数中添加、去掉、改变有限项，不会改变级数中添加、去掉、改变有限项，不会改变级数的敛散性级数的敛散性性质性质4 收敛级数任意加括号后所成的新的级数仍然收敛级数任意加括号后所成的新的级数仍然收敛，且其和不变收敛，且其和不变注意注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛 )11()11(例例如如 1111 收敛 发散 推论 如果加括号后所成的级数发散，如果加括号后所成的级数发散，则原来的级数必发散则原来的级数必发散性质性质5 ( (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) )，如果如果sunn 1.0lim nnu那那么么)(lim