测量平差-yjzhang-5xinppt课件

1、空间数据误差处理空间数据误差处理一、条件平差原理一、条件平差原理二、条件方程的列立二、条件方程的列立三、非线性条件方程的线性化三、非线性条件方程的线性化四、精度评定四、精度评定第五章第五章 条件平差条件平差空间数据误差处理空间数据误差处理基本概念基本概念1、必要观测数、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数。少观测数。2、多余观测数、多余观测数 实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。3、闭合差、闭合差 举例说明：测角网，水准网举例说明：测角网，水准网4、条件平差及其目的、条件

2、平差及其目的空间数据误差处理空间数据误差处理一、条件平差原理一、条件平差原理1、条件方程、条件方程 （1） （1式中式中A的秩是的秩是r，未知数的个数是，未知数的个数是n，由于，由于rn，所，所以以1式是不定方程。那么，如何求解不定方程式是不定方程。那么，如何求解不定方程1式呢？式呢？2、法方程及其组成、法方程及其组成2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数按拉格朗日条件极值法组成新函数 （2）1110rrnnrWVA)(2WAVKPVVTT空间数据误差处理空间数据误差处理2.2 求偏导 （3）2.3 法方程 （4） 改正数方程 （5）举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下： m ， 求各高差平

3、差值022AKPVdVdTT01WKAAPTTL216. 1099. 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP KAPVT1空间数据误差处理空间数据误差处理误差方程 法方程法方程的解0432101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk空间数据误差处理空间数据误差处理按5求改正数V：求观测值的平差值：检核：2 . 09 . 01 . 17 . 23 . 2011611501100111011000100015 . 20000005 .

4、20000005 . 200000010000001000000111KAPVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 10230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 100999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL空间数据误差处理空间数据误差处理条件平差的求解步骤条件平差的求解步骤 （1根据具体问题列条件方程根据具体问题列条件方程1式；式； （2组成法方程组成法方程4式；式； （3解法方程；解法方程； （4按按5式求改正数式求改正数V； （5求观测值的平差值求观测值的平

5、差值 ； （6检核。检核。VLL教材：教材：51， 52， 53习题：习题：5.1.04， 5.1.07空间数据误差处理空间数据误差处理二、条件方程的列立二、条件方程的列立列条件方程的原则列条件方程的原则:1、足数；、足数；2、独立；、独立；3、最简、最简水准网的条件方程水准网的条件方程1、水准网的分类及水准网的基准、水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。个高程基准。2、水准网中必要观测数、水准网中必要观测数t的确定保证足数）的确定保证足数） 有已知点：有已知点： t 等于待定点的个数等于待定点的个

6、数 无已知点：无已知点： t 等于总点数减一等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类、水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于已知点个数小于等于1：只有闭合条件：只有闭合条件空间数据误差处理空间数据误差处理4、水准网中条件方程的列立方法保证独立）、水准网中条件方程的列立方法保证独立）（1）、先列附合条件，再列闭合条件）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一件的个数等于已知

7、点的个数减一（3）、闭合条件按小环列立保证最简），一）、闭合条件按小环列立保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。空间数据误差处理空间数据误差处理5、水准网条件方程列立举例、水准网条件方程列立举例空间数据误差处理空间数据误差处理14空间数据误差处理空间数据误差处理习题：习题：5.2.10空间数据误差处理空间数据误差处理GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程1、GPS基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,观测值总数n=3s，s是基

8、线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准 。必要观测数为 t=3(m-1)，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3(s-m) + 33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。ijijijzyx,zyx,空间数据误差处理空间数据误差处理4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图图1 图图2图图1中中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：，即三个条件方程。这三个条件方

9、程如下：图图2中，中，r=36-4）+3=9，即，即9个条件方程。个条件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyCABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB空间数据误差处理空间数据误差处理4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =322-9）+3= 42多多GH、DE)空间数据误差处理空间数据误差处理三角网(测角网)的条件方程1、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用 确定待定点的平面坐标。

10、3、三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因而，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个任意一点的坐标 ）、方位基准 1个任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。00, yx00S空间数据误差处理空间数据误差处理5、三角网中必要观测数、三角网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：有足够的基准数据：

11、t =2m，m为待定点点数；为待定点点数； 无足够的基准数据：无足够的基准数据：t =2z - 2）, z为三角网中的总为三角网中的总点数。点数。6、三角网中条件方程的类型、三角网中条件方程的类型图形条件内角和条件）：三角形三内角和等于图形条件内角和条件）：三角形三内角和等于180度；度；圆周条件水平条件）：圆周角等于圆周条件水平条件）：圆周角等于360度；度；极条件边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的极条件边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。边长相等。教材：教材：54，55习题：习题：5.2.11， 5.2.12空间数据误差处理空间数据误差处理7、三角网中条件方程的列立举例

12、、三角网中条件方程的列立举例图图1中，中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。，即一个图形条件。图图2中，中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件极，即三个图形条件，一个极条件极点）。点）。空间数据误差处理空间数据误差处理 图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只要中点多边形才有全部的三类条件。空间数据误差处理空间数据误差处理用一般符号列出图4的条件方程：n=33 t=14空间数据误差处理空间数据误差处理三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值 三边网

13、的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个任意一点的坐标 ）、方位基准 1个任意一条边的方位角 ），即三个基准。00, yx0空间数据误差处理空间数据误差处理5、三边网中必要观测数、三边网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数；为待定点点数； 无足够的基准数据：无足够的基准数据：t

14、=2z - 3, z为三角网中的总点数。为三角网中的总点数。 单三角形无足够）：单三角形无足够）： t =2 3 3=3，而，而n=3，故，故r=n-t=3-3=0 大地四边形无足够）：大地四边形无足够）：t =2 4 3=5，而，而n=6，故，故r=n-t=6-5=1 中点中点N边形无足够）边形无足够） ： t =2N+1） 3=2N-1，而，而n=2N，故，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在测边网中，无足够情况下，单三角形不存在条以上各式表明：在测边网中，无足够情况下，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故无足够情况下，件，大地四边形和中点多边形都只一

15、个条件。故无足够情况下，测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。和。6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。 按角度闭合：按角度闭合：0321空间数据误差处理空间数据误差处理测边网条件测边网条件 在测边网中，按角度闭合时条件方程为：在测边网中，按角度闭合时条件方程为： 对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但出各

16、个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入然后代入 为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。03210321wvvv空间数据误差处理空间数据误差处理如图，由余弦定理知：微分得：由图知ASSSSScbcbacos2222AdASSdSASSdSASSdSScbcbcbcbaasin2)cos22()cos22(2)cos()cos(sin1cbcbcbaacbdSASSdSASSdSSASSdABSASSCSASShShSASSabcacbaab

17、bcbcoscoscoscossin空间数据误差处理空间数据误差处理故有：将微分换成改正数，并将弧度换成角度，得：上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律： 任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数 。按此规律，可得：)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA)coscos(cbaSSSaABvCvvhv 空间数据误差处理空间数据误差处理大地四边形大地四边形将其代入将其代入 ，得，得)coscos()coscos()coscos(314332622151321SSSSSSSSSADBvABDvvhvADCvACDv

18、vhvACBvABCvvhv 0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321213232113 wvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABDSSSSSS空间数据误差处理空间数据误差处理中点多边形中点多边形将其代入将其代入 ，得，得)coscos()coscos()coscos(463365225411321SSSSSSSSSDACvDCAvvhvDCBvDBCvvhvDBAvDABvvhv 0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321322131321 wvhDCAhDCBvhDBChDBAvhDAChDABvhvhvhSSSS

19、SS空间数据误差处理空间数据误差处理 注意：在计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高的单位为km， 取2.0626，此时闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值，可按余弦定理或下式计算式中高按下式计算 cbaSprCSprBSprA2tan,2tan,2tanpSpSpSprSSSpcbacba)()(,2/ )(ASBShASCShBSCShbaccabcbasinsin,sinsin,sinsin空间数据误差处理空间数据误差处理三、非线性条件方程的线性化三、非线性条件方程的线性化 1、问题的提出、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约由前面列

20、出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。非线性条件方程的线性化。 2、线性化方法、线性化方法 将非线性条件方程按台劳

21、级数展开，略去二阶以上将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。各项，即得条件方程的线性形式。空间数据误差处理空间数据误差处理 不妨设非线性条件方程为： 为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),(),(),(221121221121nLLnLLLLnnnnvLvLvLLLLvLvLvLLLLLLiinLhLLLw21, ),(空间数据误差处理空间数据误差处理 于是，非线性条件方程 的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：在图5-4中，（边长条件极条件为线性化得：0),

22、(21nLLL02211wvhvhvhnn1sinsinsinsinsinsin321321bbbaaa0cotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsin1)sin()sin()sin()sin()sin()sin(321321321321332132123213211321321332132123213211321321321321321321 bbba

23、aabbbaaavbbbbaaavbbbbaaavbbbbaaavabbbaaavabbbaaavabbbaaabbbaaavbvbvbvavava空间数据误差处理空间数据误差处理两边同乘 ，得化简后的线性形式为： 321321sinsinsinsinsinsinaaabbb0)sinsinsinsinsinsin1 (cotcotcotcotcotcot321321321321321321 aaabbbvbvbvbvavavabbbaaa空间数据误差处理空间数据误差处理四、精度评定四、精度评定目的：评定观测值的实际精度、观测值平差值函数的精度目的：评定观测值的实际精度、观测值平差值函数的精度

24、1、观测值、观测值L的精度的精度2、单位权方差的估值、单位权方差的估值3、 的计算的计算（1）、直接计算）、直接计算（2）、用常数项与联系数）、用常数项与联系数12020PQDLLLLrPVVT20PVVT)0()(WAVKWKAVKQAPVPVVTTTTTT空间数据误差处理空间数据误差处理4、观测值函数的协因数 事实上，条件平差中的基本向量W、K、V、 都是观测向量L的函数，且 由于观测向量L的协因数 知，所以应用协因数传播律可得：L1 PQLL01101101110)(ANAQLANAQIVLLANAQALNAQKAQVANALNWNKAALWaaTLLaaTLLaaTLLaaTLLTLL

25、aaaaaa空间数据误差处理空间数据误差处理LLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLVVaaaaaaaaaaTLLaaKKaaTTLLWWAQNAQQAQNAAQNAQAQNAQAQNAQQAQNAIQANAQIQAQNAQAQNAAQNAQQNNNNNAAQNQNAAPAAQQ1111111111111111)()(LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLLVaaTLLaaTLLLKTLLTLLLWAQNAQQAQNAIIQQAQNAQAQNAIQQNAQNAIQQAQ

26、AIQQ111111)(空间数据误差处理空间数据误差处理0)(1111LLaaTLLLLLLaaTLLLWLLLLaaTLLWVaaTLLWKAQNAAQAQAQNAIAQQAQAQNAAQQINAAQQ0)(0)(1111111111111LLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLLVLLaaTLLaaLLaaLLaaTLLaaLKLLaaLLaaTLLaaKVAQNAAQNAQAQNAQAQNAIAQNAQQAQNAAQNAQNAQNAIAQNQAQNAQNAAQNQ空间数据误差处理空间数据误差处理令那么dLAQNAIAQNANAAIdYTLLaaTLLaaTaaTT1

27、11LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaaaLLaaLLaaLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLTLLLLLLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWLLLLVLKLWLLTLLYYAQNAQQAQNAQQAQNAQAQNAQAQNAQAQNNIAQNAQINAQAQNAQQAQNAQNAQAQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQFFQQ11111111111000000空间数据误差处理空间数据误差处理5、平差值函数的协因数 经条件平差后得到了观测值的平差值，但是，需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值的函数。因而，有必要研究平差值的函数的协因数的计算。 设平差值函数为： 对其全微分，得：NLLLf,21LdFLdfLdfLdfLdLfLdLfLdLfdTnnnn22110202101空间数据误差处理空间数据误差处理式中 为用观测值L算出的偏导数值。于是，应用协方差传播律可得：所以，平差值的函数的中误差为：0iiLffFAQNFAQFQFFQFQLLaaTLLLLTLLT1)(0Q教材：教材：58，57习题：习题：空间数据误差处理空间数据误差处理举例举例 某平坦地区水准网如右图所示，已知点某平坦地区水准网如右图所示，已知点A高程为高程为1